数形结合思想在高中数学中的应用探究

冯新玲

【摘要】数形结合思想是高中数学思想中非常重要的数学方法和数学原则，也是全面提高学生素质的重要方法之一，掌握好数形结合的思想是学习高中数学的关键，在数学教学中有至关重要作用和地位。它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，给人以直觉的启示，有利于分析题中的数量之间关系，丰富想象，化繁为简，化难为易。对理解、掌握、运用数学方法和解决数学问题起到有效的推动作用。

【关键词】高中数学 数形结合 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0126-02

数学是一门逻辑性较强的学科，它不仅要求学生具有一定的空间想象能力，还要求学生具有解答数量关系的能力。数形结合思想是一种很重要的数学思想，强调数和形的结合，数指的是数量关系，而形则指的是空间图象，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。是高中数学新教材中的内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想.教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观.还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，从而提高数学素养。

一、数形结合的思路

在教学的过程中，学生是主要参与者，老师只起到引导、启发的学生通过学习理论知识以及将知识转化为实践当中的应用能力，及时的给予学生提出新的问题，与学生一起探讨思索新问题的解决方案和思路。把更多的时间留给学生，让学生独立的去思考如何解决问题，培养学生独立自主的解题能力，使得学生的知识基础过硬。学生从一些课本基础的代数或者几何问题作为练习将代数和几何相互转化，熟悉相互转化的技巧，通过基础的训练之后，接触一些有难度的代数几何问题，将之用数形结合的方式解析出来，由此逐渐培养学生的做题技巧和做题能力。利用数形结合的思路可以解决一些数学问题，发现数与形的内在联系，将会收到事半功倍的效果。数形结合不仅仅是一种解题的方法，然而作为一种重要的数学思想，可以拓宽学生的思路，可以实现将知识转化为实际能力的过程，让学生更快更有效的解决数学问题。

二、高中数学“数形结合”相互转化的途径

首先，“形”到“数”的有效转换。高中数学教学中形到数的转换有三种方式，第一是向量法，将几何图像进行向量化，将抽象的几何图像通过科学的推理转换为精简的代数化，特别是对于抽象的空间向量有着高效的作用。第二是解析法，针对相关的题目建立一目了然的坐标系，将复杂的几何图形变化转换为坐标的简单运算。第三是三角形法，将抽象的几何问题与有迹可循的三角形相关联，运用不变的三角定理来解决问题。其次，“数”到“形”的有效转换。数到形的转换大体概括为三个方面，第一是在解决方程或者不等式这类问题时，可以借助函数的图像以及函数的性质来进行转换解题。第二，可以通过对某个代数式的结构分析进行构造几何模型，通过二者的已知条件进行相应的解题。第三，将代数式转换为平面向量，利用平面向量的数量以及模的性质来寻求解题的规律。

三、数形结合思想在高中数学中的具体应用

1.数形结合思想在解函数问题中的应用。函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。

例1求函数y=x2-2x-3，xE（-1，2）的值域。

解析：所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求值域，因此需要借助图像来观察，如右图：（略）

借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当x=1时，y=-4。从而该函数的值域为：（0，-4）。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

2.数形结合思想解答不等式问题中的应用。不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值，对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求。

例2求证：（a与c、b与d不同时相等）

分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式。在平面直角坐标系中设A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如图，当A、B、O三点不共线时，|AB|<|AO|+|BO|.

当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，|AB|<|AO|+|BO|。

当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，|AB|=|AO|+|BO|综上可证。

3.数形结合思想在解析几何问题中的应用

“坐标法”是研究平面解析几何的最基本方法，通过建立适当的直角坐标系，利用点的坐标——数字特征来刻画平面图形的结构特征，利用代数的方法求解平面图形中的推理、运算问题，将几何问题“代数化。

例3已知A（1，1）为椭圆x2/9+y2/5=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求|PF1|+|PA|的最大值和最小值。

解：由x2/9+y2/5=1可知a=3，b=，c=2，左焦点F1（–2，0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义，|PF1|=2a–|PF2|=6–|PF2|，

∴|PF1|+|PA|=6–|PF2|+|PA|=6+|PA|–|PF2|

4.數形结合思想在解方程问题中的应用

例4设方程lx2-1l=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况。

分析：我们可把这个问题转化为确定函数y1=lx2-1l与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当k<-1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解；②当k=-1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；③当-10时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有二个。

参考文献：

[1]刘志英.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].中学生数理化，2013（5）.

[2]孔令伟.数形结合思想在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.