MATLAB在数字滤波器教学中的应用杨小凤

摘要：针对数字信号处理课程的重要教学内容——数字滤波器，具有概念抽象、理论性强、设计方法灵活等特点，以培养应用型人才为出发点，对课程教学进行了改革与探索，利用MATLAB演示数字滤波器的设计过程，提高了教学质量，取得了较好的教学效果。

关键词：教学改革；数字信号处理；应用型人才培养

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）18-0207-03

一、引言

数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是应用最广泛、发展最迅速的学科之一，是通信工程、电子信息工程等专业的一门重要的专业基础课[1]。数字滤波器的设计是这门课程的重要教学内容，具有概念抽象、理论性强、设计方法灵活等特点，对于应用型本科高校的学生来说，由于数学基础比较薄弱，不能很好地掌握这部分内容的基本原理、物理意义和设计方法，更难将其应用于今后的学习和工作中。

为了达到培养应用型人才的教学目标，笔者对DSP课程中关于数字滤波器设计的教学进行了若干教学改革，根据因材施教的原则和应用性的导向进行教学，授课时淡化公式的数学推导，仅在必要时推导一些重要的公式，把概念和结论讲清楚，其余的数学内容可以让有兴趣的学生课后自学，同时着重强调概念的物理意义、设计方法和应用领域，做到数学概念、物理意义、设计应用三者并重。教學中利用MATLAB软件强大地数值分析、信号处理和图形显示的功能，将其与数字滤波器设计的教学相结合，不仅可以使学生从繁重的数学运算与推导中解脱出来，还可以使设计达到最优化，从而快速有效地实现各种数字滤波器的设计、仿真与性能比较。

二、IIR数字滤波器的教学

无限长冲激响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器主要有如下几种类型：巴特沃斯滤波器（Butterworth）、切比雪夫I型滤波器（Chebyshev I）、切比雪夫II型滤波器（Chebyshev II）和椭圆滤波器（Ellipse）[2]。上课时应说明这几种滤波器在性能上的区别，以便学生设计滤波器时根据性能要求选择不同类型的滤波器。对相同的指标要求，巴特沃斯滤波器阶数最高，切比雪夫次之，椭圆滤波器阶数最低；当阶数相同时，巴特沃斯滤波器过渡带最宽，椭圆滤波器过渡带最窄。

IIR数字滤波器的设计结果是滤波器的系统函数H（z），设计步骤为：首先确定滤波器的阶数N和3dB截止频率wc，然后得到滤波器系统函数，运用MATLAB进行设计也相应地需要调用两个函数。

设计巴特沃斯数字滤波器：

[N，wc]=butterord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=butter

（N，wc，ftype）；

设计切比雪夫（I型）数字滤波器：

[N，wc]=cheb1ord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=cheby1

（N，Rp，wp，ftype）；

设计椭圆数字滤波器：

[N，wc]=ellipord（wp，ws，Rp，As）；[B，A]=ellip（N，

Rp，As，wc，ftype）；

其中，wp为通带截止频率；ws为阻带截止频率；Rp为通带最大衰减；As为阻带最小衰减；ftype为滤波器类型，ftype=high时，设计高通滤波器，ftype=stop时，设计带阻滤波器，省略ftype为低通或带通滤波器；A、B分别为滤波器系统函数的分母多项式系数和分子多项式系数。讲解各个参数的含义时可以引导学生查阅MATLAB帮助文件，培养学生触类旁通的能力。下面通过两个案例说明如何运用MATLAB进行IIR数字滤波器设计的教学。

例1：设计一个低通数字滤波器，要求在通带[0，0.2π]内衰减不大于3dB，在阻带[0.6π，π]内衰减不小于40dB，且幅频特性单调下降。

解：因为题目要求滤波器的幅频特性单调下降，因此选择巴特沃斯滤波器。MATLAB设计程序如下，滤波器幅频响应如图1所示，从图1可以看出边界频率处的衰减均符合题目指标要求。

wp=0.2；ws=0.6；rp=3；rs=40；

[N，wc]=buttord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=butter（N，rp，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；%画幅频响应图

例2：设计一个数字低通滤波器，要求滤波器阶数最低。等效的模拟低通滤波指标是fp=100Hz，ap=1dB，fs=250Hz，as=60dB，采样周期T=1ms。

解：因为题目要求滤波器的幅频特性单调阶数最低，因此选择椭圆滤波器。MATLAB设计程序如下，滤波器幅频响应如图2所示，从图2可以看出边界频率处的衰减均符合题目指标要求。

fp=100；fs=250；T=0.001；

wp=2*fp*T；ws=2*fs*T；

rp=1；rs=60；

[N，wc]=ellipord（wp，ws，rp，rs）；

[B，A]=ellip（N，rp，rs，wc）；

hfvt=fvtool（B，A）；

以上详细介绍了利用MATLAB设计两种IIR数字低通滤波器的方法，两者的幅频特性图直观地展示了巴特沃斯和椭圆滤波器的不同特点，给学生留下了深刻的印象。该方法也可以推广到IIR高通、带通和带阻数字滤波器的设计。在教学中利用MATLAB仿真软件演示数字滤波器的设计过程，可以帮助学生深入理解数字滤波器的基本理论和设计方法。

