加强AdSEn鲁棒性的实验设计

张 正

（温州职业技术学院 电气电子工程系，浙江 温州 325035）

0 引 言

传统的过程能力指数（CPK）方法[1]假设前提是数据样本独立，且分布相同，然而，这在现实应用中较难保障，在日益多维化的数据冲击下已显得力不从心。鉴于CPK方法的局限性，其在高精度、高相关性的过程能力控制环境中并不完全适用。

调整样本熵AdSEn（Adjusted Sample Entropy）源于样本熵，由香农信息熵发展而来，用于检测数据的复杂度和混乱度，有应用于过程能力监测的前景[2-3]。AdSEn能通过可控数据段熵值与目标数据段熵值相除的商作为量化指标，且已被证实在理想的等权重多变量环境下，可得到较好的结果[4]，但考虑到多变量环境中每个变量的真实影响并非全都一样[5]，其在应用中完全取代CPK的优势尚未形成。本文针对AdSEn的算法原理，辅以鲁棒性实验设计，寻找最适合AdSEn方法的鲁棒性实验设计方案，提高AdSEn在过程能力控制上的实用性。

1 相关算法

1.1 样本熵算法

样本熵值测量原有数列与新数列中，超过阈值的事件发生概率的比值负对数记为：

作为CPK的应用，可假设d [ui-uj]为样本与目标值之差的绝对值。若目标为期望值，可单个数据为对比对象，也可取一段数据的平均值为对比对象；标准差为目标，则需求一定量样本的标准差与目标标准差的距离。从样本熵算法中可发现，一条公式、一个指数无法同时反应期望值与标准差的变化。

1.2 AdSEn算法

AdSEn算法对样本熵的输入进行调整，旨在将标准差和期望值的变化都融入到一个变量中去[6]。设样本熵的元输入为xij，调整变换后的输入为yij。记第i样本组为xi，xij为xi中第j个样本， 为xi的均值。通过变换可将元样本x中的变量变化添加到yij的均值变化上，且不改变元样本分布。

1.3 田口方法

田口方法是一种基于响应面的方法，将变化的诱因归为可控因子和难控因子（即噪声因子）两类，旨在通过探究可控变量组合以削弱噪声对实验结果影响的研究，比想办法改变或者消除难以控制的噪声因子更简单有效，且成本更低[7]。田口方法建立了一组交叉数列，并分析信号-噪声比SNR（Signal-to-Noise Ratio），SNR比值越低，对应的参数组合所得的实验结果越稳定。然而，田口方法并不能真正反馈连续性参数实验情况下的最优解，且这种高低组合的2k实验设计可能会导致模型匹配过程中的误差，实验契合度值得商榷。在应用过程中上述困难亟待解决。

由于田口方法的局限性，相关研究并未得到更多关注。然而，在参数健壮性设计RPD（Robust Parameter Design）领域的探索并没有停止。通过定量实验方法探索诸如PerMIA方法、Derringer方法和双响应（Dual Res）方法等类似田口方法的手段与AdSEn结合，可降低不可控噪声因子对实验响应结果的影响，寻找提高AdSEn鲁棒性的最佳实验设计方案。

2 实验设计

结合多变量环境，在田口方法的多变量应用的基础上，通过量化的对比研究，探索AdSEn与类似田口方法的PerMIA方法、Derringer方法和双响应方法的结合，对三种设计方案进行实验比较。通过量化结果寻找AdSEn在过程能力控制上的最佳实验设计方案，论证与AdSEn结合的适用场景，从而使AdSEn能更加适应高密度数据采集的工业环境。

2.1 实验背景

以美国某炼钢厂一套炼钢工艺为例，该工艺含有5个变量，包括最高加热温度、加热时间、转运时间、轧钢时间及不可控噪音变量，仅以煺火油温为例加以说明。为确保数据的充分性和实验的可重复性，利用微软Access软件模拟生成生产环境随机数据，以人工随机算法数据模拟不可控噪音，以可控参数作为输入变量，通过对高、低实验参数的设置，得到模拟的最终结果。其实验设计参数见表1。

