“平面向量基本定理”教学设计

张荣延 王冬晴

一、教材分析

1.地位和作用

“平面向量基本定理”是人教 A版必修 4第二章第三节的第1课时，属于概念性知识，在向量知识体系中占有核心地位。在本节课之前，学生学习了向量的线性运算及“向量共线定理”，可以利用它与“平面向量基本定理”的升维类比关系引入课题。因此平面向量基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识 ，同时又为后继的内容作了奠基，起到了承前启后的作用。

2.重点和难点

重点：平面向量基本定理的发现理解和初步应用。难点：平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性。

3.目标分析

知识与技能目标：掌握平面向量的基本定理及其简单应用。

过程与方法目标：以学生为主体，分层探究平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性，让学生经历平面向量基本定理的发现和形成过程，充分领悟类比转化、数形结合的数学思想方法。情感态度与价值观目标：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题、探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

二、设计理念

本节课从情景问题出发，引出两个具体的问题，通过师生互动、讨论和分析得到猜想，进而通过作图分解、论证、多媒体演示等方式验证猜想中的任意性、存在性，得到定理的雏形，然后从数形两个角度说明基底的不唯一性，完善定理的内容，最后揭示定理的意义和应用价值，提高学生对知识体系的整体认识。

三、教学过程

1.设置情景，引入新课

师：大家小时候都玩过滑梯吗？那你们有没有想过为什么我们能从高处沿着滑梯滑到地面呢？

生：因为地球引力、人的重力……

师：可以用学过的物理知识去解释，是因为重力的分解。如果将这个问题转化为数学问题，就是：一个向量分解成两个方向上的向量，那反过来说就是两个方向上的向量可以表示同一平面内的某一个向量。两个方向上的向量是否可以表示平面内的任意向量呢？

[设计意图] 从学生熟悉的力的分解和合成等物理背景出发，引导学生思考：对于给定平面内任一向量，是否可以类似地进行分解和合成？ 从而将目标引向教学主题。

2.问题探究，构建规律

问题1：两个方向上的向量可以表示平面内任意向量吗？

根据问题1引导学生动手做图（如图1），

同时利用多媒体进行演示（如图2）：

（1）定起点——在平面内任取一点O；

（2）平移——将三个向量平移到同一起点O；

（3）构造——平行四边形；

（4）共线——向量共线定理。

探究结论：两个方向上的向量可以表示平面内的任意向量，并且有唯一的实数λ1，λ2使得它们之间的表达式为。

[设计意图] 建构主义的学习观认为 ：“学生的学习不是被动接受的过程，而是在已有知识经验的基础上对新知识的同化、顺应、重建，进而形成新的知识结构的过程”，在这一环节中通过数学实验，让学生动手做图，自主探索，积极思考，大胆概括，主动构建，并向学生渗透了数形结合的思想。

引领反思，类比再探

问题2：在问题1中我们给定的是两个不共线的向量，那么两个共线向量可以表示任意向量吗？

生：好像可以表示。

师：若两个共线的向量可以表示，那么只能是与共线的那些向量，而不是任意的向量。

探究结论：平面内两个共线向量不能表示任意向量。

[设计意图] 新课程标准中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课使用了两个问题去发现、验证和理解，一方面，希望学生能够认识到这个定理的价值；另一方面，希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的合理的思维方式。

3.总结规律，得出结论

师：根据以上探究请同学们归纳猜想平面向量基本定理？

生：（学生交流讨论，教师启发引导）若是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使。——平面向量基本定理

师：在这个定理中我们需要注意的有哪些？

生：①是同一平面内两个不共线的向量；②实数λ1，λ2是唯一的；③等式。

师：向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，这组基底又是否唯一呢？

（学生讨论并回答）此时教师利用几何画板在图2的基础上再次作图（如图3）：过点O任意作出另外两个向量，再构建一个平行四边形，会发现这组向量也可以表示任意的向量，即也是表示这一平面内任意向量的一组基底。

探究结论：基底是不唯一的。

[设计意图] 首先通过师生的共同探究，由学生根据探究口述定理，然后教师进行完善并归纳平面向量的基本定理，而且在探究的整个过程中学生都处于思维活跃的状态，定理中需要教师“一个定理，三项注意”的提醒。

4.简单应用，巩固新知

例 已知向量，求作向量。

[设计意图] 以课本中熟悉而简单的问题，使学生初步掌握在具体问题中用基底来表示相关向量，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。

5.变式训练，熟练技能

变式 设，点P在线段BN上，若，求实数m的值。

[设计意图] 定理的认识和理解是一个循序渐进、逐步深化的过程，通过本题的训练，能使学生巩固知识、拓展能力、理解和深化对定理的认识与延伸，建构全面、良好的数学认知结构。

6.交流心得，提高认识

师：这节课学习了什么内容？有哪些关键词？要注意哪些问题？

生：这节课我们主要学习了平面向量基本定理，关键词：在平面内；两个；不共线的向量；有且只有，要注意的问题是实数的唯一性和基底的不唯一性。

7.任务后延，拓展探究

[设计意图] 必做题是对课内知识的巩固，选做题是为了让学有余力的学生能够有充分的发展空间。

四、教学反思

本节课的设计有三个指导思想，分别是：发现和认识平面向量基本定理的形成过程；探究平面向量基本定理中的“三项注意”；处理好数学抽象与直观图像的关系。其中最有效的方法就是引导学生“再创造”。使学生深入认识新概念新思想。

参考文献：

[1]方均斌.數学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.

[2]张奠宙.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]刘绍学普通高中课程标准教科书A版·数学3（必修）教师教学用书[M].北京：人民出版社，2007.