天基红外低轨卫星引导反导作战能力需求分析

刘锦昌, 黄树彩, 赵 炜, 庞 策, 黄 达

(空军工程大学防空反导学院, 陕西 西安 710051)

0 引 言

天基红外低轨预警系统也称天基跟踪与监视系统(space tracking and surveillance system, STSS)是美国天基红外系统(space based infrared system, SBIRS)的低轨部分[1-4],是美国反导预警系统的重要组成部分,该系统包括20到30颗部署高度为1 600 km的低轨(low earth orbit, LEO)卫星,卫星上装有捕获和跟踪两种相机,捕获相机为宽视场小口径相机,工作波段为0.7～3 μm,用于扫描检测目标,跟踪相机为窄视场大口径多色相机,有两种工作波段分别为3～8 μm和8～12 μm,可用于跟踪不同温度的目标。捕获相机发现目标后,将目标信息传送给跟踪相机。跟踪相机可以采用临边探测的方式持续跟踪飞行中段和再入段的目标,并有分辨识别弹头与诱饵的能力。LEO卫星间可以通过60 GHz的星间通信链路来实现双星观测并通过交叉定位进行精确跟踪。STSS系统不仅可以实现对弹道导弹目标的跟踪,还可以跟踪反导拦截系统的拦截弹。信息处理系统利用导弹状态信息进行弹道预报及预测命中点的计算并引导拦截系统对导弹进行拦截。卫星的跟踪能力决定了弹道预报的精度以及预测命中点的误差,拦截系统则要求预测命中点的误差必须高到拦截器的机动能力能够修正的程度。

当前,对于弹道导弹中段的跟踪工作的研究主要集中在中段运动建模[5]及滤波算法[6]等方面,对于LEO卫星对中段飞行的导弹的跟踪能力的研究很少,卫星的观测方程及导弹的状态方程均为非线性方程,对导弹的位置估计及跟踪问题属于非线性滤波的问题,非线性滤波的方法多种多样,包括扩展卡尔曼滤波[7](extended Kalman filter, EKF),无迹卡尔曼滤波[8](unscented Kalman filter, UKF),粒子滤波[9]及其各种改进算法,但是,为了要衡量LEO卫星的跟踪能力,需找到各种滤波算法跟踪精度的上界,即跟踪误差的下界,传统的跟踪误差下界用克拉美罗限(Cramer-Rao lower bound, CRLB)[10-17]表示,但是CRLB没有考虑跟踪过程的过程噪声,卫星的观测及模型属于动态模型,含有过程噪声,因此,这里引入后验CRLB(posterior CRLB, PCRLB)来衡量卫星的跟踪能力,得到卫星跟踪能力与卫星星载探测器技术指标的关系。

对于LEO卫星信息支持的反导系统而言,由于弹道导弹目标的飞行速度较快,一般采用基于预测命中点[18-19](predict intercept point, PIP)的制导控制方法,目前对于PIP的研究大多集中在空气动力学目标[12],并且不考虑由于目标的状态误差而导致的PIP误差的影响。目标的预测状态误差与卫星的跟踪能力有关,采用椭圆轨道线性化方程的方法可以计算预测弹道的误差,将卫星的跟踪误差引入PIP的计算,可得到由卫星引导下的反导系统PIP误差。拦截弹发射后会朝向PIP飞行,随着PIP的变化及精度的提高,拦截弹也会随之调整飞行轨迹,始终朝向更新的PIP飞行。

目前,国内对于PIP对拦截器中段和末段飞行的影响研究大多集中在控制规律及制导规律的研究[20-22],关于PIP误差对修正能力的影响的研究较少。对于拦截弹修正能力的研究,文献[23]研究了大气层外拦截基于任务图优化的脉冲点火策略,研究了点火时机对修正能力的影响,文献[24]分析了萨德拦截系统中外部信息提供的预测命中精度对中段机动需求的影响,本文采用均匀点火策略分析PIP精度对拦截弹中段飞行的修正能力的影响。文献[25]采用了可信性理论分析标准拦截弹的末段修正能力,本文基于此模型分析了拦截弹的末段修正能力并建立了末段修正能力与中末飞行段交接班时刻PIP误差的关系。

