波利亚解题表在一道立体几何高考题中的应用

李寒阳

【摘要】数学解题是学生在数学学习过程中必经的一个环节，同时也是数学学习的核心，有着不可小觑的地位.波利亚解题表为数学问题的解决提供了有效的思路，此文利用波利亚解题表来分析一道关于立体几何高考题的解题思路与解答过程，具体感受波利亚解题表的应用.

【关键词】波利亚解题表；立体几何高考题；解题

一、波利亚解题表

波利亚将解题过程总体分为理解题目、拟订方案、执行方案以及回顾这四个阶段，对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题.第一阶段是理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义；第二阶段是拟订方案，进一步理解已知条件与未知量之间的联系，尽可能找到以前解过并相似的题目，需要的话可引进新的辅助元素.这一阶段对于解题来说是一大关键，引导学生独自理清解题思路.第三阶段是执行方案，根据前一阶段拟定的方案来执行，并检查每个步骤；第四阶段是回顾，检查已经得到的解答，并尝试以不同的方法来推导这个结果.这四个阶段较完整地为解题提供了方向，而对于教师来说，讲解固然重要，但也要给学生足够的时间去思考以及去实际操作，通过自然而然地向学生提出问题和建议，去引导他们如何解题.

二、考题剖析

例如图所示，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

分析第一小问：

第一步：理解题目

教师：“已知条件是什么？”

学生：“一个三棱台ABC-DEF，在这个三棱台中，平面BCFE⊥平面ABC，其中一个角为90°，即∠ACB=90°，且BC=2，AC=3，BE=EF=FC=1.”

教师：“那要证明的是什么呢？”

学生：“要证明BF⊥平面ACFD”

教师：“要证明它，条件是否充分呢？”

学生：“题设中只知道平面BCFE⊥平面ABC，且∠ACB=90°，也就是说AC⊥BC，可以得出AC⊥平面BCFE，但好像還不能得出结论.”

第二步：拟订方案

教师：“再思考一下，你是否用到了所有的条件呢？”

学生：“没有用完，还没用到BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.”

教师：“要怎样用到这些条件呢？”

学生：“如果能构造出一个等边三角形，那就可以用上这些条件了.”

教师：“很好，为了应用它们，我们是否应该在图中引入一些新的线条，添加辅助线呢？”

学生：“如果延长AD，BE，CF这三边交于一点K，就能得到一个以BC为边的等边三角形.”

教师：“不错，那现在你能证明出BF⊥平面ACFD了吗？”

学生：“BF是这个等边三角形的一条中线，由等边三角形的三线合一可得出BF⊥CK，就可以进一步证明出BF⊥平面ACFD了.”

教师：“你的思路非常清晰了，你能把全过程写出来吗？”

学生：“能！”

第三步：实现计划

证明：延长AD，BE，CF交于点K.

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，∴BF⊥AC.

又∵BC∥EF，BE=EF=FC=1，BC=2，

∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，

∴BF⊥CK，∴BF⊥平面ACFD.

第四步：回顾

教师：“你能检验一下你的结论吗？”

学生：“BF垂直于平面ACFD内两条相交的直线，也就垂直于这个平面.”

教师：“你能将这个方法运用到其他题目中去吗？”

学生：“可以，证明线面垂直的题目.”

分析第二小问：

第一步：理解题目

教师：“第二问的未知量是什么？”

学生：“二面角B-AD-F的平面角的余弦值”

教师：“那么条件是否足以确定未知量呢？”

学生：“由第一小问知道了BF⊥平面ACFD，而AK平面ACK，所以可以得出BF⊥AK，但还是不能确定二面角啊，如果能再找出一条与AK垂直的线就好了.”

第二步：拟定计划

教师：“你的思路很清晰，那为了找到这条线，我们是否应该在图中引入一些新的线条，添加辅助线呢？”

学生：“噢！可以过点F作FQ⊥AK”

教师：“很好，那现在能确定二面角了吗？”

学生：“可以，这个二面角就是BQ与BF所形成的夹角∠BQF.”

教师：“很好，那能最终确定未知量吗？”

学生：“可以根据勾股定理来求出这个角的余弦值.”

教师：“你现在能把全过程写出来了吗？”

学生：“可以.”

第三步：实现计划

过点F作FQ⊥AK，连接BQ.

∵BF⊥面ACK，AK面ACK，∴BF⊥AK.

又∵AK⊥FQ，∴AK⊥平面BQF，∴AK⊥BQ，

∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，得FQ=31313.

在Rt△BQF中，FQ=31313，BF=3，得cos∠BQF=34.

所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.

三、小结

波利亚认为解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”“是什么促使你这样想、这样做的？”这就是说，解题过程是一个具体的思维过程，是把知识与问题串联起来思考、分析、探索的过程[2].他同样认为：把解题认为是纯粹的“智力活动”是错误的，决心和情绪也起了很重要的作用.教学生解题是一种意志的教育，学生要解决对他来说并不容易的题目，他就要学会面对失败锲而不舍，不断去尝试.

【参考文献】

[1]G.波利亚著，涂泓，怎样解题[M].冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]黄紫宜.用波利亚解题表解2012年广东中考数学压轴题[J].考试周刊，2013（4）：2-3.

[3]曹琳彦，颜宝平.运用波利亚解题思想指导中学数学解题教学[J].铜仁学院学报，2010（3）：125-127.

[4]杜红全.追踪考题晒晒考点——“立体几何”高考考点题型归类解析[J].中学教研（数学），2017（2）：40-44.

[5]侯志恒.波利亚“怎样解题表”在立体几何初步中的应用[D].河南师范大学，2013.

[6]丁洁.波利亚“怎样解题表”在初中数学应用题中的应用[D].扬州大学，2015.