测试生产中不同渗流机理下油气井出砂量分析

姜海龙

（西安石油大学机械工程学院，陕西西安 710065）

油气藏流体进入井筒，孔隙压力从外边界到井壁处为一个下降的压力剖面[1]。由于流体与饱和流体的多孔介质岩石之间的相互作用，孔隙压力的变化会导致地层井壁应力和有效应力的变化，可能导致裸眼井壁出砂，若出砂量太大，可能导致生产井的报废[2]。油气藏开发和测试过程中不同渗流模型对应的近井地层孔隙压力梯度不同，特别是对于高压气藏，渗流速度足够大时渗流模型中要考虑加速效应，而考虑加速效应渗流模型在近井地层孔隙压力梯度非线性甚至可能无穷大并且流体质量流量存在一个最大值[3-5]，进而改变近井地层岩石的有效应力状态。目前，油气藏开发和测试过程，井壁围岩受到Darcy、非Darcy渗流的影响，很多学者对地层出砂问题进行了研究，但没有涉及考虑加速效应渗流作用和出砂量计算[6-9]。另一部分学者，仅仅分析了测试生产中油气藏的渗流特征，但没有联系井壁坍塌[3-5，10-13]。金衍等[14]研究了考虑加速效应渗流模型的井壁围岩径向应力，但没有涉及周向应力分析和出砂量计算。Wu等[15]和Papamichos等[16]通过实验研究认为井眼坍塌的破坏形状一般呈椭圆形，但对于渗流作用和出砂量计算问题，没有给予讨论和研究。姜海龙等[17-20]分析了生产时高压气井裸眼段井壁稳定性和近井应力状态，但没有涉及出砂量的计算。在上述研究基础上，本文从力学机理出发，从相态、渗流模型、地应力三方面分析了径向渗流作用下直井近井地层岩石应力状态，并结合莫尔库伦准则，对油气藏开发和测试过程中裸眼井壁储层段的坍塌区域形状和出砂量进行了分析和预测。

1 井壁围岩应力状态

油气藏开发过程中井壁周围地层应力受到远场地应力和地层流体压力分布的影响。假设远场地应力为σr0，远场地层流体压力为 P0，将文献[2]中方程（4.51）、（4.52）和（4.53）无量纲化得到[14]：

以下所有的变量都为无因次变量，因此井壁围岩有效应力为：

假设岩石破坏遵循莫尔-库伦准则[2]，用有效应力可表示为：

2 均匀地应力场油藏出砂量分析

液体达西渗流模型时流体压力分布为[14]：

有效周向应力为：

有效周向应力的导数为：

因为 0＜S＜1，0＜η＜0.5，Y＞1，则有：

有效径向应力的导数为：

则存在这样一个ra[14]：

因为 0＜φ＜π/2，则有 cot2（π/4-φ/2）＞0，结合式（7）和式（8），则式（3）左边部分的导数：

根据式（3）和式（11），可以看出坍塌最先出现在井壁，并且当井壁围岩应力达到坍塌临界状态时，在r＞1的近井地层坍塌停止，不再发展。

3 均匀地应力场气藏出砂量分析

F（r）具有以下关系：

F（r）的导数为：

结合式（14），可以得到：

有效周向应力导数为：

有效径向应力导数为：

为了分析方便，取φ=π/6，则式（3）左边部分的导数为：

气藏试气或生产过程中，气体的运动方程可能为Darcy渗流模型、Darcy-Forchheimer渗流模型和考虑加速效应的渗流模型，这三种渗流作用下近井地层岩石有效径向应力可能为负值，只要满足式（23）：

Darcy渗流模型、Darcy-Forchheimer渗流模型和考虑加速效应的渗流模型在质量流量相同的情况下，孔隙压力梯度具有式（24）关系[4]：

因此当井壁（r=1）的有效周向应力和有效径向应力满足式（3）时，即井壁围岩应力达到坍塌临界状态，坍塌并不停止，在1＜r≤rc区域内，坍塌继续发展。

因此式（25）是否存在或者说坍塌是否继续发展的条件为：

高压气藏直井无因次出砂量V1为：

根据式（2），得：

则三种渗流模式对应的有效周向应力在1≤r＜re范围都有：

而有效径向应力在近井地层有：

则近井地层有：

由式（32）可以看出，考虑加速效应渗流模型对应的井壁围岩应力最先达到临界坍塌条件。三种渗流模型孔隙压力梯度为[14]：

式中：ξ-Darcy-Forchheimer阻力系数；λ-表征加速效应的因子，λ→∞和ξ=0为Darcy模型，λ→∞和模型。

当 m=0.065，Y=1.1，re=2 000，η=0.5，φ=π/3，C=0.154，αB=1时，Darcy渗流作用下的近井地层岩石应力状态（见图1），可以看出近井地层存在一个坍塌区域（1≤r＜rc），此时 rc=1.005 5，很显然坍塌区域边界为一圆形，无量纲的出砂量V1为0.034 7。

