例谈数学知识在高中生物学教学中的应用

梁 浩 刘晓菊

(河北省卢龙县中学 066400)

1 排列组合知识在生物学教学中的应用

排列与组合是高中数学中的重要内容，在生物学知识的学习中，如蛋白质分子中氨基酸的排列顺序、自由组合定律、DNA分子及RNA分子的核苷酸排列顺序、遗传信息的传递和表达等内容中都可应用到排列组合知识。

1.1 排列知识的应用 例题： 某科研小组利用化学方法合成多肽时，在反应试管中加入甘氨酸、苏氨酸、丙氨酸作为原料，加入相应的酶并在适宜的温度下处理一段时间，推测生成三肽化合物可能有_______种，其中含有3种不同氨基酸的三肽可能有_______种，如果采用一定的方法限制反应，生成的四肽化合物可能有_______种，下列数字正确的是(D)。

A. 6,6,27 B. 27,6,27

C. 6,27,81 D. 27,6,81

解析： 3种氨基酸作为原料合成多肽时，两氨基酸之间发生脱水缩合形成肽键，形成的三肽化合物有以下几种可能： ①只含有1种氨基酸的，如“H3N—甘氨酸—甘氨酸—甘氨酸—COOH”。因此，含有1种氨基酸的三肽化合物共有1×3=3种。②也可能是含有2种氨基酸的，如含有甘氨酸和苏氨酸，这就涉及每个位置上氨基酸的种类问题。氨基酸不同的排列顺序，代表三肽化合物的分子结构不同，但是氨基酸之间又有可能重复，这就是可重复的排列问题。怎么才能把含有甘氨酸和苏氨酸2种氨基酸的三肽化合物可能的种类准确快速地写出来呢？可以这样讲解： 上述三肽化合物可以由1个甘氨酸和2个苏氨酸组成，也可能由2个甘氨酸和1个苏氨酸组成。前者的具体组成包括“甘氨酸—苏氨酸—苏氨酸”“苏氨酸—甘氨酸—苏氨酸”和“苏氨酸—苏氨酸—甘氨酸”，共3种；后者同样有3种。同理，含有“甘氨酸和丙氨酸”“苏氨酸和丙氨酸”2种氨基酸的三肽化合物分别也是6种。这样含有2种氨基酸的三肽化合物共有6×3=18种。③含有3种氨基酸的三肽化合物有多少种呢？先考虑三肽化合物有3个位置，每个位置上必需与别的位置上的氨基酸种类不同，才能保证其含有3种氨基酸。这涉及到“不可重复的排列”的问题，第1个位置上可以是3种中的任意一种，第2个位置上是除第1个位置上以外的、其他的任意两种之一，第3个位置是除了前两个位置之外的那一种，所以，共有3×2×1=6种。据此，推测生成可能的三肽化合物有3+18+6=27种，而其中含有3种不同氨基酸的三肽可能有6种，生成的四肽化合物(属于可重复排列)可能有为： 3×3×3×3=81种。因此，D选项正确。

1.2 组合知识在生物学教学中的应用 例题： 在自然人群中，发现决定Rh血型的基因的基因座上共有18个基因，但对于每个人而言，只有其中的两个基因成员，则人类Rh血型有基因型(D)种。

A. 18 B. 36 C. 153 D. 171

1.3 组合知识和概率知识结合在生物学教学中的应用 例题： 一对夫妇在婚后孕检发现怀了4胞胎，医生已经证实4名胎儿在遗传上有一定差异，为异卵四胞胎。请预测他们生育一男三女的概率为多少?两男两女的概率为多少？

参考答案： 他们生育一男三女的概率为1/4，他们生育两男两女的概率为3/8。

2 概率知识在生物学教学中的应用

概率是高中数学中的重要知识，通俗地讲是某事件发生的可能性大小。在生物学很多内容的学习中要应用到概率知识，如遗传学分离定律、自由组合定律所涉及的计算，其中最常用的是乘法定理、加法定理。

2.1 相互独立事件同时发生的概率——乘法公式的应用 例题： 已知白化病为常染色体隐性遗传病，一对夫妇都是该病的携带者，问该夫妇连生两胎，两个孩子均患白化病的概率1/16。

解析： 该夫妇基因型均为Aa，他们生育子代中： 白化病aa的概率为1/4，正常AA的概率为1/4，携带者Aa的概率为1/2，第一胎的基因型对第二胎的基因型没有影响，这两个事件为独立事件。所谓独立事件是指某一事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，这两个事件互为独立事件，两个独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。所以，两个孩子均患白化病的概率为1/4×1/4=1/16。

