浅谈求解带电流体在磁场中运动问题的方法

浙江 成金德

带电流体在磁场中运动的问题是一类理论联系实际的物理问题，这类问题既可以考查学生掌握物理知识的水平，又可以考查学生运用物理知识解决实际问题的能力。因此，带电流体在磁场中运动的问题既是中学物理中的难点问题，也是历年高考中的热点问题。本文试图通过实例分析，探讨求解带电流体在磁场中运动问题的方略，笔者认为，解决带电流体在磁场中运动的问题，必须弄清一个电路，知道两个平衡，会解六种题型。

一、一个电路

如图1所示，带电流体从导管(图中为截面图)的左端射进到磁场中，在磁场施加的洛伦兹力的作用下，液体中带正电的离子向导管上侧面运动，带负电的离子向导管的下侧面运动，使导管上侧面带正电，下侧面带负电，从而在导管内形成电场。当电场对带电离子产生的电场力与磁场对带电离子产生的洛伦兹力大小相等时，导管上下两侧面间就产生了稳定的电势差U。

图1

二、两个平衡

当带电流体达到稳定流动时，如图2所示，流体外部受到的压力差(F1-F2)和流体受到的安培力F安达到平衡，即F1-F2=F安。

图2

三、六种题型

1.涉及电路问题

带电流体在磁场中运动的问题涉及电路时，要注意弄清电路结构，明确等效电源的构成(一般是由处于磁场中并做定向移动的流体与电极构成)，再运用闭合电路的欧姆定律和有关磁场知识求解。

【例1】如图3所示为某磁流体发电机原理图，两极板间的距离为d=20 cm，匀强磁场的磁感应强度为B=5 T。若接入额定功率为P=100 W的灯泡，灯泡恰能正常发光。灯泡正常发光时的电阻为R=100 Ω，不计发电机内阻，求：

(1)等离子体的流速为多大；

(2)若等离子体均为一价离子，则单位时间内有多少个何种性质的离子打在下极板上。

图3

显然，由处于磁场中的等离子体和两极板构成了电源，即发电机。设发电机的电动势为E，由于发电机的内阻不计，则有E=U=100 V。当离子的运动达到稳定状态时，离子受到的洛伦兹力与电场力是一对平衡力，即

(2)由左手定则可知，正离子打在下极板上，负离子打在上极板上。则下极板相当于电源的正极，上极板相当于电源的负极。根据闭合电路的欧姆定律可求电路中的电流为

所以在单位时间内打在下极板上的正离子数目为

2.涉及压强问题

【例2】如图4所示的是两端开口且水平截面积大小不等的“凸”字形矩形槽的正视图，图中间距为L，高度为h的左右两侧板为金属板，其间有垂直纸面向内的匀强磁场，其余均为连接严密的透明塑料板。金属板下端略插入表面积甚大的水银中，插入深度相比h可忽略。已知水银的电阻率为r，密度为ρ，重力加速度为g。

图4

(1)将该“凸”字形矩形槽两侧金属板与外电路相连(电路部分未画出)，当使金属板间电压稳定为U时，磁场区内水银面会高于磁场区外的水银面，水银上升高度为x(x

(2)只要磁感应强度足够大，就有可能让水银越过磁场区进入窄管，若进入窄管的水银最终维持与管外水银的高度差为H，不计窄管水银中可能存在的电流，写出所需的磁感应强度B表达式。

(3)我们设想在该装置窄管上标上刻度，用内、外高度差H测量磁感应强度B，请你对此设想简要地做出评价。(要求有两条不同方面的评价)

【解析】(1)当矩形槽两侧金属板与外电路相连，使金属板间电压稳定为U时，水银槽内的自由电子做定向移动形成电流，由于水银面上升，则安培力(洛伦兹力的合力)方向向上，根据左手定则判定可得电流方向从左到右。

