空间几何精选88题

■本刊编辑部

1.如图1所示,四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M为PB的中点。

(1)求PA与底面ABCD所成角的大小;

(2)求证:PA⊥平面CDM;

(3)求二面角D-MC-B的余弦值。

图1

2.如图2,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2BG=2。

(1)证明:AG∥平面BDE;

(2)求二面角E-BD-G的余弦值。

图2

3.如图 3,在直角梯形ABCD中,AD ∥BC,∠ADC=90°,AE⊥平面ABCD,EF∥CD,BC=CD=AE=EF=AD=1。

图3

(1)求证:CE∥平面ABF。

(2)在直线BC上是否存在点M,使二面角E-MD-A的大小为?若存在,求出CM的长;若不存在,请说明理由。

4.如图4,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成角的正弦值为。

图4

(1)若F是线段CD的中点,证明:EF⊥面DBC;

(2)求二面角DEC-B的平面角的余弦值。

5.如图5,在平行四边形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C,C1分别为AB,A1B1的中点。现把平行四边形AA1C1C沿CC1折起,如图6所示,连接B1C,B1A,B1A1。

(1)求证:AB1⊥CC1;

(2)若AB1=6,求二面角C-AB1-A1的余弦值。

图5

图6

6.如图7所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD 是梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE。

(1)求证平面EAC⊥平面PBC;

图7

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。

7.如图8,在五面体ABCDEF中,AD⊥平面ABEF,BC⊥平面ABEF,AB∥EF,且BC=1,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q分别为AE,BD的中点。

图8

(1)求证:PQ∥平面BCE;

(2)求二面角A-DF-E的余弦值。

8.如图9,已知平行四边形ACDP中,AD⊥AP,AD=AP,延长PA至B,使得AB=AP=1,连接BC。现沿AD进行翻折,使得平面ABCD⊥平面ADP,连接PB、PC,得到如图10所示的空间图形,点Q在线段PC上,且=m。

(1)若BQ∥平面ADP,求m的值;

(2)在(1)的条件下,求点Q到平面ABP的距离。

图9

图10

参考答案

1.(1)取DC的中点O,由△PDC是正三角形,知PO⊥DC。又平面PDC⊥底面ABCD,则PO⊥平面ABCD于O。连接OA,则OA是PA在底面上的射影,∠PAO就是PA与底面所成角。

因 ∠ADC=60°,由 已 知 △PCD 和△ACD是全等的正三角形,从而求得OA=OP=3,∠PAO=45°。所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°。

(2)取AP的中点N,连接MN。

由(1)知,在菱形ABCD中,由于∠ADC=60°,则AO⊥CD。又PO⊥CD,则CD⊥平面APO,即CD⊥PA。又在△PAB中,中位线MNAB,COAB,则MNCO,则四边形OCMN为平行四边形,所以MC∥ON。在△APO中,AO=PO,则ON⊥AP,故AP⊥MC。而MC∩CD=C,则PA⊥平面CDM。

(3)由(2)知MC⊥平面PAB,则∠NMB为二面角D-MC-B的平面角。

在Rt△PAB中,易得PA=,PB=

故所求二面角的余弦值为-

2.由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,则EC⊥平面ABCD。

图11

根据题意建立如图11所示的空间直角坐标系,可得B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0),G(0,2,1)。

(1)设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),因=(0,2,-2),=(2,0,-2),则·m=0,·m=0,即则x==z。y

取平面BDE的一个法向量为m=(1,1,1),因=(-2,1,1),·m=-2+1+1=0,则⊥m。因AG⊄平面BDE,则AG∥平面BDE。

(2)设平面BDG的法向量为n=(x,y,z),二面角E-BD-G的平面角为θ。因为=(2,-2,0)=(0,0,1),由n·=0,取平面BAG的一个法向量为n=(1,1,0),则cosθ=。故二面角E-BD-G的余弦值。

3.(1)如图12,作FG∥EA,AG∥EF,连接EG交AF于点H,连接BH,BG。

因EF∥CD且EF=CD,则AG∥CD,即点G在平面ABCD内。由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG。

则四边形AEFG为正方形,四边形CDAG为平行四边形,H为EG的中点,B为CG的中点,BH∥CE,故CE∥面ABF。

图12

(2)如图13,以A为原点,AG为x轴,AD为y轴,AE为z轴建立空间直角坐标系A-xyz。

则A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设M(1,y0,0),则=(0,2,-1),=(1,y0-2,0)。

图13

设平面EMD的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得z=2,x=2-y0,则n=(2-y,1,2)。

