特殊与一般思想在高考数学中的应用

张刚

在数学学习中，单纯地进行题海战术，是很难取得理想成绩的. 因此，我们要想提高数学解题能力和意识，就必须注重数学思想的领会和运用，对平时所用的数学思想进行梳理与总结，认识本质，提高能力，以便灵活运用这些数学思想解决高考数学题.本文以特殊与一般思想在高考数学中的应用为例，来说明如何领会和运用这一思想.

一、依据题型，赋予特值

一般与特殊之间的转化是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或者是将某些特殊问题进行一般化处理的方法.此法多用于选择题或者填空题的解答.因此，破解此类问题的关键是确定关键元素寻找转化元素转化为新问题④得出结论.

例1. 已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，a1+b1=5，a1，b1∈Z+，设cn={n∈Z+}，则数列{cn}前10项和等于（ ）

A. 55 B. 70 C. 85 D. 100

解析：用特殊化策略.设b1=1，则a1==4. 从而bn=n，于是有cn==+（bn-1）·1=4+n-1=n+3. c1+c2+…+c10=（1+2+…+10）+30=85.

点评：本题根据选择题的特点，对赋予特殊值处理，求出数列{cn}的前10项和，从而排除错误的结果，选出符合题目要求的选项.

二、巧抓结构，构造公式

数学中的很多新符号、新定义都很抽象，对于同学们来说，往往难以理解，如果能够根据所给式子的结构特征，恰当合理的构造出相关的数学公式或者定理，就可以将抽象问题具体化，实现数学问题的明朗化，从而转化为所学的内容进行解决.

例2. 记max{a，b}为a，b两数的最大值，当正数x，y变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为 .

解析：由题意知：t≥，t≥，t≥x2+y2，所以3t≥++x2+y2.又因为++x2+y2≥++2xy≥3=3，所以3t≥3，即t≥.

所以，当正数x，y（x>y）变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为.

点评：本题属于抽象函数的最值问题，通过观察所求式子中含有，，与x2+y2之间的结构特征，故考虑构造具体的不等式t≥，t≥，t≥x2+y2，然后将三式相加即可求解.因此，对于有些抽象的数学问题常可以通过观察结构特征，转化为具体问题求解.通常遇到求t=max{，，+}最小值问题或者求t=min{，， + }的最大值问题，都可以考虑构造具体的基本不等式，进行类似处理.

三、特殊探路，猜测规律

很多较为复杂的高考数学压轴题，由于题目长，数学符号多，往往考查特殊现象背后隐藏的一般性抽象规律，学生往往难于从题设条件寻找出一般规律，从而草草收场，丢分太多.如果能够抓住图中的特殊位置，取值范围中的特殊值或者特殊角等等，通过尝试代入特殊情况之进行试探，大胆猜测，或许会收到意想不到的效果.

例3. 椭圆E：++1（a>b>0）的左右焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

解析：（1）只需根据ABF2的周长为8的条件，结合椭圆定义即可求得椭圆方程为+=1.

（2）通过联立直线与椭圆方程，即由y=kx+m，+=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0， 化简得4k2-m2+3=0.

此时x0=-=-， y0=kx0+m=， 所以P（-，）.

由x=4，y=kx+m，得 Q（4，4k+m）. 下面探求点M的存在性.

假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上. 取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以为PQ直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点

M1（1，0）， M2（3，0），取k=-，m=2，此时P（1，），

Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交轴x于点M1（1， 0）， M2（4， 0）. 所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）. 以下证明M（1，0）就是满足条件的点.因为点M的坐标（1，0）. 所以 =（--1，）， =（3， 4k+m），从而 ·=--3++3=0，故恒有 ⊥，即存在定点M（1， 0），使得以PQ为直径的圆恒过定点M.

点评：对于这类圆过定点的问题，常常通过试探性的选取一些特殊点，进行探路，尝试寻找是否有一般性的问题结果，然后在进行证明，显得自然、合理. 这里从特殊到一般的数学思想体现了价值.也有了用武之地.

四、一般位置，特殊对待

形体位置关系主要针对几何问题，往往采用特殊化位置处理，主要适用于空间几何图形的平行、垂直的证明以及几何体的体积求法，有时需要将几何体切割、挖补、延展、转化形成便于观察和计算的常见几何体来处理.

例4. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=EF与面AC的距离为2，则该多面体的体積是（）

A. B. 5 C. 6 D.

解析：将图形特殊化，如图所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2. 连接DF、AF，则EF⊥面ADE，△ADE为直角三角形.

S△ADE=·AD·DE =×3×2=3.于是

VF-ADE=·EF·S△ADE=××3=，

VF-ABCD=·DE·S△ABCD=×2×32=6.

所以VABCDEF=+6=.

答案选D.

点评：题目中提供的图形，除底面是正方形以外，其他没有任何特殊之处，如果直接用割补法求解，难度和计算量都会增加不小.因此，对于一般图形求面积或者体积时，可以通过改变线线关系或线面关系，使之转化为垂直或者平行等特殊化位置，进而使用换底、变高等方法分割求解.

五、由形悟数，数形结合

以形悟数，即借助形的直观性来阐明、领悟数量之间的关系，常用手段是将图形中的变化规律，数量变化代替图形变化，将图形变化转化为具体的可推理的数字符号推理，再借助于相关数学知识解决. 形数结合现在普遍存在于高考中的数列通项公式、前n项求和、函数图像、方程曲线的等问题中.

例5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或者用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数，1，3，6，10…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（1）b2012是数列{an}中的第 项.

（2）b2k-1= .（用k表示）

解析：由以上规律可知三角形数1，3，6，10，…的一个通项公式为an=，写出其若干项有：1，3，6，10，15，21，28，

36，45，55，66，78，91，105，120，…发现其中能被5整除的为10，15，45，105，120，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.

从而由上述规律可猜想：b2k=a5k=（k为正整数），b2k-1=a5k-1==，故b2012=b2×1006=b5×1006=a5030，即b2012是数列{an}中的第5030项.

答案：（1）5030；（2）.

点评：遇到图形问题，要善于将直观的图形与抽象的数学符号语言联系起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的出现引发对数量变化的思考，使问题化难为易. 本题通过对三角形数的前几项的归纳猜想，寻找出能被5整除的数字变化规律，发现数列{bn}的各项与数列{an}的各項的变化联系，进而得出数列{bn}通项公式，再求出第2012项.这样，由图想数，数形结合使问题解决达到事半功倍之效.

责任编辑徐国坚