边坡圆弧滑裂面最小安全系数的简捷计算法

于兴华，滕 凯

(1.黑龙江省水利水电集团冲填工程有限公司,哈尔滨 150001；2.齐齐哈尔市水务局,黑龙江省齐齐哈尔 161006)

1 研究背景

边坡稳定分析的圆弧滑动法是Fellenius基于极限平衡理论与1936年提出的，在此之后，Bishop、Spencer及Sarma等又先后提出了各种简化方法。由于其分析计算的过程是通过完成对多个假定滑弧面上土体条分块的受力求和来实现的，因此，求解过程繁复，计算工作量大。但因该方法基本概念清楚，涉及原理简单，实际工程应用较久，且获得了较好的工程检验效果，所以，圆弧滑动法仍然是目前作为边坡稳定分析的主要方法，并被纳入相关设计规范[1]。为了加快寻求边坡临界滑裂面和最小安全系数的计算方法，相关学者开展了大量而卓有成效的研究工作，截止目前，以提出的计算方法主要有智能算法[2-7]、试算法[8-10]、图表法[11]及解析法[12]。智能算法虽然可利用微机通过最优化方法完成求解，但因涉及初值选取及局部最优解问题，往往使计算可能不收敛或无真解获得；试算法由于涉及的计算公式比较冗长，且需通过反复的逐次逼近，实际应用繁琐不便；图表法虽然计算过程比较直观，但因受图表束缚，不便实际工作，而且由于现有图表法是基于瑞典条分法所得，实际应用误差较大，一般为10%～20%；解析法虽然可以直接完成相关参数求解(圆心坐标及圆弧半径)，但因各参数及相关中间变量的表达式过于复杂，计算过程十分繁复，而且由于在公式推导中将多个反三角函数和根式进行了麦克劳林展开式近似替代，受变量值域及误差累积影响，计算精度不易保证。

为了进一步简化求解边坡滑动最小安全系数的计算过程，实现利用已知的边坡高度、边坡坡比及边坡土体特征参数直接完成最小安全系数求解，本文通过数学方法，基于安全系数的基本计算公式，以积分函数取代条分求和，用求极值方法取代逐次逼近计算，经推导及整理，获得了边坡稳定最小安全系数与边坡坡比及土体参数的数值对应关系，并依据该数值关系绘制了相应的关系曲线，基于曲线特点，采用最优化拟合技术，取最大误差绝对值与标准剩余差之和最小为目标函数，经逐次拟合比选，获得了可直接完成边坡稳定最小安全系数求解的简化计算公式，该公式表达形式简单、计算过程简捷、求解精度高、便于实际工程应用。

2 简化计算公式的建立

2.1 解析计算公式的推求

图1的滑裂面为圆弧的土质边坡，边坡的高度为H，边坡比为m(对应的倾角为β)，容重为γ，滑裂面上土的黏聚力及内摩擦角分别为c及φ。滑弧圆心为O(a，b)(a，b分别为x、y轴的坐标值)，E1E2E3E4为滑弧上方划分的面积Ai的第i块微小土体条。

图1 圆弧滑动图

根据图1中滑裂面的几何关系及受力分析，Fellenins依据极限平衡理论建立的边坡稳定安全系数的计算公式为[13-15]：

(1)

根据图1中的几何关系，利用积分取代式(1)中求和部分，经整理可得：

(2)

其中：

(3)

(4)

L=Hcotβ

(5)

(6)

y1=xtanβ

(7)

(8)

(9)

其中：

f=A+By

(10)

(11)

(12)

式中：μ、p、ρ、A及B均为中间变量；y为边坡已知特征综合参数；f为边坡稳定影响系数。

为求得最危险圆弧滑动面，即kmin值，将式(10)～(12)代入式(9)，完成对式(9)的求导，并令其为0，即为：

(13)

经进一步整理可得：

(14)

由式(13)可见，当f取得最小值fmin时，k即为最小值kmin。因此，求kmin就转化为利用式(14)、(10)求fmin问题。对于某一固定边坡，其坡比m、坡高H、土体容重γ、黏聚力c及内摩擦角φ均为已知值，因此，可设μ的第1次迭代值为μ1，利用式(14)通过试算(或采用黄金分割法)即可求得与μ1相对应的p1，将μ1、p1代入式(11)、(12)及式(10)即可求得与其相对应的f1，按照这一计算过程和步骤，再分别选取μ2，μ3，…，μn求出与其相对应的f2，f3，…，fn值，并比较其大小，直到获得fmin，进而由式(9)即可求得边坡稳定最小安全系数kmin值。