又⊥平面AMD,=(0,0,1)为平面AMD 的法向量,则|cos〈n,〉|=,解得。故在直线BC上存在点M,且

4.(1)取AB的中点O,连接OC,OD,则OC⊥面ABD。故∠CDO即是CD与平面ABDE所成的角。所以⇒CD=⇒BD=2。

取ED的中点为M,以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OM为z轴,建立如图14所示的空间直角坐标系,则C(,0,0),B(0 ,1,0),D(0 ,1,2),E(0 ,-1,1),

图14

取BC的中点为G,则AG⊥平面BCD。

所以∥,所以EF⊥平面DBC。

(2)由上知BF⊥平面DEC。

又,取平面DEC的一个法向量n=(,-1,2)。

又=(-,-1,1),=(-,1,0),由此得平面BCE的一个法向量m=(1,,2)。

则cos〈m,n,所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值为。

5.(1)由已知可得,四边形ACC1A1,BCC1B1均为边长为2的菱形,且∠ACC1=∠B1C1C=60°。在图15中,取CC1的中点为O,连接AO,B1O,AC1,故△ACC1是等边三角形,所以AO⊥CC1。同理可得,B1O⊥CC1。又因为AO∩B1O=O,所以CC1⊥平面AOB1。又因为AB1⊂平面AOB1,所以AB1⊥CC1。

图15

(2)由已知得,OA=OB1=,AB1=,所以OA2+OB21=AB21,故OA⊥OB1。如图16,分别以为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,得C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),A1(0,2,)。

设平面CAB1的法向量为m=(x1,y1,z1),因为=(,0,-),=(0,-1,-), 由得令x1=1,得z1=1,y1=-,所以平面CAB1的法向量为m=(1 ,-,1)。

图16

设平面AA1B1的法向量为n=(x2,y2,z2),=(,0,-),=(0,2,0),由得令x2=1,得z2=1,y2=0,所以平面AA1B1的法向量为n=(1 ,0,1)。于是 cos〈m,n〉=因为二面角C-AB1-A1的平面角为钝角,所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-

6.(1)因为PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥PC。由条件知AB=2,AD=CD=1,AC=BC=2。因为AC2-BC2=AB2,所以AC⊥BC。又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC。因为AC⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面PEC。

(2)取AB的中点为F,连接CF,则CF⊥AB,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,如图17所示,则 C0,0,0( ),A(1 ,1,0),B(1 ,-1,0)。

图17

设P0,0,a( )a＞0( ),则E=(1 ,1,0),=(0 ,0,a),=

取m=(1 ,-1,0),则m·=m·=0,所以m为面PAC的法向量。

设n=x,y,z( )为面EAC的法向量,则n·=n·=0,得令x=a,y=-a,z=-4,则n=(a,-a,-4)。

依题意,有cos〈m,n〉,则a=4。

于是

设直线PA与平面EAC所成角为θ,则,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

7.(1)连接AC,因为AB∥EF,EF⊂面CDFE,AB⊄面CDFE,所以AB∥平面CDFE,又AB⊂面ABCD,面ABCD∩面CDEF=CD,所以AB∥CD。

又AD⊥平面ABEF,BC⊥平面ABEF,所以AD∥BC。

所以四边形ABCD是矩形。

因为Q为BD的中点,所以Q为AC的中点。又在△AEC中,P为AE的中点,所以PQ∥EC。

因为EC⊂面BCE,PQ⊄面BCE,所以PQ∥平面BCE。

(2)如图 18,取EF的中点M,则AF⊥AM,以A为坐标原点,以AM,AF,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,0,1),M(2,0,0),F(0,2,0)。

图18

可得=(2,0,0),=(-2,2,0),=(0,2,-1)。

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

故

令x=1,则y=1,z=2。

故n=(1,1,2)是平面DEF的一个法向量。因为AM⊥面ADF,所以为平面ADF的一个法向量。

所 以 cos〈n,由图可知所求二面角为锐角,故二面角A-DF-E的余弦值为。

8.(1)设Q为线段CP上靠近点P的四等分点,如图19,过点Q作QQ'平行CD交DP于点Q'。

因为QQ'∥CD,AB∥CD,所以QQ'∥AB,又QQ'=CD,AB=CD,所以ABQQ'为平行四边形,故BQ∥AQ'。

图19

又AQ'⊂平面ADP,BQ⊄平面ADP,所以BQ∥平面ADP,从而m=3。

(2)由(1)可得BQ∥平面ADP,将△ABP补成一个矩形ABRP,连接QR,并过Q点作QM垂直BR,交BR于点M,易得QM为点Q到平面ABP的距离。

由平行性质可知QR∥DP,RB∥PA,故∠QRB=45°,从而QM=×sin∠QRB=1。