关于圆锥曲线单元教学的若干思考

张俊刚

（太原市第二十中学校，山西 太原）

前段时间，笔者参加了市教科研中心组织的“升华杯”说课竞赛，竞赛课题是人教版选修1-1“圆锥曲线单元教学指导”。赛后，各位评委老师对此给出了较高的评价，同时也提出了一些问题，笔者听取了建议和意见后，感受颇深，故重新整理内容，愿与同行交流。

一、内容分析

1.选修1-1中的“圆锥曲线与方程”和必修2中的“直线与方程”“圆与方程”以及系列4中的选修4-4“坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干，它是直线与方程、圆与方程内容的延伸，也为后面学习坐标系与各种方程做好了准备。所以，它在解析几何中起着承上启下的作用。

2.本章内容包含三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义及其标准方程，椭圆的内容要求“理解”，双曲线与抛物线的内容要求“了解”。

3.教学重点是圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质；教学难点是椭圆标准方程的化简，椭圆的离心率，双曲线的渐近线。

二、学情分析

1.在选修2中学生已学会建立直线、圆这两种平面上最简单的图形的方程，并且通过研究它们的方程，研究它们的相关性质及其位置关系渗透了坐标法思想，现在延续坐标法的思想学习圆锥曲线可能容易切入。另外在必修1、必修4学习函数的过程中，学生也积累了研究函数性质的经验，这也为进一步学习圆锥曲线打下了基础。

2.从知识方面讲，认识圆锥曲线方程的推导与化简，椭圆的曲线的离心率，双渐近线；从方法方面讲，由于圆锥曲线为二元二次方程，几何性质较为丰富，学生可能在运算求解、数据处理的过程中会有所困难。另外在解决问题的过程中，究竟是侧重于从形切入，还是从数切入，可能出现判断模糊的情况，即数形结合出现障碍。

三、教学策略

1.关于圆锥曲线定义教学的思考

三种圆锥曲线定义教学都可以引导学生通过经历动脑，动手作图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型的几何特征，在此基础上，给出具有这种几何特征的轨迹的正式名称。同时充分发挥教材习题的功能，帮助学生把握圆锥曲线定义的本质，例如，课本42页习题2.17：

如图一，圆O的半径为定长R，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，如线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

再如课本42页习题2.11：

图一

如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式点M的轨迹是什么曲线？为什么？

2.关于椭圆标准方程推导过程的教学思考

如果仅仅为了获得椭圆的标准方程，学生活动也可以结束，但是我们看看以下课本中的两例题。

课本35课页：

例3.如图二，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程。

课本41页：

例 6.如图三：点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数求点M的轨迹。

这两例题让学生体会到椭圆几何特征的各种表现形式，但这与前面所学的定义之间是否有内在联系？这三种几何特征是否可以统一呢？带着这些疑问回顾前面椭圆标准方程的化简过程的片段：

两边再平方：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

其中有两处可分别变形如下：

通过这种引导，让学生了解椭圆的不同描述，丰富椭圆的概念，对椭圆的各种表述留下较为深刻的印象。反过来，这也使得单调、繁琐的运算过程变得生动而有活力，为椭圆方程的灵活运用打下了坚实基础。更重要的是让学生明白“变的是形式，不变的是本质”这一科学道理。

教材中的概念、公式、定理等多数都是以具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”知识呈现出来的，这些知识，有的是学生自我感觉就可以掌握的，有的则需要学生自主学习。其中，对于学生理解起来困难的，教师不仅“要在宏观上理清思路”，还“要在微观上推敲细节”，同时合理地利用教材并对其进行适度地“二次开发”，将其转化为易于学生理解的“教育形态”知识，即生动具体的、暴露实质的“浅显”知识。