例谈高中数学教学中直觉思维能力的培养

陈展明

【摘要】高中数学新课程标准中提出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，要求教师在引导学生学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现等思维过程。在高中数学学习阶段，学生在解决数学问题的过程中，逻辑思维与直觉思维是互补互用的，学生的直觉思维能力是完全可以有意识的在教师的指导下加以训练和培养的，本文通过举例，阐述了在高中数学教学中应该如何培养学生的直觉思维能力。

【关键词】直觉思维 逻辑思维 高中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）01-0070-02

一、直觉思维的意义

直觉思维是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断，猜想、设想，或者在对疑难百思不得其解之中，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”“预言”等都是直觉思维。

直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维过程的高度简化，但是它却清晰地触及到事物的“本质”。在新课程背景下，教师更加注重学生创新思维能力的培养，加强学生的直觉思维能力，是提高学生创新思维能力的重要途径。

二、加强直觉思维能力培养的必要性

长期以来，人们在数学教学中，重视逻辑思维，偏重演绎推理，强调严密论证的作用，忽视数学审美的桥梁作用，甚至认为数学思维只包括逻辑思维。这样的数学教学仅赋予学生以“再现性思维”和“过去的数学”，扼杀了学生的“再创造思维”、严重制约着学生的创造力。美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维、预感的训练是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而又重要的特征。”所以在高中数学教学过程中，教师有必要加强学生的直觉思维能力。

从数学教学来讲，新的高中数学课程标准与旧的教学大纲相比，更加注重于直觉思维能力的培养。课程标准对思维能力的表述更广泛，要求更高，特别指出：“思维能力主要是指会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辩解数学关系，形成良好的思维品质。”而直觉思维作为一种重要数学思维能力，其思维的敏捷性、创造性更是体现于此，所以对我们数学教师来说，加强对学生直觉思维能力的培养是非常重要的。

三、直觉思维能力的培养（向量的数量积，离散型随机变量比较方差与期望比较大小）

1.重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用，以形成并丰富数学知识组块

扎实的基础是产生直觉的源泉，直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。

知识组块又称知识反应块，它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成，并集中地反映在一些基本问题、典型题型或方法模式中。许多其他问题的解决往往可以归结成一个或几个基本问题，化归为某类典型题型或运用某种方法模式。这些知识组块由于不一定以定理、法则等形式出现，而是分布于例题或习题之中，因此将知识组块从例、习题中筛选，加以精炼是非常必要的。

例1.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个平分线所在的直线（《立体几何》P33习题11）

说明：本题的结论以及由图（1）所得的结论：cosθ=cosα·cosβ，（其中∠POB=θ，∠POC=α，∠BOC=θ）

应用非常广泛，若在大脑中形成知识组块，可轻易解决如下问题等，

1）已知异面直线a、b所成的角为60°，则过点A与a、b所成的角均为60°的直线有几条？

2）PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条所成的角都是60°，那么直线PC和平面PAB所成的角的余弦值是（ ） A.B.C.D.

3）三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB=∠CAB=60°，AB=AC=2a，PA=a，求三棱锥的体积。

4）如图（2），正方体AC1中，E，F分别为棱AB，C1D1的中点，则A1B1与截面A1ECF所成角的正弦值为多少？

2.重视解题教学，注重培养学生数形结合思维

华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、“可以学到手的”和“可以加以推广应用的”，以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学。

例1.已知x、y、z∈R+，求证：

解析：要证的不等式，外形上比较复杂，单从代数上处理，解题过程将十分繁琐，若能注意到不等式的特点及三个根式相同的结构特征，则易联想到余弦定理和三角形不等式，从而可设

构造如图三角形；

由|AC|+|BC|>|AB|即可获证。

3.鼓励大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯

猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，对于未给出结论的数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导，对于已有结论的问题，猜想是寻求解题思维策略的重要手段，数学猜想是有一定规律的，并且要以数学知识和经验为支柱，但是培养敢于猜想，善于猜想，善于探索的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。

例2.如图已知平行六面体

A1B1C1D1-ABCD的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=

∠BCD=60.

（1）求证C1C⊥BD.

（2）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角的平面角α-BD-β的余弦值。

（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD，请给出证明。

说明：按常规思路：从A1C平面C1BD出发找出关于CD与C1C关系的等式，推出的值。这样去求解费时又费力。若能以猜想开路，即直觉地估计出=1，则情形就大不一样，解答如下：

解：若=1，则BC=C1C=CD，又∠C1CB=∠C1CD=

∠BCD，

∴BD=C1B=C1D ∴三棱錐C-C1BD是正三棱锥，设A1C与C1O相交于G

∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，

∴C1G∶GO=2∶1

∵C1O又是正△C1BD的BD边上的高、中线，∴G是正三角形C1BD的中心，

∴CG 平面C1BD，∴A1C平面C1BD.

总之，随着社会的发展，教育的观念方向都在不断地变化，从应试教育向素质教育，从专才向创新人才的培养。这就给我们教师提出了新的要求，新的挑战。直觉思维作为一种重要思维，是培养创新思维能力的一条重要途径，在高中数学学习阶段，教师要注重培养学生的直觉思维能力，直觉思维的培养对数学发展乃至整个科学发展都有着十分重要的意义。