一个全平面非齐次核的Hilbert积分不等式

杨必成, 王爱珍

(广东第二师范学院 数学系, 广州 510303)

0 引 言

则

(1)

目前， 关于Hilbert积分不等式的研究已有很多成果[2-21]. 若

则有如下一般的非齐次核积分不等式[2]:

(2)

(3)

(4)

本文在文献[14]的基础上, 通过引入独立参量及中间变量, 应用权函数及实分析技巧, 建立如下一个具有最佳常数因子的非齐次核的全平面Hilbert积分不等式:

并讨论其更一般的等价形式及特殊形式.

1 权函数的定义及初始不等式的建立

定义1设-1<α,β<1, 0<σ<λ. 定义权函数如下:

(6)

(7)

由定义1， 有

固定y(≠0), 对式(8)第一个积分做变换

u=(1-α)(|y|+βy)x,

则有

对式(8)第二个积分做变换

u=(1+α)(|y|+βy)x,

则有

由式(6)及上述结果, 可得

(9)

同理可得

(10)

(11)

则有不等式:

证明: 配方并由带权的Hölder不等式[22]及式(6), 当y≠0时, 有

式(13)中“≤”必取严格不等号. 若不然, 则有不全为0的常数A,B[22], 使得

若A=0, 则B=0, 与A,B不全为0的条件不符. 下设A≠0, 即有

(14)

矛盾. 由式(9)及交换积分次序的Fubini定理[23], 有

再由式(10),(11), 有式(12). 证毕.

2 具有最佳常数因子的等价不等式

则有与式(12)等价的不等式:

这里, 式(16)与式(12)的常数因子K(σ)都是最佳值.

特别当α=β=0时, 有具有最佳常数因子2B(σ,λ-σ)的式(5)及等价不等式:

(17)

证明: 配方并由Hölder不等式, 有

再由式(12), 有式(16). 反之, 设式(16)成立, 定义如下函数：

(19)

则由式(15)、式(10)及条件知J<∞. 若J=0, 则式(12)自然成立; 若J>0, 则由式(16)有

故得式(12), 且其与式(16)等价.

则计算可得

代入上述计算结果有

令n→∞, 可得

故k=K(σ)必为式(16)的最佳值, 从而式(12)的常数因子K(σ)必为最佳值, 否则, 由式(18)必导出式(16)的常数因子不为最佳值的矛盾. 证毕.

注1当f(-x)=f(x), g(-y)=g(y)(x,y∈(0,∞))时, 式(5)变为如下具有最佳常数因子的非齐次核Hilbert积分不等式:

(20)