一提二看三套：跨过因式分解那些坎儿

◎万志建 许 吉

刚开始学因式分解时，同学们的思维处于逆向状态，一时半会还没有从整式乘法中回过神来.另外因式分解题型变化多，有的分解可能要走二三步，有的还要涉及整体思想，这更容易让同学们在解题中无招可使或昏招频出.本文帮同学们归纳因式分解常用的方法及易错点，防控解题风险.

一、概念不明

例1 分解因式：a2+4a-5.

【错解】原式=a（a+4）-5.

【错因】没有理解因式分解的概念，即没有把一个多项式从整体上化成几个整式乘积的形式.

【正解】原式=（a+5）（a-4）.

二、“提”中出错

“提”即提公因式，一般来说，任何一道因式分解题，应优先考虑提公因式，而在实际解题过程中，提公因式存在以下误区：

1.有而不提.

例2 分解因式4a2-16.

【错解】原式=（2a+4）（2a-4）.

【错因】因式分解不彻底，还有公因式可提取.为避免这种情况，因式分解时应优先考虑提公因式，这样既可以降低运算难度，又可以让分解更彻底.

【正解】原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）.

2.提而不净.

例3 分解因式：-3a2bc3+12abc3-3abc2.

【错解（1）】原式=-3abc2（ac-4c-1）.

【错因】符号处理失误，最后一项没有变号.为避免这种情况，可先提取“-”，使括号内首项为正，再提取公因式，熟悉后则可一气呵成，一步提到位.再如分解因式a（x-y）2-a2（yx），则更要注意符号的处理.

【错解（2）】原式=-3abc（ac2-4c2+c）.

【错因】提公因式不彻底，还含有公因式c，为此提公因式中的因式应为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.

3.丢“兵”弃“甲”.

【错解（3）】原式=-3abc2（ac-4c）.

【错因】提公因式时，最后一项与公因式相同，提出后没有用“1”补项，无形中取消了这项.

【正解】原式=-3abc2（ac-4c+1）.

三、套用出错

套：即套公式.

在套公式时存在以下误区：

1.公式不熟.

例4 因式分解：9x2-4y2.

【错解】原式=（3x+4y）（3x-4y）.

【正解】9x2-4y2=（3x+2y）（3x-2y）.

例5 因式分解：-3a3b+6a2b-12ab.

【错解】原式=-3ab（a2-2a+4）.

【正解】原式=-3ab（a2-2a+4）

=-3ab（a-2）2.

【错因】以上两例均是对公式特征把握不准，半生不熟.

2.分解不透.

例6 分解因式：（a2+1）2-4a2.

【错解】原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）.

例7 分解因式：4x4-8x2+4.

【错解】原式=4（x4-2x2+1）=4（x2-1）2.

例8 分解因式：9（x-y）2-25（x+y）2.

【错解】原式=（3x-3y+5x+5y）（3x-3y-5x-5y）=（8x+2y）（-2x-8y）.

【错因】分解不彻底，以上三个式子还可以运用公式法或提公因式继续分解.

【正解】各式应在原有基础上继续分解为：（a+1）2（a-1）2；4（x+1）2（x-1）2；-4（4x+y）·（x+4y）.

四、总结提炼

看：即看项数，观察特征.

两项：考虑是否用平方差公式，关键看这两项是否具备“平方、异号”的特征，即看两项能否写成平方的形式，是否为异号.

如：-x2+y2、9x2-4y2、9（x-1）2-4（y+1）2等都可以用平方差公式因式分解.

三项：考虑是否用完全平方公式，关键看这三项是否具备“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”的特征，即从整体看这个多项式是否为三项，其中两项是否可化为平方项，另一项是否正好是这两个平方项底数积的2倍.

如 x2-4x+4、9x2-12xy+4y2、9（x-1）2-12（x-1）（y+1）+4（y+1）2等都可以用完全平方公式因式分解.

为确保因式分解的准确性，我们还可以从以下几个步骤去检验：一是看结果是否为几个整式的乘积形式，二是看结果中的每个因式是否还能分解，而判断的方法仍然是“一提二看三套”；三是看结果中的几个整式的乘积必须等于原来的多项式.

总之，只要我们理解定义，掌握方法，经过适量练习，不断总结经验，就能跨过因式分解那些坎儿，“秒杀”复杂题，口答结果.