1 LEO卫星跟踪能力分析

1.1 模型建立

1.1.1 弹道导弹运动模型

导弹中段仅受重力影响,因此在地心惯性坐标系下的运动模型为

(1)

式中,r=(x,y,z)T和v=(vx,vy,vz)T分别表示导弹目标的位置矢量和速度矢量;μ是地球的引力系数。由于自由段飞行时会受到摄动力的影响,运动模型会有一定的误差,因此,导弹的状态方程可写成

(2)

式中,f(x)表示导弹的运动模型,自由段状态变量为x=(x,y,z,vx,vy,vz)T;w表示模型的误差,通常假设是高斯白噪声。

1.1.2 LEO卫星观测模型

(3)

图1 LEO卫星双星观测Fig.1 LEO satellite binary observation

卫星到目标视线的方位和俯仰角信息分别为αi和ei,则

(5)

卫星测量方程可表示为

zi=hi(x)+νi=[αi,ei]T+νi

(6)

1.2 跟踪性能估计

1.2.1 PCRLB计算

弹道目标的状态方程经过离散化可得

xk+1=xk+f(xk)(tk+1-tk)+Gwk=

xk+f(xk)·T+Gwk=fk(xk)+Gwk

(7)

h(xk+1)+νk+1

(8)

(9)

xklnp(z1∶k,x1∶k)]T}

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在高斯白噪声条件下,由式(7)和式(8)有

(16)

(17)

则

(18)

(19)

由式(12)～式(15)及式(18)、式(19)可得

xkfk(xk)]

(20)

(21)

(22)

由离散化的弹道目标状态方程式(7)可得

(23)

经推导可得

(25)

由双星观测方程式(8)可得

(26)

(27)

1.2.4 期望计算

式(20)～式(22)涉及到数学期望的计算,传统的方法是利用蒙特卡罗方法进行近似计算,由于采用的是随机采样的方法,计算样本的数目一般较多,文献[26-29]提出了无迹变换的思想,无迹变换采用确定性采样,可以大大减少样本的个数,提高可计算的效率,算法的具体流程如下:

步骤2根据无迹变换计算Sigma采样点,即

(28)

将采样点值代入式(20)和式(21)，可得

xkfk(xk)]=

(29)

(30)

xk+1h(xk+1)]=

(31)

将式(29)～式(31)代入式(11)即可得到Jk,从而得到LEO卫星观测的PCRLB,将位置和速度跟踪PCRLB分别定义为Pr,k和Pv,k,则

(32)

(33)

式中,Pk(i,i)表示矩阵Pk的第i个对角线元素值。

2 PIP误差计算

PIP是根据弹道导弹目标和拦截弹的运动规律计算出目标与拦截弹相遇的空间位置。计算PIP首先要预测弹道导弹目标的状态,得到弹道导弹目标的预测弹道,然后根据目标的预测弹道和拦截弹的动力学性能计算PIP的位置,最后,计算由于卫星的跟踪误差而导致的PIP的误差大小。

2.1 目标状态预测

(34)

(35)

令

h=rk×vk

(36)

式中

‖

(37)

(38)

(39)

Et满足

(40)

可通过牛顿迭代法求得偏近点角Et。

2.2 目标状态预测误差

由于目标的状态估计是存在误差的,那么估计预测弹道也是有一定误差的,直接在惯性坐标系下计算弹道预测误差比较复杂,可以通过RSW坐标系将三维预测问题变为二维预测问题,使预测误差的计算简化。

(41)

(42)

(43)

(earth-centred inential,ECI) 惯性坐标系到RSW坐标系的转换矩阵为

(44)

红外LEO卫星在tk时刻估计的目标在惯性坐标系下的误差协方差为PECI,k,在tk时刻目标在RSW坐标系下的状态误差协方差为PRSW,k,则

(45)

式中

(46)

目标在RSW坐标系下跟据tk时刻信息预测t时刻的状态误差协方差为PRSW,k(t),令J2是xRSW,k到xRSW,k(t)的状态转移矩阵,即

xRSW,k(t)=J2(t-tk)xRSW,k

(47)

则

(48)

对于J2(t-tk)的计算,Tschauner与Hempel得到了椭圆轨道线性化方程以及的偏近点的解析解,即T-H方程。Lawden得到了在积分函数下的T-H方程的闭合求解方式,文献[30]在前人的基础上根据T-H方程求出了转移矩阵J2(t-tk),推导过程及J2(t-tk)的表达式较复杂,具体可参考文献[30],此处不再赘述。

