考虑制造商库存约束的动态供应链网络均衡模型构建

房成哲 冯志芳 博士生 刘杰

中图分类号：F724 文献标识码：A

内容摘要：本文建立了一个带有时间参量的动态闭环供应链模型，由制造商、零售商和消费市场组成，其中制造商存在库存能力约束，且授权下游零售商回收相应消费市场中的废旧品，自身只负责生产和再制造活动。本模型中，消费者需求具有波动性，故引入时间参量t。随着需求的不断波动，生产商库存出现变化，进而影响到自身利润。同时，生产商用于生产的原材料和废旧回收品数量也在不断发生变化。本文运用改进的变分不等式和动态投影系统，建立了整个闭环供应链的均衡条件，并进行模拟分析，为企业决策者提供指导建议。

关键词：库存约束 动态供应链 均衡分析 变分不等式

引言

随着科技的迅猛发展，大量淘汰产品及废弃物使得环境保护问题变得愈发重要，引起了政府和企业的高度重视。然而，这些淘汰产品和废弃物并非全无价值，经过回收处理还可作为“二次材料”进入再制造环节。因此，考虑再制造的闭环供应链引起了学者乃至制造企业的极大关注。闭环供应链是指将废旧品回收活动加入传统的前向供应链网络，也就是将逆向物流与正向物流结合，经过退货、再利用、维修、再制造、再循环或废弃处理等，形成的物流、资金流和信息流的闭环系统。其中，再制造是指通过必要的拆卸检修和零部件更换等，将废旧产品恢复得如同新产品的过程。Fleischmann等曾将闭环供应链中对废旧产品的回收渠道划分为三种形式：零售商回收、制造商回收和第三方回收，学者们基于此三种模式先后进行了相关研究。值得注意的是，以往研究供应链多是针对静态供应链网络模型，研究在某一个时刻最优状况下供应链整体所要达到的理想状态，实际上供应链时刻都处于动态调节的模式中，商品的生产、销售量、单价等都可能随时间变化。因此，对动态供应链的研究应运而生。

Beckman和Wallace最先提出供应链随时间变化的动态现象，并建立了时间依赖下的网络均衡模型。Daniele把时间量引入交通网络均衡模型问题中，此外还建立了一个时间依赖下的空间价格均衡模型。马军在2013年针对需求的动态变化，构建动态供应链超网络均衡模型，网络中由多个生产商和零售商完成产品生产和零售，并基于时变需求和弹性时变需求分别进行研究。彭向研究了基于时变需求的供应链网络动态均衡模型，在静态模型中引入时间变量，描述供应链网络各成员订单、库存和价格的时变特征，并基于历史订单、采购和销售价格等信息，给出各成员考虑订单提前期和库存成本的订单生成策略的数学描述。随后，冯志芳提出一个带有时间参量t的闭环供应链超网络模型，考虑消费者对商品的需求是随季节变化的，从而研究在波动函数影响下的各决策者行为。王莎莎对动态闭环供应链进行研究，将动态供应链与移动通信以及逆向物流联系起来，建立由原材料供应商、生产商、零售商、需求市场、回收商组成的闭环供应链模型，并进行相关分析。

基于供应链在时间方面的动态性，可以围绕两个基本方向：时间离散型研究和时间连续型研究。本文在模型中引入时间参量t表示需求的动态性波动，但是供应链中库存波动及回收废旧品行为显然呈现的是时间离散变化现象，故本文属于时间离散型研究。

此外，库存问题在很大程度上制约了供应链，同样引起很多学者的关注。自2012年起，张桂涛分别研究了随机需求环境下的库存问题、多期闭环供应链中产品库存和制造商库存能力约束问题，本文同样也考虑到库存约束这一现实问题。

本文在模型中设定制造商采用不同的生产材料（原材料和回收的废旧品）进行生产，导致最终产品存在差异，因而消费者对不同产品具有不同的动态需求函数，且制造商在生产过程中考虑库存限制。在数值模拟中主要研究随着时间波动，制造商处原材料采购数量和回收废旧品数量在生产过程中的占比关系，以及这种比例关系变化对制造商库存成本和盈利情况的影响，并由此对企业决策者提出相关建议。

