量子力学教学中关于自旋算符及其对易关系引入方式的探讨

舒崧

摘要：本文主要探讨了量子力学教学中自旋的一种新的引入方式。通过空间转动变换后粒子内秉空间波函数的转动不变性可以引入自旋算符，由作为矢量的自旋算符平均值的空间转动不变性可以进一步导出自旋算符间的对易关系。这样引入自旋有助于学生认识到空间转动对称性与自旋的关系。

关键词：对称性；空间转动不变性；自旋算符；对易关系；量子力学课程教学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）25-0200-02

在近代物理学的发展当中，量子力学发展到量子场论，对称性在其中起到了非常重要的作用。物理中的对称性是指物理系统在时空坐标的某种变换操作下的不变性。深入研究对称性的数学理论是群论，它在粒子物理和高能物理中有着广泛的应用。而量子力学的教学应该更多地反映量子力学相关领域研究中基本物理观念和数学处理方法上的发展。

自旋是量子力学中一个重要的基本概念，在通常的本科量子力学教材中自旋是类比角动量的概念引入的，自旋算符和其对易关系也完全是按照角动量算符的对应情形直接引入的，并没有作任何推导。在教学过程中，这种引入方式显得有些突兀，虽然学生能够接受，但是学生不能从中理解到自旋概念与空间转动对称性的关系，对学生以后深入理解和学习自旋没有更多的帮助。所以在本论文中笔者希望结合量子力学课程教学来探讨一下从空间转动对称性的角度出发来引入自旋算符和相应的对易关系。

一、由自旋内秉空间波函数的空间转动不变性引入自旋算符

在本科量子力学教学中，自旋概念是根据具体的实验事实而提出来的，比如施特恩-盖拉赫实验。这些實验说明电子具有某种内秉角动量，被称作自旋。这种角动量不能由通常的轨道角动量定义方式，即来定义描述。那么量子力学中怎么来描述一种内秉角动量呢？这里问题的关键在于量子力学中角动量还有其他的定义和描述方式吗？答案是有。这就是由空间转动不变性来定义角动量。在某种空间转动下如果粒子的运动状态不发生改变，这时对应转动变换的生成元就是角动量。这实际上是基于群论基础对角动量更为普适的一种定义方式。但在本科教学中，由于学生没有群论学习基础，我们只能从另一种途径来说明这一点。由于量子力学中粒子的状态是由波函数来描述，准确地说是粒子在空间中存在的几率分布状态由波函数模的平方来决定。粒子运动状态不变是指波函数模的平方不变，所以这相当于对波函数作一个幺正变换，而幺正变换的概念学生在量子力学先前的课程中一般都学习过。幺正变换对应一个幺正变换算符。

参考文献：

[1]周世勋.量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]喀兴林.高等量子力学[M].北京：高等教育出版社，2001.