三、FIR数字滤波器的教学

有限长冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器的设计结果是滤波器的单位脉冲响应h（n），设计方法主要有两种：窗函数法和等波纹最佳一致逼近法。窗函数法的逼近误差在整个频域分布极不均匀，在误差最小的频段往往远远优于指标。指标相同时等波纹最佳一致逼近法使滤波器的阶数最低，阶数相同时使最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大。

窗函数法的基本步骤：首先根据阻带最小衰减选择窗函数的类型，然后根据过渡带宽度确定所选窗函数的长度，再调用MATLAB函数的fir1实现FIR数字滤波器的设计：hn=fir1（N，wc，ftype，window）；N为滤波器阶数，等于窗长度减一；wc为过渡带中心频率，对π归一化的数字频率；ftype为滤波器类型；window为窗函数类型，常用的窗函数有海明窗（Hamming）、汉宁窗（Hanning）、布莱克曼窗（Blackman）等。上课时应重点讲解如何根据设计指标选择窗函数。

等波纹最佳一致逼近法可以利用MATLAB函数的remezord和remez来实现：[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip，Fs）；hn=remez（N，fo，mo，w，ftype）.

其中，f为边界频率向量；m为与f对应的幅度向量；rip为各逼近频段允许的波纹振幅（幅频响应偏差）；Fs为采样频率（省略时默认为2Hz）；w为误差加权向量。

下面通过一个案例说明如何运用MATLAB进行FIR数字滤波器设计的教学。

例：用窗函数法和等波纹最佳一致逼近法设计一个FIR带通滤波器，要求：阻带下截止频率ωls=0.2π，阻带上截止频率ωus=0.8π，通带下截止频率ωlp=

0.35π，通带上截止频率ωup=0.65π，通带最大衰减 ap=1dB，阻带最小衰减as=60dB。比较两种方法的设计结果有何不同。

解：（1）窗函数法的关键在于正确选择窗函数的类型，因为阻带最小衰减为60dB，因此只能选择布莱克曼窗。MATLAB设计程序如下：滤波器的单位脉冲响应和幅频响应如图3所示，从图3可以看出滤波器的阶数为80，通带性能指标和题目要求较为接近，而阻带最小衰减比题目要求多了10dB左右。

wls=0.2*pi；wlp=0.35*pi；wup=0.65*pi；

B=wlp-wls； % 过渡带宽

N=ceil（12*pi/B）； % 选择blackman窗（过渡带宽12*pi/N）

wc=[wlp/pi-6/N，wup/pi+6/N]；

hn=fir1（N-1，wc，blackman（N））；

（2）等波紋最佳一致逼近法的MATLAB设计程序如下：滤波器的单位脉冲响应和幅频响应如图4所示，从图4可以看出滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，滤波器的阶数为28，比窗函数法的设计结果（80阶）要低得多，而且等波纹最佳一致法设计的性能指标比较接近题目要求，使最大逼近误差最小化。通过图3和图4的比较，直观地展示了窗函数法和等波纹最佳一致逼近法的不同性能，大大增强了学生对抽象概念和设计方法的理解。

f=[0.2，0.35，0.65，0.8]；m=[0，1，0]；rp=1；rs=60；

deta1=（10^（rp/20）-1）/（10^（rp/20）+1）；

deta2=10^（-rs/20）；

rip=[deta2，deta1，deta2]；

[N，fo，mo，w]=remezord（f，m，rip）；

N=N+2；% remezord估算的阶数偏小，需要调整

hn=remez（N，fo，mo，w）；

四、结语

笔者根据应用型本科高校人才培养的目标和需求，将MATLAB仿真引入DSP课程教学，利用MATLAB演示数字滤波器的设计过程，不仅形象生动，而且加强了课程内容之间的相互联系，能够充分调动学生的学习积极性与主动性，促进了学生对数字滤波器的基本理论和设计方法的理解和掌握，希望能对教学改革起到抛砖引玉的作用，以取得更好的教学效果。

参考文献：

[1]丁玉美，高西全.数字信号处理[M].西安电子科技大学出版社，2013.

[2]胡广书.数字信号处理导论[M].第二版.北京：清华大学出版社，2013.