模型构建与符号说明

（一）模型构建

本文建立了如图1所示的带有库存约束的动态闭环供应链网络，共包含三层决策者：制造商i∈（1，…，M）、零售商j∈（1，…，N）以及需求市场k∈（1，…，L）中的消费者。其中，制造商i不仅采购原材料进行商品生产，而且要承担再制造的责任，即从消费者手中回收废旧品，对其中具有再利用价值的废弃材料进行再制造。且制造商i只负责生产、再制造活动，授权零售商进行回收活动。且设定1个零售商满足1个消费市场的需求，同时零售商只负责回收对应消费市场中的废旧品。消费市场中消费者对不同商品存在一定偏好，同时消费者对产品的需求受季节性影响较大，呈周期性变化。

图1中的纵向虚箭头代表时间流，即随着时间的推移，各决策者的状态变化情况，其中制造商的库存转移变化由纵向弧线箭头表示。

由于再制造问题的复杂性，为便于分析，本文作如下假设：

假设1：消费市场中回收的废弃物仅在制造商处进行检测、分拣等处理活动，其中无法再利用的废旧部分将运输至填埋场进行处理，为便于分析，这部分运输费用不予考虑；假设2：制造商生产及再制造产品为同一、同质产品，投放在相同的消费市场，但由于再制造产品的低成本及消费者偏好，同一市场上两种商品售价并不相同；假设3：为便于集中回收和节约成本，1个零售商只负责回收对应消费市场中的废旧品（零售商回收单价为ρb2），但返回给多个制造商（制造商回收单价为ρb1），ρb1>ρb2；假设4：模型中涉及的生产函数、采购成本函数和库存函数均为连续可微凸函数。

（二）变量和符号说明

T：一个规划周期；t：任意时间点，且t=t`∈[0，T]，t=t`+△t∈[0，T]，△t为规定的时间间隔；i：某一制造商，i∈（1，…，M）；j：某一零售商，j∈（1，…，N）；k：某一消费市场，k∈（1，…，L）；βr、βu：原材料转化率、回收的废旧品再制造转化率；qri（t）、qui（t）：t时刻制造商i用于生产的原材料数量、用于再制造的废旧品数量，所有qri（t）记为列向量qr∈RMT+，所有的qui（t）记为列向量qu∈RMNT+；qrij（t）、quij（t）：t时刻制造商i批发新产品、再制造产品给零售商j的交易量，所有qrij（t）记为列向量Qr1∈RMNT+，所有quit（t）记为列向量Qu1∈RMNT+；qrjk（t）、qujk（t）：t时刻零售商j销售新产品、再制造产品给对应消费市场k中消费者的交易量，所有qrjk（t）记为列向量Qr2∈RNT+，所有qujk（t）记为列向量Qu2∈RNT+；qbij（t）：t时刻零售商j转移给制造商i的废旧品数量，所有的qbij（t）记为列向量Qb1∈RMNT+；qbjk（t）：t时刻零售商j从对应消费市场k回收的废旧品数量，所有的qbjk（t）记为列向量Qbk∈RNT+；Ii（t）：t时刻制造商i的库存量，所有的Ii（t）记为列向量I∈RMT+，其上界为Bi（常数）；ρr1ij（t）、ρu1ij（t）：t时刻制造商i批发新产品、再制造产品给零售商j的交易价格；ρr2jk（t）、ρu2jk（t）：t时刻零售商j销售新产品、再制造产品给对应消费市场k中消费者的产品单价；ρrk（t）、ρuk（t）：消费者购买新产品、再制造产品的需求价格，所有的ρrk（t）记为列向量ρr∈RLT+，所有的ρuk（t）记为列向量ρu∈RLT+；hi、hj、hk：交易过程中，制造商i、零售商j、消费者k承担的单位交易费用，为一常数；ρj：零售商j对商品的陈列成本，为一常数；ρb1、ρb2：生产商与零售商之间、零售商j从对应消费市场回收废旧品的单价，为一常数，且ρb1>ρb2；fri（qr（t），βr）：t时刻制造商i利用原材料生产时的生产成本函数；fui（qu（t），βu）：t时刻制造商i利用回收材料生产时的再制造成本函数；fri（qri，t）：t时刻制造商i的原材料采购成本函数；Hi（Ii，t）：t时刻制造商i的库存成本函数；αk（Qbk，t）：t时刻消费者将废旧品卖给零售商的负效用函數；Drk（ρrk，ωr，t）、Duk（ρuk，ωu，t）：消费者k对新产品、再制造产品的需求函数，ωr、ωu为价格敏感度因子。

