循着学生的思路 渗透极限思想的思考

刘菊

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）24-0023-02

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。

1.在数学公式推导过程中渗透极限思想

片段一：

在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。

师：（课件出示一个圆）要知道这个圆的面积，怎么办？

生1：可以把它转化为我们学过的图形。

师：怎么转化？

生2：把圆平均分。（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲的拼，结果还是一个圆。）

师：转化不成已经学过的图形，怎么回事？

生2：平均分的分数不够多。

师：是这样吗？那我们分得多一些，请大家仔细观察。（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个。）

师：你们发现什么吗？同桌轻轻交流一下。

生3：16个拼起来，比较像长方形。

生4：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

师：你们都同意他的看法吗？（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。

（课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。）

师：大家仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样？

生5：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊？

……

片段二：

在教学圆柱体积公式的推导这一内容时，我作過这么一次尝试。

师：如何知道一个圆柱体的体积？

生1：以前学习的柱体都是用“底面积×高”来求积的，这次也应该是吧？

师：那你们就先借助手中的学具操作一下，看能不能有什么发现？

（学生动手操作，小组交流。）

生2：我发现圆柱体可以通过切割拼成一个近似的长方体……因此，圆柱体的体积=底面积×高。

（至此，应该说学生已经基本掌握了圆柱体体积的计算公式，进入应用阶段没多大问题，但蕴涵在其中的思维方法并没有渗透给学生，于是我继续追问。）

师：怎样切割，圆柱体就真的变成一个长方体了？

生3：将圆柱的底面平均分成无数多份，它的底面就转化为一个长方形，整个圆柱也就成了一个长方体。（师进行课件演示）

师：还有不同的思考方法吗？

生：将圆柱沿高的方向切分成无穷多个细长的长方体。每个长方体的体积都是“底面积×高”，根据乘法分配律，这无穷多个小长方体的体积之和正好是“它们的底面积之和×高”，也即圆柱体的“底面积×高”。

……

以上两个计算公式的推导过程，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

2.在教学新的知识点时渗透极限思想

片段一：

在循环小数的教学中，许多人认为0.99……这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。我在教学过程中从两方面来说明0.99……等于1。首先学生很容易理解 =1÷3=0.33……， =2÷3=0.66……，因为 + =1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比较大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……=1。

教师还可以让学生通过检验体会到任何一个循环小数可以改写成分数，比如：0.888……=0.8+0.08+0.008+……= = ，0.4545……=0.45+0.0045+0.000045+……= = 。

片段二：

在教学行程问题时，我给学生讲了这样一个故事：兔子和乌龟赛跑，起初乌龟在兔子前100米，兔子每分走10米，乌龟每分走1米，兔子永远追不上乌龟。学生们感到很诧异，接下来我就说明了兔子永远追不上乌龟的理由：当兔子走完100米的时候，乌龟已经向前走了10米，当兔子再向前走10米的时候，乌龟又向前走了1米，当兔子继续向前走1米的时候，乌龟又向前走了0.1米，当兔子再向前走0.1米的时候，乌龟又向前走了0.01米，……所以兔子永远追不上乌龟。

片段一中的教学，让学生体会到“0.99……”这个小数后面的“9”有无穷多个，到底有多少个，没人能说清楚，但有一点是肯定的，这个数的终极状态就是1。片段二中，学生显然不接受“兔子永远追不上乌龟”这个观点，其实兔子追上乌龟的时间是10+1+0.1+0.01+0.001+……= （分），但这样的教学却可以使学生在头脑中初步萌生出“无限”的概念。我以为，如此教学不但能激发学生学习数学的兴趣，而且对于发展学生智力，培养学生良好的思维能力是十分有益的，更重要的是渗透给学生极限的思想方法。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是知识向能力转化的纽带。在小学数学教材中，能够体现数学极限思想方法的因素极为广泛，教师在教学中应该意挖掘，并抓住适当的时机，将这一思想和方法适度地渗透给学生。这样学生沉淀下来的就不只是数学知识，更主要的是一种数学的素养，为他们以后建构新的数学知识体系，进一步拓宽数学的空间，走出校门后去独立学习和研究更高深的数学理论夯实基础。