2.2 互斥事件概率——加法公式的应用 例题： 人类的多指和白化均是常染色体遗传病，多指(T)对正常指(t)为显性，白化(a)对正常(A)为隐性。在一家庭中，父亲患多指，母亲正常，生了一个白化病的儿子，问题： (1)再生一个孩子，两病兼患的概率1/8。(2)再生一个孩子只患其中一种遗传病的概率1/2。(3)再生一个孩子表现正常的概率3/8。

解析： 根据题意，判断父亲基因型为TtAa,母亲基因型ttAa。若考虑多指一种病，Tt×tt→1/2Tt(多指)，1/2tt(正常)；考虑白化病一种病，Aa×Aa→1/4AA(正常),1/2Aa(正常)，1/4aa(患病)。其子代中有三种情况： ①两病兼患；②两种病均不患，表现正常；③只患一种病(只患白化病或者只患多指)，这三种情况的概率加在一起应是1，这三种情况为互斥事件。所谓互斥事件，是指不可能同时发生的两个事件。互斥事件中有一个发生的概率为它们分别发生的概率之和。

所以，(1)再生一个孩子，两病兼患的概率为1/2×1/4=1/8。(2)再生一个孩子只患两种遗传病中一种病的概率，意为只患白化病或只患多指(只患白化病： 1/4患白化病×1/2不患多指=1/8；只患多指： 1/2患多指×3/4不患白化病=3/8)，这是两个互斥事件。所以，再生一个孩子只患两种遗传病中的一种病的概率为两事件之和，即1/8+3/8=1/2。(3)再生一个孩子表现正常的概率，一种考虑方法是： 既不患白化病又不患多指，两个独立事件同时发生，则1/2×3/4=3/8；另一种考虑方法是： 1减去两病兼患的概率，再减去只患两种遗传病中一种病的概率，即1-1/8-1/2=3/8。

3 集合知识中交集、补集等概念在生物学计算中的应用

例题： 在一次对ABO血型的调查中，共检验了4000名居民的血液，其中，1525人为A型血，1234人有抗原B，1841人无抗原，问AB血型的人有多少？参考答案： 600人。

解析： 人类ABO血型是由红细胞表面的抗原决定的，A型血是指红细胞表面含有抗原A但不含抗原B的人，B型血是指红细胞表面含有抗原B但不含抗原A的人，AB型血即指红细胞表面含有A、 B两种抗原的人，O型血是指红细胞表面无抗原A且无抗原B的人。根据题意可画出集合图(图1)，其中，集合A有1525人，集合B有1234人，阴影部分为补集1841人，交集AB即为AB血型的人。据图可以很方便地求出： 1525+1234+1841-4000=600(人)。

图1 受检验居民血液中血细胞表面抗原类型示意图

4 数学模型的构建在生物学教学中的应用

常见的数学模型，是指那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，数学模型包括数学中的各种概念，各种方程式和各种坐标图，如柱形图、曲线图。数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。

例题： 某种温室大棚植物，在30℃条件下，测定其光照强度对光合作用速率的影响如图2所示，图中A点表示在光照强度为0的条件下，植物呼吸作用释放的CO2量；B点表示光的补偿点，是指植物在一定光照强度下，光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用释放的CO2量；C点表示在D点的光照强度下，光合速率达到了最大值，即光的饱和点。如果该植物光合作用最适温度为25℃,呼吸作用最适温度为30℃。为了增产，生产人员将温度调整到25℃，问曲线中各点变化正确的是(A)。

A. A点上移，B点左移，C点右上移

B. A点下移，B点不移，C点右上移

C. A点不移，B点左移，C点不移

D. A点上移，B点右移，C点左下移

图2 某植物光合速率随光照强度改变而变化的示意图

解析： 25℃为该种植物光合作用最适温度，但低于其呼吸作用最适温度，所以总光合速率会适当提高，呼吸速率会相应降低。由于净光合速率=总光合速率-呼吸速率，所以净光合速率值会增大，所以C点上移且会右移；呼吸速率会相应降低导致A点上移；要使光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用释放的CO2量所需的光照强度更低，因此B点左移。故A项正确。

此外，在此模型中可以找到一般规律，用于快速判断光补偿点的移动和光的饱和点的移动。

除了上述数学知识外，还有很多数学知识可应用于生物学教学中，如数学归纳法、二项式定理等。