决策者行为分析

（一）制造商最优行为

制造商i以生产、再制造并出售商品成品来获利。其材料来源既有从供应商处采购的原材料，还有由消费市场处回收的废旧产品转化而来的可重复利用材料。此外，由于市场需求的波动和生产计划的制定并不完全同步，制造商需考虑库存管理问题。各制造商间是非合作竞争关系，则y时刻制造商i的利润最大化目标函数可表示如下：

（1）

（2）

Ii（t）≤Bi （3）

而且qrij（t）、quij（t）、qri（t）、qbij（t）和Ii（t）≥0，t∈[0，T]，i，j。

式（2）表明当期产品库存加上批发给零售商的所有产品量，等于采用原材料的生产量、采用废旧品的再制造量与上期转移到当期的库存量之和；式（3）是制造商的库存能力约束。

根据前述，制造商的最优状态可以描述如下：

可行域满足：

其中，λ1（t）=（λ1i（t）i=1，…，M），λ2（t）=（λ2i（t）i=1，…，M）为拉格朗日乘子。

（4）

（二）零售商最优行为

零售商的主要工作为销售新产品和再制造商品给对应的消费市场，并从消费市场回收废旧品销售给制造商。所需承担的成本包括向制造商批发商品的费用、与消费者的交易费用、商品的陈列展销费用以及回收废旧品成本。则t时刻零售商j的利润最大化函数表示为：

（5）

（6）

（7）

而且，qrjk（t）、qujk（t）、qrij（t）、quij（t）、qbjk（t）和qbij（t）≥0，t∈[0，T]，i，j，k。

式（6）为零售商购销约束限制；式（7）表明零售商从消费市场回收的废旧品数量与销售给制造商的废旧品数量一致。

假定零售商是非合作竞争关系，其最优状态可以描述如下：

可行域满足：

其中，υ1（t）=（υ1j（t）j=1，…，N），υ2（t）=（υ2j（t）j=1，…，N）为拉格朗日乘子。

（8）

（三）消费市场最优行为

消费者需求具有波动性，本文以需求随时间作周期性变化为例，研究消费者需求对供应链整体的影响。

Drk（ρrk，ωr，t）=（Dr-ωrρrk（t））·（1-RArd·cos（2π（t+φrd））） （9）

Duk（ρuk，ωu，t）=（Du-ωuρuk（t））·（1-RAud·cos（2π（t+φud））） （10）

消费市场是连接正向供应链和逆向供应链的节点，因此本文从两方面进行分析：在正向供应链中，零售商j与消费市场k中的消费者进行交易时的均衡状态可描述如下：

（11）

（12）

（13）

（14）

在逆向供应链中，消费市场k中的消费者愿意把废旧品卖给零售商的前提是其面对的不利因素能够得以补偿。

（15）

s.t. qbjk（t）≤qrjk（t）+qujk（t） （16）

而且，qrjk（t）、qujk（t）、ρrk（t）、ρuk（t）和qbjk（t）≥0，t∈[0，T]，j，k。

式（16）表明消费市场k中回收的废旧品数量不能超过其从零售商处购买的商品总量。

将正向供应链与逆向供应链的情形结合起来考虑，得出消费市场k中消费者的行为分析，可以描述成如下的变分不等式：

可行域满足：

其中，ζ（t）=（ζk（t）k=1，…，L）为拉格朗日乘子。

（17）

考虑制造商库存约束的动态供应链网络均衡状态

考虑制造商库存约束的动态供应链网络均衡状态就是能够有效连接正向物流与逆向物流，使得各层决策者的交易量与价格均满足均衡状态（4）、（8）、（17）之和。

为便于下文的性质分析，本文将整合后的变分不等式改写成标准形式，即存在X*∈K，使得：

〈F（X*），X-X*〉≥0，X∈K （18）

其中，K=（K1×K2×K3）t∈[0，T]，且本文中F（X）是均衡状态（4）、（8）、（17）整合后相应的部分集合。变分不等式（18）解的存在性和唯一性的证明可以参考Nagurney A，Dong J，Zhang D（2002）。

