“超级全能生”2018年高考全国卷26省3月联考甲卷数学(理科)

“超级全能生”2018年高考全国卷26省3月联考甲卷数学(理科)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

( )

2．关于x的不等式x2-x-m<0的解集为A=(-1,n)，B={x|2x<1}，则A∩B=

( )

A．(-1,0) B．(-2,0)

C．(-∞,2) D．(0,1)

3．已知向量a=(-1,m)，b=(2,3)，若a+2b与b平行，则m=

( )

4．已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，若AB=3，BC=4，则AC=

( )

( )

A.-6 B.-3 C.2 D.3

6．一位顾客某个月的每天都会到一家外卖店订购午餐．该顾客一天订购甲套餐的概率是0.8，连续两天订购甲套餐的概率是0.6．已知某天该顾客订购了甲套餐，则随后一天该顾客继续订购甲套餐的概率为

( )

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48

7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

( )

8．如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b的值分别为12，15，则输出的m=

( )

A.3 B.30 C.60 D.180

( )

( )

( )

12．设函数f′(x)是f(x)(x≠2)的导函数，f(3)=0，f(2+x)+f(2-x)=0．当x>2时，f′(x)-f(x)>0，则使得f(x)·ln|x-2|<0成立的x的取值范围是

( )

A．(-∞,1)∪(1,2) B．(1,2)∪(3,+∞)

C．(-∞,1)∪(2,3) D．(1,2)∪(2,+∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14．A，B，C，D，E五个人分别从编号为3，4，5，6，7的五张卡片中任取一张，现已知：

(1)A的数字比B的数字大2；

(2)B的数字与C的数字相邻；

(3)C的数字是偶数；

(4)D的数字是A，B，C其中两个数字的和．

根据以上条件B拿到的卡片上的数字为________.

15．(x+a)(x+2)4的展开式中x的偶数次幂项的系数和为-1，则实数a=________．

16．已知M，N分别是抛物线E：y2=4x和圆C：(x-4)2+y2=1上的两个动点，当M，N运动时，|MN|的最小值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17．(12分)

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1.

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

18．(12分)

科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg).

对照组1215212326243535343251524946435344616343实验组2332343642415159464343455267656562565558

(Ⅰ)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)；

(Ⅱ)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；

对照组实验组合计产量高产量一般合计

(Ⅲ)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究，计算恰好有2株来自实验组的概率.

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

19．(12分)

(Ⅰ)求证:A1C∥平面BDC1；

(Ⅱ)求二面角B-DC1-C的余弦值.

20．(12分)

(Ⅰ)求轨迹E的方程；

21．(12分)

已知a>0，函数f(x)=(x2-2x)lnx+ax2-x.

(Ⅰ)当a=2时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)有且仅有一个零点，求证：当x>e-2时，f(x)≥0．

(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C1的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C1，C2的交点(异于极点)分别为A，B，求|AB|.

23．[选修4-5：不等式选讲](10分)

(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)<7的解集；

(Ⅱ)若对任意实数a，关于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案

17．解:(Ⅰ)当n=1时，a1=2×1-1=1；

(1分)

当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1, ①

a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1)-1, ②

(3分)

(4分)

(5分)

(6分)

(7分)

(8分)

(10分)

(11分)

(12分)

18．解:(Ⅰ)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差.

(2分)

(4分)

(Ⅱ)完成2×2列联表如下图所示：

对照组实验组合计产量高71219产量一般13821合计202040

(5分)

所以K2的观测值

(7分)

所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关.

(8分)

(11分)

(12分)

19．解:(Ⅰ)证明：连接B1C交BC1于E，连接DE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为BC1的中点，

又D为A1B1的中点，

所以DE是△A1B1C的中位线，所以DE∥A1C，

(3分)

又DE⊂平面BDC1，A1C⊄平面BDC1，

(4分)

所以A1C∥平面BDC1.

(5分)

(Ⅱ)因为AB2+BC2=8=AC2，所以AB⊥BC.依题意可知，AB，BC，BB1两两垂直，以B点为坐标原点，分别以AB，BC，BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系B-xyz.

则B(0,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D(1,0,1)，

(6分)

设n1=(x1,y1,z1)为平面BDC1的法向量，

(8分)

设n2=(x2,y2,z2)为平面CDC1的法向量，

令x2=2，可得n2=(2,1,0).

(10分)

(11分)

由题知二面角B-DC1-C为锐二面角，

(12分)

20．解:(Ⅰ)设P(x0,y0)，H(0,y0),Q(x,y)，

(2分)

又P(x0,y0)在圆C上，

(5分)

(Ⅱ)△ABF的周长是定值，值为6.

解法一：由动点P在第一象限，可设直线AB的方程为y=kx+m(k<0,m>0)，

得(4+9k2)x2+18kmx+9m2-36=0.

(7分)

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

(8分)

(9分)

因为直线AB与圆C:x2+y2=4相切，

(10分)

(11分)

故△ABF的周长是定值6．

(12分)

解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，

(6分)

(8分)

在圆C中，P是切点，

(9分)

(10分)

同理可得|BF|+|BP|=3，

所以|AF|+|BF|+|AB|=3+3=6，

(11分)

故△ABF的周长是定值6．

(12分)

21．解:(Ⅰ)当a=2时，f(x)=(x2-2x)lnx+2x2-x，

f′(x)=(2x-2)lnx+5x-3，

(1分)

f′(1)=2，f(1)=1，

(2分)

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．

(4分)

(Ⅱ)证明:若函数f(x)有且仅有一个零点，

令f(x)=(x2-2x)lnx+ax2-x=0，x>0，

(5分)

(6分)

令h(x)=1-x-2lnx，

因为h′(x)<0，

所以h(x)=1-x-2lnx在(0,+)上是减函数，

又因为h(1)=0，

所以当00；当x>1时，g′(x)<0.

(7分)

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，

所以g(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，g(x)max=g(1)=1.

(8分)

因为a>0，所以当函数f(x)有且仅有一个零点时，a=1．

(9分)

当a=1时，f(x)=(x2-2x)lnx+x2-x，

所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=0，

又因为f(e-2)=3e-2-e-4>0，所以f(x)min=f(1)=0．

(11分)

所以当x>e-2时，f(x)≥0．

(12分)

(2分)

(5分)

(6分)

(9分)

(10分)

23．解:(Ⅰ)当a=1时，

(1分)

当x<-1时，-2x+3<7，解得x>-2，所以-2

(2分)

当-1≤x≤4时，5<7恒成立；

(3分)

当x>4时，2x-3<7，解得x<5，所以4

(4分)

综上所述，不等式f(x)<7的解集是{x|-2

(5分)

≥4(当且仅当a=±2时，取等号),

(8分)

所以4+4≥|1-2m|，所以-8≤2m-1≤8，

(10分)

(本套联考试题为杂志社第三阶段原创研发项目“数学D3T2”研发组成果)