浅谈数学解题的自然性

唐模斌

【摘要】数学是一门高度抽象的学科，学数学离不开解题，解数学题需要有良好的思维品质。要想学好数学，必须要培养良好的数学思维习惯。很多学生对数学充满恐惧，上课能听懂，课后却做不来题。因此，教师在组织教学的过程中，应力争做到解题方法分析自然、求解或证明过程符合思维的自然性。注重解题方法的自然性，培养学生的数学直觉是提高学生数学素养的一条有效途径。

【關键词】自然性 数学直觉 数形结合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）17-0123-02

《高中数学课程标准》指出“人们在学习数学和应用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程。”这些过程的落脚点就是数学思维方式和方法的自然性。本文将从几个数学题的解法和思路分析当中探求解题方法的自然性及其对数学直觉思维的意义。

例1：已知函数f（x+a）=-f（x），求证f（x）为周期函数。

笔者在听课时遇到一位老师是这样讲解的：这种题，讨论函数的周期性一般的做法是猜想常数a的倍数是否是函数的周期，。

接着老师又出了一个变式题：已知函数，则T=________。

很快学生得出了答案：T=2a。表面上看，学生迅速地接受了这种题的解法，但是这绝对是一种假象。才讲了例题，马上给出一个变式练习，学生当然能依葫芦画瓢。但是时间久了，谁能确保学生还能记住这种经验？“一般的做法是猜想常数a的倍数是否是函数的周期”这种处理方式非常不自然。学生肯定会疑惑为什么要这样做。

笔者认为，此题引导学生从直觉上来认识这个问题更有利于学生对问题本质的把握。自变量加a，函数值变为相反数。一个很自然的想法是，自变量再加a，两次取相反数，函数值就回到f（x）了。所以猜想函数的周期为2a。本题的关键是要能猜想出函数的周期，通过直觉分析比通过所谓的经验去尝试得到结果显然更自然，学生掌握与运用也将更灵活。

例2：在ΔABC中，若对任意的λ∈R，都有，则ΔABC（ ）

A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形

C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形

解法1：设AB=c，AC=b，BC=a，将两边平方得，即关于λ的不等式在R上恒成立。因此Δ≤0，整理为，再由正弦定理得又，故，则角C为直角，故选C

解法2：当λ=0时有AB≥BC，故角A只可能为锐角。如图1所示，过点B作AC的平行线，显然，对任意的。由题意，故，从而角C为直角。

评析：解法1通过平方得到关于λ的二次不等式，再借助一元二次不等式恒成立的等价条件以及利用正弦定理，通过代数运算得出角C为直角。解法2体现了数形结合思想，这种方法不仅对问题得出了一种直观的认识，而且免去了繁杂的计算。通过这种方法，学生能更好地把握问题的本质。

例3：在锐角三角形ABC中，边c=2，角，求三角形面积S的取值范围。

解法1：由正弦定理，，又该三角形为锐角三角形，所以。所以。

解法2：如图2所示：在半径为的圆中，90°的圆心角所对的弦AB=2，则弦AB所对的圆周角为又三角形ABC为锐角三角形，故点C位于劣弧上。由图可知，当C位于C1或C2时，S=2；当C位于劣弧的中点时，

评析：解法1从正弦定理与三角形面积公式出发，再利用积化和差公式求得结果。现行教材对积化和差公式已不作要求，学生很难想到这种方法。另一方面，数缺形时少直觉。解法2能以“形”的直观启迪思路，揭示出试题的几何特征，变抽象为形象，使解法比较繁琐的这道题变得简单明了，学生更容易理解和入手解决。

例4：（1）已知函数，求f（x）的最大值。

（2）设函数若函数的最小值为g（a）求g（a）。

很多资料书都把这类问题归类为“轴动区间定”和“轴定区间动”。这种归纳方法表面上看条理很清晰，实则是把简单问题复杂化。学生学了物理就知道，运动是相对的，无论是“轴动”还是“区间动”，都可以看成对称轴在运动。一元二次函数求最值关键看对称轴与给定区间的位置关系，从直观上对称轴与区间的关系就只有“左边”、“中间”、“右边”三种情况。当然当二次函数开口向上（下）时，求最大（小）值时，对称轴位于区间中间还应考虑对称轴更靠近左边还是右边。因此，只考虑对称轴位置的变换，讨论的情况就形象直观，学生接受起来简单易懂。从位置关系来决定讨论点显得很自然，突出了问题的几何特征，学生很容易理解和掌握。

例5：已知数列满足a1=an=0，且当时，，令求S（An）的最大值。

参考答案：由，可设，则或，，，所以。

因为a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，c1，c2，…，cn-1是由个1和个-1构成的数列。所以S（An）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cn-1）=（n-1）c1+（n-2）c2+…+2cn-2+cn-1。则当c1，c2，…，cn-1的前项取1，后项取-1时S（An）最大。此时，。

评析：本题的难点是得出，时S（An）取最大值。参考答案的做法过于抽象，解题思路不够自然。若能从数形结合的角度来考虑就简单明了。

则a2，a3，…an-1对应的点全部位于等腰直角三角形两腰上面，否则a2，a3，…an-1对应的点就会有一些位于三角形内部，此时S（An）自然要小些。

在现行教育体制下，为了提高学生考试成绩，很多老师急功近利，填鸭式地给学生灌输各种所谓的经验、技巧。然而数学问题千变万化，谁能够记住各种方法？没有把握数学的本质，即使记住了很多方法，拿什么来发现与创新？爱因斯坦曾经说过：“想象比知识更重要。”所谓想象其实就是一种思维直觉，要想有所发现，有所创新必须具有超强的直觉。数学学科的教学必须让学生对知识有一个直观上的认识。发现问题的能力比解决问题的能力更重要。要有所发现、有所创新，必须培养超强的数学直觉。 从认知规律上讲，直观上的东西更容易被记住，运用起来更灵活。在以高考为主要目标的同时，我们可能有些忽视培养学生对知识的直观体验，因为这些东西在高考题中体现并不明显。然而生搬硬套、死记硬背得来的数学知识终究缺乏灵活性，在实际应用中完全发挥不出来。数学直觉是数学研究能力的重要表现，过分强调对知识、技巧的记忆、数学学习太依赖模式化的解题经验，学生的数学能力就得不到提高。这也就解释了中国学生在国际上的一些学业水平测试中很有优势，但是与之形成鲜明对比的是我们在诺贝尔奖、菲尔茨奖等国际大奖获奖方面的巨大差距。数学知识的掌握必须要有一个直观体验过程。注重解题思路的自然性不仅可以提升学生的学习成绩，更能加深学生对数学本质的直观认识，从而提高学生的数学素养。