(49)

式中

(50)

(51)

式中,qβ为视线方位；qε为视线俯仰角。

目标在视线坐标系下跟据tk时刻信息预测的t时刻的状态误差协方差为Ps,k(t),则

(52)

式中

(53)

由式(45)、式(48)、式(49)、式(51)可得由PECI,k到Ps,k(t)的计算公式为

(54)

根据位置和速度状态误差可以将Ps,k(t)分块为

(55)

(56)

要消除σcro,k(t)的影响需要拦截弹进行轨道修正,而拦截器中末段的轨道修正能力是有限的。根据3σ准则,要保证成功拦截,3σcro,k(t)的大小不能超过拦截弹的轨道修正能力。

2.3 PIP及其误差

完成对弹道导弹目标的弹道预测后,就可以进行PIP的计算。PIP的计算需要考虑拦截弹的动力学特性。反导拦截弹的飞行过程一般分为助推段、中段和末段。在助推段,拦截弹会按照初始装订的参数进行方案飞行,在计算PIP时,假设助推段弹道倾角是以恒定的角速度变化的。

拦截弹助推段飞行倾角近似公式为

(57)

(58)

(59)

式中,r*=(x*,y*,z*)表示假设的PIP的位置向量;rd0=(xd0,yd0,zd0)表示拦截弹发射点的位置向量;tbo,3时刻助推段结束。

助推段结束后,中制导段朝向PIP进行飞行,末制导依靠导引头探测目标进行自寻的飞行。因为中段PIP的变化时非常缓慢的,所以中制导段可以看成朝着一个固定的点或者运动速度非常慢的点飞行,认为拦截弹是以匀速飞向PIP,设拦截弹在thit时刻运动到PIP, 则

(60)

式中,rd(tbo,3)表示助推段结束时刻拦截弹的位置向量;vd(tbo,3)表示助推段结束时刻拦截弹的运动速度。

PIP的计算过程如下:

步骤1红外LEO卫星最早捕获目标的时刻为tmin,从此刻开始进行PIP及误差的计算,令k=0,tk初始值为tmin。

步骤2红外LEO卫星根据tk时刻目标的状态信息xk预测出目标的落点位置rk(tl)及落点时刻tl;

步骤3令ta=tk,tb=tl,则PIP的时刻tc应该在ta和tb之间,迭代过程的PIP时刻初始值为tc=(ta+tb)/2,根据xk预测tc时刻导弹位置向量为rk(tc),即PIP时刻弹道导弹位置。

步骤5将弹道导弹飞到PIP的时刻tc与拦截弹飞到PIP的thit进行比较。如果tc-thit>ε,则表明PIP的时刻取的较大,应减小PIP时刻,所以令tb=tc,如果thit-tc>ε,则表明PIP的时刻取的较小,应增大PIP时刻,所以令ta=tc,重新计算PIP位置和tc-thit的大小,直到满足|tc-thit|<ε为止。

步骤6PIP位置的高程为h,距离拦截弹发射点的远程为r,拦截系统最高的拦截高程为hmax,最远的拦截距离为rmax,如果h>hmax或r>rmax,说明拦截弹的发射时刻较早而导致拦截弹的飞行时间thit-tf过长,所以要推迟拦截弹的发射时间tf,令tf=tf+Δtf。

步骤7如果满足拦截弹拦截的高程和远程要求,最后所得到的预测出的命中点位置向量为r*=rk(tc),PIP时刻为t*=tc。

步骤8根据tk时刻导弹状态误差协方差矩阵PECI,k预测得到t*时刻导弹状态误差协方差矩阵Ps,k(t*),计算σcro,k(t*)。

步骤9令tk=tk+T,k=k+1,返回步骤2,进行下一时刻的PIP计算。

步骤10如果‖rd(tk)-rk‖≤dIR,dIR为拦截弹导引头最大作用距离,进入拦截弹末制导阶段,不需要外部信息提供PIP,记tend=tk为末段开始时刻,仿真终止。

