浅谈类比法在数列中的重要运用

张谦

摘要：类比法是数学教学中的一种重要的教学方法，有着广泛应用，也是新课程改革中要求重点培养学生的能力之一。以高中数学的数列章节的教学为例，无论是定义、通项，还是性质、求和的教学都贯穿着类比法。

关键词：类比法；数列；等差；等比

类比法（Method of analogy） 也叫"比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种性质，可以推测与其类似的事物也应具有这种性质的推理方法。这种方法在我们的高中数学中有着广泛地运用，是高中生必须学会的一种学习方法，决定着学生学习能力的高低，学习效率的好坏，因此在许多知识点的教学中我们都融会贯通着类比法，下面我以人教版高中数学必修五《数列》这一章节的教学为例，简单说明类比法的重要性。

一、类比法在等差数列和等比数列定义教学中的运用

等差数列的定义是通过观察法推导出来的，一般先给出例题：

例：观察下面几个数列有什么共同特征？

（1）1、2、3、4、5…… （2）2、4、6、8、10……

（3）3、7、11、15、19…… （4）5、5、5、5、5……

通过教师引导，学生观察得到结论：一般，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。而在教学等比数列的定义时我们就会给出例子，让同学们与等差相类比。

例：类比等差数列，观察下面数列有什么共同特征？

（1）2、4、8、16、32…… （2） 、 、 、 、 ......

（3）10、100、1000、10000、100000 （4）5、5、5、5、5……

归纳：（1）通过类比可以得到等比数列的定义，只需将等差数列定义中的“差”转化成“比”即可。

（2）类比相同之处的同时也要注意区别，那就是等差数列中的常数d可以为0，而等比数列中的常数q≠0.

这种概念教学中我们运用类比法有助于学生理解内涵、容易记忆，同时将比较类似的两个概念加强区别。

二、类比法在等差数列和等比数列通项公式的推导及解题中的运用

等差数列和等比数列的通项公式在数列这一章的教学中非常重要，在解题中应用很广。推导其公式都是从定义入手，例如推导等差数列的通项公式时，老师可以引导学生由定义得到：-=d、-=d……-=d，则（-）+（-）+……+（-）=（n-1）d，所以得-=（n-1）d ，即等差数列的通项公式是=+（n-1）d ，这种推导方法我们称之为累加法。有了等差数列通项公式的推导铺垫，在推导等比数列的通项公式时，就可以由学生自己类比得：=q、=q、=q……=q，则×××……×=，所以=，即等比数列的通项公式是=。同时，学生类比得出这种推导方法叫累乘法。推导公式运用类比法不仅让学生了解了公式的推导，帮助他们记忆公式，还体会到等差数列与等比数列之间“加”和“乘”的转换。

等差数列和等比数列的通项公式推导出来以后，学生就面临着有关、、n 、d的计算问题。例如：已知等差数列中，+=4，+=10，求。这道题主要利用等差数列的通项公式得到有关和d的二元一次方程组，将两式相加减消元得出和d，从而得到。这类等差数列的解方程组的题型比较简单，学生容易上手，但碰到等比数列的解方程组学生往往会列式，不会消元，这时我们就要提醒学生注意等差数列中的“差”与等比数列中的“比”之间转换。例如：若等比数列满足+=20，+=40，求公比q.这道题与上面的例题类似，方法也一样，但消元时需将所列的方程组两式相比消去，得到关于q的方程解之。当然，如果将数列中的和联立解决有关计算问题，学生会更加困难，尤其是等比数列的解方程，这说明我们在类比时不仅要归纳相同点，也可以通过比较不同之处而掌握解决问题的方法。例如我们在等比数列中有一个典型题目：已知=7，=21，求q.解决这道题主要是对的处理，如果用求和公式，就要主要讨论q=1和q≠1，而用通项公式就要用数列的前n项和的定义将=21转换成++=21再和=7联立解答。这就说明在等差数列联立解方程的基础上我们解决类似问题要善于发现不同，然后有针对性的解答，有助于培养学生“举一反三”的能力，提高学习效率。

类比法在等差数列和等比数列性质教学中的运用.

等差数列和等比数列拥有较多类似的性质，例如中项公式、下标性质、和的性质等，它们在运用时方法也基本相同，所以教学时基本都以等差数列为模板进行等比数列性质的学习。例如：已知等差数列中，=10，求.这题只给了一个等量关系式，无法联立方程，可利用下标性质将=转化为==9=90.由此我们可归纳：等差数列中，看到两项相加就可以运用下标性质化简，那么，让学生类比猜想在等比数列中我们看到什么用下标性质呢？学生很快会说“乘”，加以具体实例学生既区别认识了等差和等比的下标性质，也清楚地明白运用下标性质的前提，有效地提高了教学效率。学生可能会发现有些题中既有“加”又有“乘”，该怎么办呢？

例：已知数列是递增的等差数列，且+=9，=8，求数列的通项公式。

变式：已知数列是递增的等比数列，且+=9，=8，求数列的通项公式。

分析：这道题只有一字之差，即“差”与“比”，但却决定了这是两个不同类型的数列，也决定了解题时要先处理哪一个已知条件。例题是等差数列所以要先用下标性质将+=9转化成+=9，然后与=8联立解出和，再利用等差数列的通项公式求出和d，从而得到；而变式中因为数列是等比数列，所以先处理的就是=8，利用的是等比数列的下标性质，但整个解题方向完全相同。

通过上面我仅从《数列》这一章节的几个方面的实例可以发现我们平时的学习与生活中处处充满着类比，类比可以帮助我们掌握共同特性，也可以帮助区别特性，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知識，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。

参考文献：

[1]康永强 等差数列与等比数列的乘积和 《甘肃高师学报》 第5卷第5期（2000）

[2]田志宏 类比法在数列中的应用 《科教文汇》2006（9）：49