一类无限维Lie代数的不可约模

姚廷富,吴宗显,施妮沙,戴先胜

(1.贵阳学院 数学与信息科学学院,贵州 贵阳 550005;2.贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550001)

研究无限维Lie代数的结构与表示是当代数学的一个重要内容.研究一个无限维Lie代数的结构,讨论其表示即模,是Lie代数的主要研究课题. 文献[1-4]讨论了几类无限维Lie(超)代数的结构与相关导子.文献[5]利用Lie代数模表示的性质及诱导模给出了Cartan型Lie代数W(1,1)的不可约限制模只有p个同构类,同时给出了不可约限制模的具体形式.文献[6]利用广义限制Lie代数的概念和性质，研究Cartan型Lie代数L的不可约表示,给出了特征标高度h(2≤h

1 Lie代数(G，[,])的基本知识

定义1[9]设L为域F上的Lie代数,V为域F上的向量空间,V被赋予一个运算L×V→V(记为(x,v)x·v)后,∀x,y∈L；∀v,w∈V；∀a,b∈F.如果条件(i)～(iii)成立,则V被称为域F上的一个L-模.

(i) (ax+by)·v=a(x·v)+b(y·v);

(ii)x·(av+bw)=a(x·v)+b(x·w);

(iii) [x,y]·v=x·y·v-y·x·v.

定义2[9]一个L-模V,如果它只有两个子模,则称L-模V为不可约的.

定义3设为复数域,G为集合且

当且仅当对所有的i,ai=bi.

对α,β∈,定义

显然G成为一个线性空间.

引理1[8]设G为定义3所述,括积运算如下

则(G，[,])成为上的Lie代数.

2 Lie代数(G，[,])的不可约模

命题1[8]设λ∈,令V=span{vi|i≥0}为可数无限维线性空间具有一组基{vi|i∈,i≥0}.对

定义

其中：对任意的a,b∈,二项式系数的一般定义为

则V是一个G-模.

命题2设λ∈,(G，[,])为引理1所述,V、G如命题1所述,则

(i)V必定是一个忠实的G-模；

(ii)V为不可约的G-模的充要条件是λ≠0.

证明(i) 对任意的

对V的任一基元vj(j≥0),有

定义了G在V中的作用,且使V成为一个G-模.定义

其中：φ(g)(vk)=g·vk，vk是V的任一基元，gl(V)是V上的线性Lie代数.

则φ是G的一个表示.下面证明φ是单射，从而φ是G的一个忠实表示,即V是一个忠实的G-模.

事实上,设φ(g)=φ(h),则对V的任一基元vk(k≥0),有

φ(g)(vk)=φ(h)(vk),

即g·vk=h·vk，也即

比较系数,得ai=bi，-1≤i≤k.由于k的任意性,得ai=bi，∀i≥-1.故g=h，即证得φ是单射.

(ii) 先证必要性.采用反证法.设V为不可约的G-模,则必有λ≠0.若不然,λ=0，对任意的

固定一个非负整数j,有

a-1vj+1+a0jvj+a1j(j-1)vj-1+…+aj-1j!v1.

注意到g作用到V的基元vj(j≥0)后，不再含有基元v0.

令U=span{vi|i∈,i≥1},则U不含有基元v0，且由上述作用看出,g·U⊂U,故U是V的真子G-模,与V为不可约的G-模矛盾.因此，若V为不可约的G-模,则必有λ≠0.

因为对任意的

对V的任一基元vj(j≥0),有

取gs=asXs∈G，as≠0,有

由ks≠0，有

又由asλ(s+1)!≠0，有

v0∈V1.

另取g-1=a-1X-1∈G，a-1≠0,有

g-1·v0=a-1v1∈V1⟹v1∈V1,

g-1·v1=a-1v2∈V1⟹v2∈V1,

⋮

g-1·vk-1=a-1vk，k=1,2,3,….

由数学归纳法知,v0,v1,v2,…,vk,…均属于V1,即V的所有基元均属于V1,即V1=V.即证得由λ≠0推得V是不可约的G-模.证毕.

3 结束语

从命题2的结果看出,无限维Lie代数G可以在可数基的线性空间V存在一个忠实表示,即忠实模,给出此模为不可约模的一个充要条件,为研究无限维Lie代数G及其子代数的性质与表示提供了有益的启示.