表1 实验设计参数

轧钢工艺的田口交叉数列[8]见表2。在田口方法中，需要找到SNR值最小的对应组合，即组合设计ABCD=(-, -, +, +)，使实验受到的噪音影响最小。

2.2 AdSEn与PerMIA方法的结合

PerMIA方法是一种与田口方法类似基于响应面实验设计的方法，也采用交叉数列的设计，不同之处在于PerMIA是建立两组分开的模型：一组实验模型针对实验响应的期望值y的变化，另一组实验模型针对实验响应的变化因子S（如方差、标准差等），旨在将影响因子归类为噪音相关因子和调整相关因子。通过实验设计可找到两种因子，选择其中对变量影响最小和最接近标准期望值的参数配置，以获得最优实验参数设置。实验采用类似2k实验设计，记录高、低噪声情况下的输出。高噪声组记为“+”，计3次实验：(+1, +2, +3)；低噪声组记为“-”，计3次重复实验：(-1, -2, -3)，如图1所示。

表2 田口交叉数列

图1 PerMIA方法的交叉矩阵

线性模型由统计软件Minitab生成，Minitab能输出线性模型分析结果（见表3）。

表3 线性模型S的主要成分

R-Sq(adj)为调整后的R2，即其比值越接近1，意味着模型的SSerror越小。调整后的R2，即R-Sq(adj)为旨在 消除新增变量对交叉模型的影响。当R-Sq(adj)越小，模型与响应面的匹配越弱。因此，需要进行一系列假设检验以估算噪声相关因子S，这里S即为标准差。

由于此例只有8个标准差或中点，无足够的自由度来运行全模型或交点测试，因而只能依次测试6个不同的交点和4个不同的均值测试。PerMIA方法测试显示，AD和BC的交叉组合的R2值非常高，据此可判定在D=ABC模型中，AD和BC是有相关性的两对变量。由于B, C的显著性（P值结果）比A, D的显著性更高，可选择BC为模型中的交叉因子，得到模型：

用同样的方法可得到均值Y的模型：

其结果见表4。

由（1）式可得，当(B, C)被设计为(-1, 1)时，变化最小，将B, C的参数设置值代入（2）式时，期望目标值为8， （2）式可变形为：Min(Y-8)2。由上述实验结果，以Min(Y-8)2为目标方程，求最优解。通过线性运算模型在Excel Solver中的结果，可得到结论：当(A, D)=(0, -1)时，均值最接近Y=8。

表4 MINITAB关于y-均值的ANOVA输出

2.3 AdSEn与Derringer方法的结合

Derringer方法与PerMIA类似，它将响应面模型的结果转换为若干条独立的渴望度目标方程（Individual Desirability目标为di），各条独立的渴望度方程都有自己的渴望度di，然后将各di整合为一条总渴望度目标方程D，D的取值范围为D∈[0, 1]，越高的总渴望值说明其结果更理想。

当总渴望值最大值为理想值时：

当总渴望值最小值为理想值时：

当总渴望值（趋近）目标值为理想值时：

运用Minitab解例中的Derringer最优方程，可得最优解x*’=(0.1875, -1, 1, -0.8588)，综合渴望度(1*0.667)1/2=0.817。由图2可知，S最小值（波动的最小值）S*=0.561，因而最接近的D值为：D=(dy*ds*)1/2=0.848。

图2 PerMIA方法的Derringer’s解决方案

2.4 AdSEn与双响应方法的结合

双响应方法能通过实验设计生成统计模型，在该模型中作出定义，如图3所示。

图3 双响应方法的实验设计

当去除不显著交叉因子之后，该模型可达到非常高的匹配度。通过P值可看出，影响因子B，交叉因子OA, OD, AB, AC对响应y的影响较低；交叉因子OB具有相当高的P值，对模型影响较为明显。因此，选取B为主要影响因子，并删除模型中的OA, OD, AB,AC交叉因子。同时，DB与CD交叉因子的影响也非常小。