水银上升后，进入磁场区的这部分水银的电阻为

(2)当进入窄管的水银柱最终稳定时，在磁场中的水银内的自由电子做定向移动所受到的洛伦兹力的合力(即安培力)产生的压强与水银自身重力的压强相平衡，即

水银自身重力产生的压强为p1=ρgH

3.涉及功率问题

带电流体在磁场中运动的问题涉及功和功率时，求解的关键在于弄清是哪些力做功，由于洛伦兹力不做功，能做功的力无外乎是电场力或者外力，然后结合功和功率的公式建立方程。

【例3】洋流又叫海流，指大洋表层海水常年大规模的沿一定方向较为稳定的流动。因为海水中含有大量的正、负离子，这些离子随海流做定向运动，如果有足够强的磁场能使海流中的正、负离子发生偏转，便可用来发电。如图5所示为利用海流发电的磁流体发电机原理示意图，其中的发电管道是长为L、宽为d、高为h的矩形水平管道。发电管道的上、下两面是绝缘板，南、北两侧面M、N是电阻可忽略的导体板。两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。为了简化问题，可以认为：开关闭合前后，海水在发电管道内以恒定速率v朝正东方向流动，发电管道相当于电源，M、N两端相当于电源的正、负极，发电管道内海水的电阻为r(可视为电源内阻)。管道内海水所受的摩擦阻力保持不变，大小为f。不计地磁场的影响。

图5

(1)判断M、N两端哪端是电源的正极，并求出此发电装置产生的电动势；

(2)要保证发电管道中的海水以恒定的速度流动，发电管道进、出口两端要保持一定的压力差。请推导当开关闭合后，发电管道两端压力差F与发电管道中海水的流速v之间的关系；

(3)发电管道进、出口两端压力差F的功率可视为该发电机的输入功率，定值电阻R消耗的电功率与输入功率的比值可定义为该发电机的效率。求开关闭合后，该发电机的效率η；在发电管道形状确定、海水的电阻r、外电阻R和管道内海水所受的摩擦阻力f保持不变的情况下，要提高该发电机的效率，简述可采取的措施。

【解析】(1)由左手定则判定可知，正离子在洛伦兹力的作用下向M板偏转，负离子在洛伦兹力的作用下向N板偏转，所以M端电势高，是电源的正极。

开关S断开时，MN两端的电压U等于电源的电动势E。当离子在导管内做匀速运动时，离子受到的洛伦兹力与电场力大小相等、方向相反，即

解得E=U=Bdv。

则发电机的效率为

从上式可以看出，增大发电管道内海水的流速v和增强磁感应强度B可以提高发电机的效率。

4.涉及流量问题

流量是指单位时间内流过管道的流体的体积。求解与流量有关的问题时，关键在于求出流体在管道中的运动速度，一般利用在管道中流动的带电粒子所受的洛伦兹力和电场力大小相等的特点，求出流体的运动速度，则流量为Q=vS。

【例4】电磁流量计广泛应用于测量可导电流体(如污水)在管中的流量(在单位时间内通过管内横截面的流体的体积)。

为了简化，假设流量计是如图6所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接(如图6中虚线)图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现与流量计所在处施加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接。I表示测得的电流值，已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，求此流体的流量。

图6

【解析】导电流体中的离子在磁场中做定向移动时，由于受洛伦兹力作用向上下金属板偏转，在金属板两板间产生电势差，可见上下金属板相当于电源的正负极。由于上下金属板带电后，金属板间产生了电场，这时离子受到洛伦兹力和电场力的作用。设离子受力平衡时的电动势为E，由牛顿第二定律得

则单位时间内流过管道某一截面的流体的体积，即流体的流量为Q=Sv

而管道的横截面的面积为S=bc

5.涉及收集问题

有关带电粒子的收集问题，本质上就是带电粒子在磁场的作用下，打在哪个区域或者是利用磁聚焦打在某一点的问题，求解此类问题时要注意分析带电粒子在磁场中的运动情况，抓住临界状态，求出粒子所能到达的区域。

【例5】如图7所示，为一除尘装置的截面图，其原理是通过板间的电场或磁场使带电尘埃偏转并吸附到极板上，达到除尘的目的。已知金属极板MN长为d，间距也为d。大量均匀分布的尘埃以相同的水平速度v0进入除尘装置，设每个尘埃颗粒质量为m、电量为-q。当板间区域同时加入匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场并逐步增强至合适大小时，尘埃恰好沿直线通过该区域；且只撤去电场时，恰好无尘埃从极板MN间射出，收集效率(打在极板上的尘埃占尘埃总数的百分比)为100%，不计尘埃的重力、尘埃之间的相互作用及尘埃对板间电场、磁场的影响。

