基于流体力学和排队论的收费站车辆耗时研究＊

陈茂林，张 雷，范泽华，崔雅洪

（重庆交通大学，重庆 400074）

高速公路收费站拥堵的情况日益凸显，车辆在收费站停留时间过长，在一定程度上影响高速公路的通行效率和服务质量，从而影响到交通的畅通程度。因此研究车辆在收费广场的耗时问题，提高收费站的通行能力，是改善高速公路拥堵状况的有效途径，同时也是站点设立的理论依据。目前，收费广场主要以对底梯形为设计样式，通过建立车辆的耗时模型，优化车辆的通行时间，可以达到快速通过的目的。

1 车辆通过高速公路收费广场耗时数学模型

将车辆通过收费广场分为进入过渡段、等候服务段和离开过渡段3部分，这3部分所耗费的时间分别为Tn，Tw，Tu，所以总耗时T的模型为：

总耗时T的模型可以分为3个子模型，3个子模型之间由交通流量q0和交通流量v建立联系。

1.1 收费广场进入过渡段的耗时模型

假设交通流是自由流，并以初始交通流速v0和初始交通流量q0进入收费广场过渡段，则依据交通流理论有：

式（2）中：k0为初始交通流密度。

在过渡段的x点处，交通流速为v（x），交通流密度为k（x），则它们与流通量q0的关系式为：

因交通流量在进出消费广场的全程是保持不变的，所以可得交通流密度k（x）与过渡段宽度w（x）的关系为：

式（4）中：wn为进站前5车道的宽度。

依据几何原理，建立方程式如下：

式（6）中：wf为过渡段总宽度，即过渡段最大宽度；ln为过渡段的长度。它们与收费站个数n的关系式如下：

式（7）（8）中：a1为ln的特定系数，取值范围常为（0.01，0.025），本处取0.02；d为单方向收费个数。

综上（2）～（8），得到车辆进入过渡段耗时的平均时间Tn的最终表达式为

1.2 收费广场等待服务的耗时模型

因交通流量在进出消费广场的全程是保持不变的，所以从进入过渡段到离开过渡段整个过程3个阶段的交通流量皆相等，即q0＝q1＝q2.依照流体力学原理，车流量是平均分配到各个收费车道的，所以每个收费路口的车流量为q1/n.根据排队论，每个收费路口服从M/M/1系统，则第2阶段所有收费路口服从M/M/c系统，即多服务台负指数分布排队系统。假设平均到达率为λ，平均服务率为μ，则可算出车辆在收费广场等待服务所耗时间为又有λ＝q1/n，所以，车辆在等候服务耗时的平均时间

1.3 离开收费广场过渡段耗时模型

假设车辆离开收费广场等候服务阶段有个初始速度v2、车流量q1，最后以车流量q2汇流进入主线，第3阶段与第1阶段相似，因此省略其推导过程，直接给出车辆离开过渡段耗时的平均时间Tu的表达式为：

2 车辆通过收费广场耗时数学模型求解

综上分析，可以得到车辆通过高速公路收费广场耗时T的目标函数为：

此处假设高速公路是标准的横断面，则一条车道的宽度为3.75 m，五车道的高速公路两方向的主线宽度wn，wu都为18.75 m，每个收费路口的宽度皆为5 m。假设平均服务率为600 pcu/h，平均到达率为4 186 pcu/h，车辆进站的初始速度为40 km/h，离开收费广场的速度为20 km/h，各参数的具体设置值如表1所示。

表1 各参数的具体设置值

由于模型的变量只有收费站个数n，确定n就能确定通过收费广场的总耗时。又因为n的值只能取整数且不能太大，所以我们变换n值就可以接触通过收费广场3个阶段的时间及总时间，从而取得总体的最优值。

为确保系统的稳定性，平均到达率为λ总是小于平均服务率为μ，以免造成收费广场的瘫痪。因为λ＝q1/n，有n的约束条件为n＞q0/μ，所以可得n从8到16的变化过程中，用MATLAB求出所对应的每个Tn，Tw，Tu如表2所示。

表2 对应每个n的通过收费广场的总时间和各阶段时间

3 结果分析

根据表2可以得出：①随着收费站站点的增加，进入过渡段和等待段的时间却增加了。从主观方面考虑，原则上是收费站的数量越多，等待时间越短。但是随着收费站的数量的增加，收费广场的面积同步扩大与增长，从而导致进入过渡段和等待段的通过时间增长。②站点的增加使得离开过渡段的时间减少了。随着站点的增加，离开过渡段的面积在扩大，这在一定程度上降低了减速排队的等待时间，提高了出站的通行畅通度。

4 结束语

单纯地提高收费站中收费亭的数量在一定程度上是可以提高通行能力的。由于收费站增加的同时会扩大和增大过渡段的面积和长度，更重要的一点是增加了投入的费用。根据预估车流量和车辆通行时间来设定相应的收费亭，得到的结果更加具有实际应用意义。