“知”如何到“用”

涂悠悠

【摘要】对于函数零点，首先我们会想到的是肯定有难度，然后我们会思考它可以用函数的单调性结合数形结合的思想进行求解，这样的求解方法其实也就是函数零点存在性定理的应用.然而，由于一些学生对这个定理只是了解，使得其就算求出函数的单调性，但是也想不到用函数零点存在性定理来高效地解题，故笔者结合下列的相关问题，谈谈函数零点存在性定理在解题中的妙处，领悟研究数学本质的真谛.

【关键词】函数零点存在性定理；巧用妙用；高考真题

一、问题发现与回顾

2017年高考数学全国卷理科Ⅰ（21）改编如下：已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减；当a>0时，f（x）在-∞，ln1a单调递减，在ln1a，+∞单调递增.若函数f（x）在R上有两个零点，请求a满足的关系.

解1化为ae2x+（a-2）ex=x，换元：t=ex化为g（x）=at2+（a-2）t，右边为y=x是一次函数，再求两函数有2个交点.

解2赋值法令a=1和a=-1直接求解.

解3（比较好的解法）由零点存在性定理得fln1a<0，进而得解.

本题改编之后是一道函数零点存在性定理的应用题，可是大部分同学的答题情况确是让笔者感到很诧异，为何还是很多同学求不出.针对这个困惑，笔者进行了相关的调查，发现学生对于函数零点存在性定理对求函数的零点的作用认识比较片面，故书写此文.

二、定理简要回顾

函數零点存在性定理的出现对判断方程的根或根的范围具有重要作用，在定理中很好地体现了函数与方程的思想，为了体现它的转化思想，笔者应用下列较为简洁的思维顺序概括如下：① f（x）=0在（a，b）内有解；② 函数在（a，b）内有零点；③ 函数f（x）的图像在（a，b）内与x轴有交点；④ f（a）f（b）<0.通过教研反馈来看，对④的相关转化就强调的不是很到位，所以接下了将从几个方面来阐述直接转化为④的妙处.

三、定理的应用

（一）只需考虑函数零点所在区间端点范围的应用

例1方程x2-（m+13）x+m2+m=0的一根大于1，一根小于1，求m的取值范围.

解1设两根分别为x1，x2且x10，

∴22-41576

解2设函数f（x）=x2-（m+13）x+m2+m，当m≤-11时，满足Δ>0和f（1）<0无解；当m>-11时，满足Δ>0和f（1）<0，∴m∈（-23，23）.

解3（比较好的）只需满足f（1）<0即可.

点评解1运算量很大，导致最终没能解出本题.解2很好地应用了方程转化为函数的零点来求解，但是分类是对问题没有考虑清楚.解3是最快最简洁的办法.对于这类问题笔者又做了如下拓展.

例2设集合A={（x，y）|x2+mx-y+2=0}，B={（x，y）|y=x+1，0≤x≤2}，A∩B≠，求实数m的取值范围.

解若能将求方程的根转化为求区间端点的范围，则可得f（0）f（2）≤0，∴m≤-1.

（二）需考虑函数的相关性质的应用

例3已知二次函数f（x）=x2-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.

解当有两个不相等实根时，则f（0）f（1）≤0，得-2≤m≤0；当有两个相等实根，则Δ=0且0

例4已知函数f（x）=a+lnxx的图像在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，是否存在区间t，t+23（t>0）使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？

解易得a=1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.故由零点存在性定理，得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点.故可得0

点评主要考查同学们对复合函数零点存在性定理的应用，同时也是高考的热点之一.

（三）零点存在性定理在高考中的相关应用

例5（2014全国卷Ⅰ理科11）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

分析如果直接考虑函数的单调性再应用函数零点存在性定理这一相关结论，得选C.

例6（2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.求a的取值范围.

解① 当a=0时，不符；② 当a>0时，若x∈（-∞，1），f′（x）<0，若x∈（1，+∞），f′（x）>0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.又f（1）=-e，f（2）=a>0，取b满足b<0且b0，故f（x）存在两个零点.

当a<0，同理可证，此时f（x）不存在两个零点.

综上，a的取值范围为（0，+∞）.

高考题解题后反思：上面给出的两道高考题都是函数存在零点，求参数取值范围的典型题型.例5是选择题，解法灵活，例6比例5处理起来就更加复杂，需要应用分类讨论的思想，但是如果能并运用这类题的做题思路和方法，相信在以后再次看到这类问题时将会更加有信心.

四、感悟反思

在零点方面，重点就是考查函数零点，方程的根和方程与x轴的交点三者之间的转化.重点考查复合函数求参数取值范围，求不等式等.经常涉及函数的导函数，极值，最值，比较大小等.笔者认为，应用的根源是对本质概念公式的理解，故笔者认为在平时的教学中需要多引导学生理解函数零点存在性定理的本质意义，才能使学生更好地应用.

【参考文献】

[1]于先金.二次函数零点式的应用[J].数学教学研究，2003（12）：36-37.

[2]江战明，范虹燕.知而不熟熟而不透——谈向量基本定理的内涵与价值[J].中学数学教学参考，2016（28）：41-44.