一类Maxwell方程的弱解存在唯一性证明

旷雨阳，李兴华，黄宝勤

(安顺学院 数理学院，贵州 安顺 561000)

偏微分方程的基本问题之一是研究各种边值问题解的存在性.Sobolev空间[1-2]的引入为求解边值问题提供了新的有效的途径，用这种方法求出的解称为弱解或广义解[3-4].

研究弱解的存在性有很多方法，常用的有切片法、Galerkin方法、半群方法等[5-12].论文将应用Galerkin方法证明此类Maxwell方程

弱解的存在唯一性.其中:Ω∈R3为有界区域且边界∂Ω∈C1，QT=Ω×(0,T]，ST=∂Ω×(0,T] ，N为 ∂Ω的单位外法向量，H=(H1,H2,H3)∈(L2(Ω))3为向量值函数，G(x,t)和H0(x)分别为给定的边界条件和初始条件.

1 预备知识

定义1[4]如果赋范空间X到它的第二共轭空间X**的自然映射T是满射的，则称X是自反的，记作X=X**.

(1)‖An‖有界；

2 假设条件

H(2.1) (1) 设函数a(x,t)在QT关于t可微且存在常数r0,R0,使得

0

(2) 向量值函数G(x,t)满足G(x,t)∈H1(0,T;H(curl,Ω)),Gt(x,t)∈(L2(QT))3.

(3)H0(x)∈H0(curl,Ω)∩(L(Ω))3.

(4)F(x,t)∈H1(0,T;H(dir,Ω)).

其中

H(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3},

H0(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3,N×G=0,x∈∂Ω},

H(dir,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:·G∈(L2(Ω))3}.

3 弱解的定义及近似解的构造

定义3若向量值函数H(x,t)满足： (1)H-G∈L2(0,T;H0(curl ,Ω))；(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有

则称H(x,t)为问题(1)～(3)的弱解.

考虑如下初边值问题的解的存在性

定义4若向量值函数H(x,t)满足

(1)H∈L2(0,T;H0(curl,dir,Ω))；

(2) 对任意的函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有

则称H(x,t)为问题(4)～(6)的弱解,其中:H0(curl,dir,Ω)=H0(curl,Ω)∩H(dir,Ω).

首先考虑如下特征值问题

现构造如下近似系列：对一个给定的正整数M>0，定义

(7)

(8)

(9)

djM(0)=hj,j=1,2,…,M.

(10)

根据常微分方程组解的存在性，(9)、(10) 为线性常微分方程的初值问题，故存在唯一的解，因此djM(t) 被方程组 (9)、(10) 所决定，且

4 弱解的存在唯一性证明

引理1假设H(2.1) 成立，则存在正常数c3和c4，有

(11)

(12)

其中:c3,c4仅依赖于已知数据，但不依赖于M.

(13)

(14)

(15)

定理3若假设H(2.1) 满足，则问题 (1)～(3) 有唯一的弱解H(x,t)∈L(0,T;H0(curl,Ω))∩L(0,T;(L2(Ω))3)，进一步有Ht∈(L2(QT))3.

对任一试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，满足K(x,T)=0，有

(16)

当sk→0时，由柯西不等式和引理1，有

类似地，当sk→0时,有

因此，在(16) 式中，两边令sk→0，有

(17)

∬QT(FM·Kk)dxdt，

故Is>0. 又

根据Banach-Semhaus定理，有

又对任意的试探函数K(x,T)=0，有

∬QTat|×K*|2dxdt+∬QTF·K*dxdt.

因此，有

(18)

由(17)、(18)式，有

∬QTJ·Hdxdt.

(19)

现证明在QT中一致有J(x,t)=H(x,t). 对任意的向量w(x,t)∈(L2(QT))3，有

即

故∬QT[J-w]·[H-w]dxdt≥0. 取w=H+δV，V∈L2(QT)为任意向量，δ为任意数，则-δ∬QT[J-H-δV]Vdxdt≥0，由δ的任意性，有

∬QT(J-H-δV)Vdxdt=0.

令δ→0，有∬QT[J-H]·Vdxdt=0，由V的任意性，有

J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT，

这就证明了解的存在性.

下面证明解的唯一性：设H1(x,t)和H2(x,t)为问题(1)～(3)的两个弱解，令

H(x,t)=H1(x,t)-H2(x,t)，

则对任意的试探函数K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，有

∬QT[-H·Kt+a(x)(×H)·(×K)] dxdt=0.

令

(x,t)∈QT，

则K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，且K(x,T)=0，(K(x,t))t=-H(x,t)，×H=-×(K(x,t))t，故因为×K(x,T)=0,x∈Ω，故