3 拦截弹中末段修正能力分析

3.1 拦截弹中段修正能力

拦截弹在中段飞行时会利用PIP的信息进行轨道修正,设中段飞行进行n次轨道机动,中段飞行时间段为[tmid min,tmid max],如果不考虑初中段交接班时间间隔和中末端时间间隔,则tmid min=tbo,3,tmid max=tend,中段第i(i=1,2,…,n)次机动的时刻为tmid ,i,有

(61)

设tmid min时刻的PIP误差为3σcro mid,0(t*),tmid ,i时刻PIP误差为3σcro mid,i(t*),第i次机动需要消除的最大距离为dmax,i,(i=1,2,…,n),则

dmax,i=3σcro mid, i+1(t*)-3σcro mid,i(t*)

(62)

第i次机动需要的最大转移速度为vmax,i(i=1,2,…,n),则

(63)

(64)

式中,vmid,max应满足vmid,max≥vmax；Isp为燃料比冲;mKV为拦截器动能拦截器总质量;mmid为中段燃料总质量;τ1为燃料燃烧效率;τ2为燃料用于轨控的比例。

3.2 拦截弹末段修正能力

拦截器中段飞行后,整流罩抛罩,中末交接班结束后,不再利用外部传感器提供目标信息,而是利用自身红外导引头进行目标探测,进行自寻的制导。由于拦截器末制导段的飞行时间很短,末制导的初始时刻的PIP误差的大小等于末制导初始时刻的零控脱靶量大小,即拦截器不加任何修正的脱靶距离。

拦截器的末制导段的最大可消除零控脱靶量大小为ZEMmax,则

ZEMmax=

(65)

拦截器要实现成功拦截,必须保证拦截器的末制导段的最大可消除零控脱靶量大于初始PIP的误差大小,即满足

ZEMmax≥3σcro,end(t*)

(66)

式中,3σcro,end(t*)为tend时刻PIP误差。

4 仿真及分析

设计典型的反导防御系统攻防对抗场景,弹道导弹目标为3 500 km弹道导弹,发射经纬度为(25°N,130°E),发射方位角为130°,LEO预警卫星的星座构型为28/4/0:50°,轨道高度为1 600 km,起始观测时刻为弹道导弹助推段关机时刻,采样周期T=2 s,视线角误差σLOS=60 μrad,文献[17]提供的拦截系统的性能参数如表1所示。根据表1提供的数据可得拦截弹的中段飞行力所能提供的最大转移速度vmid,max=223.2 m/s,拦截器末段燃料最长消耗时间tburn,max=9.3 s,拦截3 500 km的弹道导弹的末段飞行时间为tburn=6.56 s,末段最大可消零控脱靶量为663.7 m。

表1 拦截系统的性能参数

4.1 LEO卫星跟踪能力仿真

(1) 视线角度误差对跟踪能力的影响

分析视线角度误差对跟踪能力的影响,保持采样周期T=2 s不变,观测角度误差分别取σLOS=30 μrad、60 μrad、90 μrad、120 μrad,位置和速度跟踪误差的PCRLB下界如图2和图3所示,可以看出视线角误差会影响位置PCRLB的大小而基本不影响速度PCRLB的大小,观测角误差越小,位置稳定跟踪误差越小。

图2 测角误差对位置PCRLB影响Fig.2 Effect of angle measurement error on position PCRLB

图3 测角误差对速度PCRLB影响Fig.3 Effect of angle measurement error on velocity PCRLB

(2) 采样频率对跟踪能力的影响

分析视线角度误差对跟踪性能的影响,保持采样视线观测误差σLOS=60 μrad不变,采样周期分别1 s、2 s、4 s,位置和速度跟踪误差的PCRLB如图4和图5所示,可以看出,采样周期对位置和速度PCRLB的大小都有影响,采样周期越小,位置和速度的稳定跟踪误差越小。

图4 周期对位置PCRLB影响Fig.4 Effect of measurement period on position PCRLB

图5 周期对速度PCRLB影响Fig.5 Effect of measurement period on velocity PCRLB

4.2 PIP误差变化曲线

(1) 视线角度误差对PIP误差的影响

视线角误差会影响对弹道导弹目标的稳定跟踪精度,进而影响PIP误差的大小,图6为拦截弹飞行中段的PIP的精度随时间的变化曲线,横坐标以拦截弹发射时刻为0时刻,纵坐标表示3σPIP误差的大小。可以看出保持采样精度T=2 s不变,随着观测角误差的减小,每时刻PIP的精度会逐渐降低。