当 m=0.041，Y=1.1，re=2 000，η=0.5，φ=π/3，C=0.143 9，αB=1；λ=0.5，ξ=100 时，三种渗流模式作用下的近井地层岩石应力状态对比（见图2和图3），井壁围岩应力差在Darcy渗流和Darcy-Forchheimer渗流作用下分别为1.044 3和0.609 6，而考虑加速效应渗流模型作用下的井壁围岩应力差最大为1.074 0，说明考虑加速效应渗流模型对应的井壁围岩应力最先达到临界坍塌条件；可以看出同样质量流量下，考虑加速效应渗流模型对应的出砂量最大，rc=1.138 7，由式（27）得到无量纲出砂量V1为0.931 9。

4 非均匀地应力场气藏出砂量计算

假设地层是均匀各向同性、线弹性多孔材料，并认为井壁围岩处于平面应变状态，水平最大地应力σH，水平最小地应力σh。在式（2）的基础上，根据弹性力学理论得到渗流作用下井壁围岩有效应力为：

图1 Darcy渗流作用下井壁达到临界坍塌状态时地层岩石应力状态

图2 考虑加速效应渗流作用下井壁达到临界坍塌状态时不同渗流模型对应的地层岩石应力状态对比

图3 考虑加速效应渗流作用下井壁达到临界坍塌状态时不同渗流模型对应的地层岩石应力状态对比（图2的放大图）

当 1≤r≤re时，，则有：

可以看出σ'θ最大水平地应力方向上最小，而在最小水平地应力方向上最大。

将式（34）代入式（3）中，则式（3）左边部分（r=1，αB=1）为：

图4 不计渗流作用（αB=0）时的井眼坍塌区域示意图

点A和B有效周向应力和有效径向应力达到坍塌临界状态时，由式（3）得：

联立式（39）和（40）可求得b1，则无因次出砂量V2为：

地应力非均匀性和考虑加速效应渗流的双重作用时，坍塌区域边界为一个复杂的形状。无因次出砂量V3为：

图5 不计渗流作用时井壁围岩达到临界坍塌状态时最大水平主应力方向和最小水平主应力方向的应力状态

当 m=0.041，A=2.2，B=0.2，re=2 000，φ=2π/9，C=0.227 8，αB=0，λ=0.5，ξ=100 时，由地应力非均匀性和井底压力共同作用的地层岩石应力状态（见图5），可以看出井壁围岩达到临界坍塌条件时，最小水平主应力方向对应的临界坍塌半径rc=1.061 7，坍塌区域（见图6），最小水平主应力方向上坍塌半径最大，最大水平方向没有坍塌。由式（41）得到无因次出砂量V2为0.193 8。

图5 不计渗流作用时井壁围岩达到临界坍塌状态时最大水平主应力方向和最小水平主应力方向的应力状态

当 m=0.041，A=2.2，B=0.2，re=2 000，φ=π/3，C=0.087 5，αB=1，η=0.5，λ=0.5，ξ=100 时，由地应力非均匀性和考虑加速效应渗流的共同作用地层岩石应力状态（见图7），可以看出井壁围岩达到临界坍塌条件时最大水平主应力方向对应的临界坍塌半径rc1大于最小水平主应力方向对应的临界坍塌半径rc2，坍塌区域（见图8），与图6不同此时最大水平主应力方向上存在坍塌并且最大。由式（42）得到无因次出砂量V3为4.981 4。当m=0.041，A=3.2，B=0.4，re=2 000，φ=π/6，C=0.246 2，αB=1，η=0.5，λ=0.5，ξ=100 时，坍塌区域（见图 9），由式（42）得到无因次出砂量V3为5.326 2。可见地应力非均匀性和考虑加速效应渗流的双重作用下的井眼坍塌区域不一定在最小水平主应力方向上坍塌最大。

图6 不计渗流作用时井壁达到临界坍塌状态时的井眼坍塌区域

图7 地应力非均匀性和考虑加速效应渗流的双重作用下，最大水平主应力方向和最小水平主应力方向的应力状态

5 结论

本文分析了油藏和气藏在渗流作用下井壁围岩应力状态以及出砂量的计算，重点分析对比了气藏在不同渗流模型下的出砂量，得到以下结论：

（1）均匀地应力场油藏径向渗流作用下，直井有效周向应力的导数为负值并且有效周向应力的导数与有效径向应力的导数依旧为负值；井壁坍塌最先出现在井壁，并且当井壁围岩应力达到坍塌临界状态时，近井区域坍塌停止，不再发展。

图8 地应力非均匀性和考虑加速效应渗流的双重作用下的井眼坍塌区域

（2）均匀地应力场气藏径向渗流作用下，当井壁围岩应力达到坍塌临界状态时，坍塌有可能在近井区域继续发展，而且考虑加速效应渗流模型的坍塌更易在近井区域发展，并给出了坍塌能够在近井区域继续发展的条件。

（3）任何θ方向上，井壁围岩发生剪切破坏时即使考虑地应力非均匀性，考虑加速效应渗流模型所需的质量流量依然都小于Darcy渗流模型和Darcy-Forchheimer渗流模型对应的质量流量。

（4）非均匀地应力场中即使考虑渗流作用并且无论哪种渗流模型，井壁围岩都最先在最小水平主应力方向上发生坍塌。

（5）非均匀地应力场中考虑渗流作用的近井区域可能在最大水平主应力方向上发生坍塌并且有可能最大。