2.2 简化公式的建立

利用上述解析计算公式求解边坡稳定最小安全系数的过程尚显过于繁琐，为了进一步简化计算过程，本文在对大量计算成果进行分析及整理的基础上，提出了可直接完成边坡最小安全系数求解的计算公式。

2.2.1 fmin～m～y曲线分析

根据文献[14]、[15]可知，产生圆弧滑裂的边坡土体均为黏性土，其黏聚力c一般均大于10 kPa，边坡已知特征综合参数y的值域范围一般为0～90。在实际工程中，经常遇到的挖填方或自然土质边坡工程，其边坡比m一般多在1∶0.5～1∶5.0 (对应的倾角β为63.43°～11.31°)，依据参数的这一适用范围，利用公式(14)及式(10)采用上述计算方法，可分别求得与边坡坡比m及边坡已知特征综合参数y相对应的边坡最小稳定影响系数fmin，有关计算结果见表1。

表1 fmin～m～y关系计算结果表

为了分析fmin～m～y的数值函数对应关系，利用表1中的计算结果即可完成fmin～m～y的关系曲线绘制，见图2所示。

由图2可见，当y值一定时，fmin随m值的减小而增大,并且fmin～y曲线的切线斜率随m值的增大而减小；而当m为一定值时，fmin随y值的增大呈非线性关系增加，并且fmin～y曲线的切线斜率随y值的增大而减小(即为：fmin的增量Δfmin随y值的增大而减小)，因此fmin～y为指数小于1的指数函数曲线；当y=0时，fmin>0，曲线在纵坐标轴上的截距应为φ=0时的边坡最小稳定影响系数fmin。

图2 fmin～m～y关系曲线图

2.2.2 简化计算公式

根据上述分析，fmin～y可表示为指数函数形式，且指数x∈(0,1)，曲线在纵坐标轴上的截距D>0 。基于这一分析成果，为使替代函数具有更好的拟合精度，本文取最大相对误差绝对值与标准剩余差之和最小为目标函数，即为：

(15)

经逐次拟合逼近即可求得表1中关于fmin～m～y数值关系的最优拟合，替代式为：

(16)

其中：

(17)

式中：C、D、x均为与边坡比m有关的中间变量。

3 简化计算公式的精度分析

(18)

图3 式(16)相对误差包络图

由图3可见，式(16)替代式(10)相对误差包络图所形成的正、负误差面积基本相等，最大相对误差绝对值也基本相等，且最大拟合相对误差小于1.25%，因此，式(16)具有较好的拟合替代精度，完全满足实际工程的计算精度要求。

4 算例及比较

为说明本文简化公式的适用性及计算精度，现以工程实例计算结果的比较进行说明。为便于计算，将所引用相关文献计算实例的边坡参数及最小安全系数的求解成果列于表2。依据各算例边坡的已知参数，采用本文公式可直接完成边坡稳定最小安全系数求解，并完成精度比较，结果见表2。

表2 工程实例计算结果比较表

由表2可见，在上述边坡工程中，尽管边坡各参数值变化较大，但本文简化公式的计算结果与原文计算结果相对误差的绝对值均不超过1.23%，可见，本文公式具有较好的计算精度。

5 结 语

针对目前开展边坡圆弧滑裂面稳定最小安全系数求解方法存在的问题，提出了边坡稳定最小安全系数求解的简化计算公式，该公式具有以下主要优点：

(1) 利用边坡已知参数即可直接完成边坡圆弧滑裂面稳定最小安全系数求解，避免了传统算法必须首先完成最危险滑裂面所对应圆心坐标及圆弧半径的繁复的中间求解过程，使求解计算简捷直观。

(2) 公式表达形式均为简单的指数函数，利用普通的计算器即可非常方便地完成求解运算，便于实际推广应用。

(3) 精度分析及算例计算结果比较说明，在工程适用参数范围内，本文简化计算公式求解结果的最大相对误差小于1.25%，完全满足实际工程的计算精度要求。