图7

(1)判断M板所带电荷的电性；

(2)求极板区域磁感应强度B的大小；

(3)若撤去极板区域磁场，只保留原来的电场，则除尘装置的收集效率是多少；

(4)把极板区域的磁场和电场均撤去后，在y轴右侧设计一个垂直于坐标平面的圆形匀强磁场区域，就可把全部尘埃收集到位于Q点的收集箱内。若直角坐标系原点O紧贴金属极板MN右侧中点，Q点坐标为(2d，-1.5d)，求此磁场的方向及磁感应强度B′的大小范围。

【解析】(1)带负电尘埃颗粒进入垂直纸面向外的匀强磁场时，根据左手定则可知，受到的洛伦兹力的方向竖直向上，而尘埃颗粒恰好沿直线通过区域MN，说明尘埃颗粒受到的电场力和洛伦兹力大小相等、方向相反，则电场力的方向竖直向下，由此可知M板所带的是负电荷。

(2)当只撤去电场时，由于尘埃颗粒受到的洛伦兹力方向沿竖直向上，因而只要贴近沿N极板进入的尘埃颗粒恰好不从极板射出，则所有的尘埃颗粒就不会从两板间射出，即收集效率(打在极板上的尘埃占尘埃总数的百分比)为100%。由于尘埃颗粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知，圆周运动的圆心在M板的左侧位置，如图8所示。

图8

由几何关系得尘埃颗粒做圆周运动的半径为r=d

根据牛顿第二定律得

(3)在电场、磁场同时存在时，尘埃颗粒做匀速直线运动，由平衡条件得

qE=qv0B

撤去磁场以后，尘埃颗粒只在电场力作用下将做类平抛运动，假设距离N极板为y的尘埃颗粒恰好能离开电场，可得

在x轴方向有d=v0t

根据牛顿第二定律得qE=ma

解得y=0.5d

当y>0.5d时，尘埃颗粒运动的时间更长，水平位移x>d，即0.5d到d这段距离的粒子会射出电场，则从平行金属板出射的尘埃占总数的百分比为

(4)这里需要应用磁聚焦原理，如图9所示，过O点作圆形磁场的切线，若带负电的粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场的半径，则沿着与该切线平行方向入射的带负电粒子，经过磁场作用后都将经过同一点O。

图9

若要使尘埃颗粒汇聚在Q点，由磁聚焦原理可知，磁场区域的圆半径应和尘埃颗粒在磁场中做圆周运动的半径相等，由于尘埃颗粒沿顺时针方向偏转，由左手定则可知磁场的方向是垂直于纸面向里的方向。

当磁场区域圆过Q点，并与M板的延长线(图中的虚线)相切时，磁场区域圆①的面积最小，如图10所示。由几何关系可知，磁场区域圆的最小半径为d。

图10

当磁场区域圆过Q点，并与y轴相切时，磁场区域圆②的面积最大，如图11所示。由几何关系可知，磁场区域圆的最大半径为2d，由牛顿第二定律得

图11

6.涉及霍尔效应问题

霍尔效应在1879年被发现，它定义了磁场和感应电压之间的关系。当电流通过一个位于磁场中的导体时，磁场会对导体中的电子产生一个横向作用力，从而在导体的两端产生电势差。求解涉及霍尔效应的问题时，应紧紧抓住带电粒子运动稳定时所受到的洛伦兹力和电场力是一对平衡力这个核心，再熟练运用相关的物理规律。

【例6】利用霍尔效应原理制造的磁强计可以用来测量磁场的磁感应强度。磁强计的原理如图12所示，将一体积为a×b×c的长方体导电材料，放在磁感应强度B沿x轴正方向的匀强磁场中，已知材料中单位体积内参与导电的带电粒子数为n，带电粒子的电量为q，导电过程中，带电粒子所做的定向移动可认为是匀速运动。当材料中通有沿y轴正方向的电流I时，稳定后材料上下两表面间出现恒定的电势差U。

图12

(1)请根据已知条件导出磁感应强度B的表达式；

(2)不同材料中单位体积内参与导电的带电粒子数n不同，请利用题目中所给的信息和所学知识分析制作磁强计应采用什么材料。

【解析】(1)导电材料中的带电粒子运动时将产生霍尔效应，即磁场会对导体材料中的带电粒子产生一个横向的作用力，从而在导体材料的两端产生电压差。当带电粒子运动的速度稳定(即电势差恒定)时，带电粒子将不再发生偏转，则对某个带电粒子有

当材料中的电流为I时，根据电流的定义式有

而Q=nacvtq