通过对y-均值的回归系数估值（见表5）可得出如下结论：

响应面模型：

y-均值的ANOVA分析见表6。

通过上述模型可列出如下两条目标方程：

表5 y-均值的回归系数估值

表6 y-均值的ANOVA分析

将上述两条方程联列为线性规划求最小值模型，以变化波动最小化为目标，以期望值=m的目标函数为限制条件的公式：

通过二进制搜索法，设噪声O=0，期望值m=7至9（上下限），然后进行搜索，其搜索结果如图4所示。由图4可看出，当目标噪声变量O=0时，理想结果收敛，m=8.8875时，最接近于8，如图4b所示。其对应的实验参数设计为：(A, B, C, D)=(0.44475, -1, 1,-0.29385)。

用同样的方法测试噪声因子O=[-1, 1]，即非编码变量130～170，当m=8.875时，其期望响应仍在目标范围值内。因此，运用双响应模型控制的变化因素非常稳定，可将O确定在一个非常小的值上。然而，这种方法需要牺牲目标值m的精确性。当m=8.875时，偏离了目标指标8。若在设计区间内，可接受这个结论；若不在设计区间内，这种方法不可取。双响应方法的主要控制手段在于，利用m的值作为可调节的限制条件，以期获得最小的O。其模拟结果如图5所示。

2.5 结果比较

PerMIA方法、Derringer方法和双响应方法三种方法均采用编码式变量的测试方法，检验三种实验设计方案。Derringer方法与PerMIA方法类似，均分列均值和方差为不同方程；双响应方法则采用预测模型对噪声变量求偏导，由于其采用16次实验，仅为另外二者交叉数列方式的48次实验次数的1/3。通过对以上三种方法结果进行定量比较分析可看出，Derringer方法所得结果在目标值下，对噪声的抵抗力最强，其箱型图的25个百分点至75个百分点的区间最窄；双响应方法可使结果更准确地靠近设计目标，但变量非常大；只有PerMIA方法的结果在8附近，且分布较窄，如图6所示。

图4 二进制搜索法寻找最适合的组合

图5 8.75, 8.875, 9的箱型图

图6 三种方法仿真结果的箱型图

由仿真结果可看出，若以期望值为目标，双响应方法不但效果较好，且最节约成本。但双响应方法的结果分布较散，方差巨大，稳定性极弱，且AdSEn算法的基础需要大量的数据，因而与AdSEn结合时，双响应方法并不能完全发挥其优势。反之，若以最小变量为目的确定实验参数配置时，Derringer方法为最优选项。但Derringer方法对期望值的控制能力较弱，偏差较大。AdSEn算法中，其检测期望值偏差的能力远远强于检测方差波动的能力，若与Derringer方法结合，相当于把AdSEn的强项作为一个限制条件，并不能完全发挥AdSEn算法本身的作用。PerMIA方法虽然不如Derringer方法精确，且比双响应方法更昂贵，但PerMIA方法对期望值和方差的控制都较为准确。通过最直观的实验参数与实验结果的关系的展示，PerMIA方法能通过调整参数快速作出响应，并提供最优解。

3 结 论

AdSEn算法本身拥有较高响应精度，能根据阈值的设置，调节响应敏锐度，与PerMIA方法非常相似，契合度极高。但AdSEn算法的量化水平不高，而PerMIA方法本身的检测精度也有限，因而在矫正应用的实践过程中仍需探索提高目标精度的方法。PerMIA方法与AdSEn的契合将是下一步研究方向，即在保障AdSEn方法高灵敏度的情况下，探索挖掘提高PerMIA与AdSEn结合的检测精度。AdSEn方法需要大量的历史数据作为支撑，在当前生产工具高度自动化、智能化的趋势下，二进制搜索方法将变得越来越简单。通过递进算法，当将实验目标设置为m的时候，计算机能快速计算出实验结果可能的最小波动范围。但当运用于生产实践中，随着数据的积累，PerMIA方法与AdSEn的契合可从实际生产数据中进行数据挖掘，运用深度学习，最终提高控制精度，实现精确质量控制的目标，成为最契合大数据的、新一代的过程能力控制解决方案。