数值模拟

本节提出了带有2个生产商、3个零售商和3个需求市场的闭环供应链网络。模型求解中所需的参量设置为：hi=10、hj=10、hk=5、βr=0.7、βu=0.5、ρj=8、Bi=150、Dr=Du=1000、wr=1.1、wu=1.3、RArd=RAud=0.3。

生产商的生产成本函数：

fri（qr（t），βr）=（βr·qri（t））2+（βr）2·qr1（t）·qr2（t），i=1，2，t∈[0，T]

fui（qu（t），βu）=（βu·qui（t））2+βu·qui（t），其中，i=1，2，t∈[0，T]

生产商的原材料采购成本函数：

fri（qri，t）=（qri（t））2+qr1（t）·qr2（t）+2·qri（t），i=1，2，t∈[0，T]

生产商的库存成本函数：

Hi（Ii，t）=2·Ii（t），i=1，2，t∈[0，T]

消费者对废旧品卖出的负效用函数：

αk（Qbk，t）=0.5·（qbjk（t）），k=1，2，3，t∈[0，T]

为便于分析，本文设定规划期T为一年，其中，△t为一个固定值0.1年，即把一年划分为10个等间隔時间段来研究。由于函数设置的原因，2个生产商的情况一致，因此本文选取生产商1的数据作为分析依据。

图2给出了生产商1用于生产的原材料数量和用于再制造的可利用废旧品数量关系。从图中可以看出，在初始阶段（即t=0）生产商1尚未从需求市场上回收废旧品，因而生产用材料来源于上游采购的原材料。随着经济活动的继续，市场上的消费者在回收价格的激励下会主动出售废旧品，从而使得生产商1处的可利用废旧品数量qui=1（t）有所增长。但需要注意的是，由可利用废旧品转化的再制造商品数量无法满足市场需求，所以原材料的采购量依然不低，但在一定程度上达到了节约资源的目的。

图3给出了生产商1的库存变化情况。可以看出，生产商1的库存量从t=0.6时开始增加，意味着市场需求有所下降（或生产供应大于市场需求），结合图2可知，生产商1采购的原材料数量出现一定幅度的下滑，而此时的回收废旧品数量反而有所上升，说明生产商1可通过调节购入的原材料数量和回收的废旧品数量来生产商品，以保障市场需求及利润最大化。

图4给出了生产商1的利润变化情况。可以看出，在t=0.6之前生产商的利润波动不大，基本处在较为平稳的范围。当t≥0.6时，生产商利润出现较大幅度增长，而后出现下滑趋势，而在此时间段内恰逢生产商库存开始出现并有所增长（见图3）。在库存小幅增长时（即0.6≤t≤0.8），生产商1的利润虽然有波动，但整体上还是比之前（0≤t≤0.5）有更多盈利，这说明在一定的库存成本影响下，生产商通过调节采购的原材料数量和回收的废旧品数量确实可以达到盈利的目的，而且适当的库存对生产商也有利。但是当库存增长幅度过快（即t≥0.8）时，生产商1的利润也出现断崖式下跌，尤其当t=1.0，此时库存已接近极限值（Bi=150），与此对应的是利润处于最低点。这就说明较大的库存对企业盈利影响较严重，一味调节原材料采购数量已不能控制自身较大的成本支出，为此建议企业在库存管理方面应采取多种有效处理手段（如JIT生产、准确预测等）。

参考文献：

1.孙浩，达庆利.制造/再制造集成物流网络设施选址问题研究[J].计算机集成制造系统，2009（2）

2.杨广芬.由零售商负责回收的闭环供应链超网络优化[J].系统工程，2009（6）

3.王海超.绿色物流的回收供应链超网络模型研究[D].大连海事大学，2009

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5.彭向，张勇.基于时变需求的供应链网络动态均衡模型[J].系统工程理论与实践，2013，33（5）

6.王莎莎.动态环境下供应链超网络均衡模型研究[D].大連海事大学，2016