图6 视线角度误差对PIP误差的影响Fig.6 Effect of angle measurement error on PIP error

(2) 采样频率对PIP误差的影响

保持观测角误差σLOS=60 μrad不变,从图7可以看出随着采样周期的减小,每时刻PIP的精度会逐渐降低。相比于观测误差对PIP精度的影响,采样周期对PIP的影响更大,主要是因为观测误差只影响位置跟踪精度而采样周期不仅影响位置跟踪精度还会影响速度跟踪精度。

4.3 拦截弹修正能力对卫星跟踪能力需求

保持采样精度T=2 s不变,当观测角误差为30 μrad、60 μrad、90 μrad、120 μrad时,中段修正所需总的转移速度均为181.7 m/s,小于拦截弹拦截器所能提供的最大转移速度,满足中段机动需求。从图6可以看出当观测角误差为60 μrad、90 μrad、120μrad时,中段结束时刻PIP误差大于末段最大可消除脱靶量,不满足中末段交接条件,当测角误差为30 μrad时,中段结束时刻PIP误差小于末段最大可消零控脱靶量,满足中末交接班的条件。要实现成功拦截,要同时满足中段及末段的机动需求,因此当采样周期为2 s时,观测误差为30 μrad时才能实现成功拦截,观测误差为60 μrad、90 μrad、120μrad时不能实现成功拦截。

图7 采样周期对PIP误差的影响Fig.7 Effect of measurement period on PIP error

保持观测角误差σLOS=60 μrad不变,当采样周期为1 s、2 s时,中段修正所需总的转移速度分别为62 m/s和181.7 m/s,小于拦截弹拦截器所能提供的最大转移速度,满足中段机动需求。当采样周期为4 s时,中段修正所需总的转移速度为495.2 m/s,大于拦截弹拦截器所能提供的最大转移速度,不满足中段机动需求。从图7可以看出当采样周期为2 s、4 s时,中段结束时刻PIP误差大于末段最大可消除脱靶量,不满足中末段交接条件,当采样周期为1 s时,中段结束时刻PIP误差小于末段最大可消零控脱靶量,满足中末交接班的条件。因此,当观测误差为60 μrad时,采样周期达到1 s时才能实现成功拦截,采样周期为2 s、4 s时不能实现成功拦截。

结合图6与图7可知,拦截弹中段修正所需总的转移速度和中末段交接时刻PIP误差大小与LEO卫星的采样周期和测角误差密切相关,将采样周期设为1 s、2 s、4 s,测角误差设为30 μrad、60 μrad、90 μrad、120 μrad,分析不同组合条件下利用卫星跟踪信息引导拦截弹拦截目标是否满足中末段机动能力需求,结果如表2所示。

采样周期和观测角度误差是LEO卫星的重要技术指标,拦截器的中末段机动能力决定了LEO卫星的技术指标要求。从表2中可以看出影响中段总转移速度的主要是卫星观测的采样周期,因为影响中段转移速度的主要因素是速度跟踪PCRLB,而速度跟踪PCRLB不受观测角度误差的影响而只受采样周期的影响。因为速度和位置PCRLB都会影响末段初始PIP误差,所以卫星观测角度误差和采样周期都会影响末段初始PIP误差。表2中给出了满足中末段机动需求的LEO卫星的采样周期与观测误差的组合。

表2 LEO卫星信息引导下拦截弹中末段机动需求满足情况

5 结 论

本文以PCRLB为指标衡量LEO卫星的探测能力,分析了观测角误差和采样周期对LEO卫星速度和位置跟踪能力的影响,建立了拦截系统的PIP及其精度计算方法,分析了卫星观测角度误差和采样频率对PIP误差的影响,进而分析不同采样周期和观测误差组合下利用LEO卫星引导拦截弹时是否满足中末段的机动需求,给出了成功拦截时的LEO卫星技术指标要求。本文将反导防御系统中探测系统的探测能力与拦截系统的需求综合分析,从拦截系统修正能力需求的角度研究卫星的跟踪能力将对LEO卫星系统建设提供重要指导。