对圆锥曲线教学中离心率问题的探究与思考

周建峰

数学大师波利亚指出：“我们靠推理论证来肯定我们的数学知识，而靠合情推理来为我们的猜想提供依据.”求离心率及范围问题是高考中的热点问题，是考查学生素质和能力的综合问题，要求学生能从复杂的变量关系中抓住主要矛盾，建立关于离心率或a或c的方程或不等式，借助一些条件求出离心率的范围.

一、演绎定义，激活学习趣味

华罗庚曾说：新的数学方法和概念常常比解决数学问题本身更重要.如果有学生感到某个数学概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用以及它与其他概念的联系，就会发现这个概念实际上是水到渠成、浑然天成的，不仅合情合理，甚至很有人情味.在数学教学中，我们应给学生提供必要的案例进行演示和学习，培养学生良好的观察能力和思维能力.

在椭圆或双曲线中，已知a、c的值可直接求离心率，也可用转化观点求，例如在椭圆中，e=■=■，在双曲线中，e=■=■，只须求■即可.

例1：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，│F1F2│=8，P是双曲线C右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q，若│AQ│=2，求曲线C的离心率.

解：如图所示，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M，依题意知：│AF1│=│AF2│，由双曲线定义及P是双曲线C右支上的一点，得2a =│PF1│-│PF2│，根据三角形内切圆的性质，得│PF1│=│AF1│+│PA│=│AF1│+ （│PM│+│AQ│） ，

│PF2│=│PM│+│MF2│=│PM│+│Q F2│= │PM│+ （│AF2│-│AQ│） ，

所以2a=2│AQ│=4，即a=2，

又因│F1F2│=8，所以c=4，

则双曲线C的离心率e=■=2.

例2：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与圆（x-2）2+（y-1）2=R2交于E，F两点，直线EF过圆心，且直线EF的斜率k=-■，求椭圆的离心率.

解：设椭圆方程为：■+■=1（a>b>0），E（x1，y1），F（x2，y2），则有■+■=1，■+■=1，

两式相减，整理得■+■=0.

EF是直径，

∴线段EF中点是（2，1），且x1≠x2，则

x1+x2=4，y1+y2 =2.

∴■+■=0.

即 k=■=-■=-■ .

∴■=■.

∴e=■=■.

二、拓展定义，激发学生猜想

在数学概念教学中，既要从一般概念中看到具体背景，不使概念“空洞”化，又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念，以使事物有“灵魂”.牛顿说：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现.”因此，教师在教学时要引导和帮助学生对数学概念进行拓展，类比着学，联系着学，由“离心率e是动点到焦点距离和动点到准线的距离之比”这个第二定义求取离心率.

例3：已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且■=2■，求椭圆的离心率.

解：如图，│BF│=■=a，过点D作DH⊥y轴于点H，则由■=2■有：

■=■=■，

∴│DH│=■│OF│=■C，即xD =■ .

由第二定义知：│FD│=e（■-■）=a-■，

又由■=2■，有a=2a-■.

∴3c2= a2.

∴e2=■， 即e=■ .

教育过程重在启发人的思索，强调人的内心自觉.教师的教学不是简单的对生活的模仿或解释，要让学生有所思、有所悟，在他们的成长中留下痕迹，以便让他们更好地成长，更好地生活.

三、建立关系，培养直觉思维

克鲁捷茨基认为：“一个人的能力只有通过活动才能形成和发展.”数学理论的抽象性通常都以某种“直观”的想法为背景，教师在数学教学中可以通过引导学生建立a，b，c三量之间关系，成功求取离心率.

例4：设双曲线■+■=1（a>0，b>0）的半焦距为c，直线l经过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为■c，求双曲线离心率.

解：直线的方程为■+■=1，即bx+ay-ab=0，由原点到直线的距离d=■=■c.

有3c4=16a2b2=16a2（c2-a2），

即3c4-16c2a2+16a4=0

则3e4-16e2+16=0 ，

解得：e2 =4或e2 =■.

由b>a>0得b2>a2，

即c2-a2>a2，e2>2.

∴ e2 =4，即 e =2.

由此看来，具备丰富的经验和掌握常见的数学规律，大胆地建立数学关系、探索解题方向能提高学生直觉思维.正如布鲁纳所说：“结构的理解能使学生从中提高他直觉地处理问题结果.”

四、挖掘条件，提升推理能力

数学家拉普拉斯曾说：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳与类比.”求离心率范围的问题，应找出题中不等关系，也应注意对题中隐含条件的挖掘.

例5：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =60？紫，求椭圆离心率的范围.

解：设椭圆方程为■+■=1（a>b>0），

在△F1PF2 中，由余弦定理得：

│F1F2│2 =│PF1│2+│PF2│2-2│PF1│·│ PF2│cos∠F1PF2 ，

∴ 4c2=4a2-3│PF1│·│ PF2│，

∴│PF1│·│ PF2│=■.

又∵ │PF1│·│ PF2│=■≤a2 ，

∴■≤a2，即■≥■ ，

∴e2≥■，

∴■≤e<1.

求解圆锥曲线离心率相关问题常用方法很多，直接根据题意建立a，c关系求解；借助平面几何关系建立a，c关系求解；利用圆锥曲线相关性质建立a，c关系求解；运用数形结合建立a，c关系求解；运用函数思想和均值不等式建立a，c关系求解；由点与曲线的位置关系建立a，c关系求解；运用差别式建立a，c关系求解；利用圆锥曲线重要结论建立a，c关系求解.总之，将数量关系与逻辑思维渗透到课堂的每一个细节，让学生在解题中不经意间明白大道理，是数学教师真挚的追求.

我们的教学常常被放在高、大、上的位置，我们总是抱怨缺少素材、缺少经历，其实一切都在我们身边、学生身边.“世界不是没有美，只是缺少发现美的眼睛”，我们总觉得对自己的周围很熟悉，老是想着看远处的風景，却意识不到身边的景色也很美.教学中的源头活水需要用心观察才能发现，所以我们应该做一个有心人，做教学的有心人，让来自学生身边的源头活水成为点燃课堂的灵动之火.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com