基于抛物线形温度场的冻结壁粘弹性分析

王 彬，荣传新，施 鑫

(安徽理工大学土木建筑学院，安徽 淮南 232001)

人工地层冻结法施工已经在煤矿凿井中得到了广泛的运用，随着冻结深度的增加，冻结壁的稳定性问题已经成为当前冻结壁研究的关键性问题之一[1-3]。冻结壁作为一种临时支护结构，具有典型的流变特性[4]61，特别是在其内部土体卸载之后，井壁完成施工之前，冻结壁的承载力与井帮的位移会发生一定的变化[5]，对该变化过程进行研究有很大的工程意义。

目前在被冻土体以及冻结壁的流变特性的研究领域，涌现出了大量的研究成果。文献[6]分析了冻土的三轴蠕变规律以及温度和围压对冻土蠕变强度的影响，并给出了蠕变以及蠕变的方程式；文献[7]对我国冻结粘土的大量的实验数据进行了分析，建立了相应的人工冻结粘土蠕变的数学模型，并分析给出了典型的蠕变参数，为后续的研究工作提供了参考；文献[4]62将冻结壁视为均质材料，采用维亚洛夫经验本构方程来描述两淮地区的冻土蠕变规律，结合粘弹塑性理论推导了粘弹区和粘塑区冻结壁的扩展规律，为冻结壁的设计提供了参考；文献[8]70考虑冻结壁内部土体的开挖卸载作用以及冻结壁的蠕变变形，得出了冻结壁的粘弹塑性计算模型，并推导了对应的应力与位移的解析解；文献[9]399考虑冻结壁温度场的非均匀性，将中圈管温度与其他圈管温度相同的冻结温度场等效为梯形分布，考虑冻结壁的粘弹性，推导了该种非均质冻结壁的应力场与位移场的求解公式，并将计算结果与均质冻结壁的计算结果进行了比较，发现传统的均质冻结壁的设计理论安全度不够。

冻结壁的温度场可以通过典型部位的温度场代替[10-12]，因此可以将非均质冻结壁的温度场等效为抛物线分布[13-16]，这样就可以通过一段二次曲线实现对整个冻结温度场的描述，大大降低了非均质冻结壁粘弹性分析的难度，本文将基于该类型冻结温度场对非均质冻结壁进行粘弹性分析。

1 温度场模型与力学模型

1.1 温度场模型

将冻结壁温度场等效为抛物线分布，即

T(r)=m1r2+m2r+m3

(1)

参数mi(i=1、2、3)可以根据温度场的分布规律计算得到。温度场的分布如图1所示。

图1 温度场的分布示意图

其中，纵坐标T表示冻结壁温度，横坐标r表示冻结壁的位置；T0为冻结壁结冰的温度，Tn为开挖卸载之后冻结壁井帮的温度，Tk为冻结壁的最低温度；r0为冻结壁内壁所在位置，r1为冻结壁外壁所在位置，rk为冻结壁最低温度位置。

1.2 力学模型

考虑冻结壁的开挖卸载作用以及与围岩之间的相互作用，其力学模型如图2所示。

图2 力学模型

其中，r0为冻结壁的内径，r1为冻结壁的外径，r2→∞为围岩的半径；peq为作用在围岩上的等效应力，p1为作用在冻结壁外缘上的应力；pa为作用在冻结壁内缘上的应力，考虑卸载作用时pa=0。

2 应力场以及位移场的求解

2.1 围岩的弹性分析

卸载状态下作用在无穷远处等效应力[17-18]508，7为

(2)

将外围土体视为均质材料，其力学模型为内外壁受压的厚壁圆筒，其应力与位移的计算公式分别为[17-18]509，7

(3)

(4)

将(2)带入(4)得到

(5)

式中：p0为水平地压的计算值。

2.2 冻结壁的粘弹性分析

在冻结壁的粘弹性区，考虑冻土的蠕变，采用厚壁圆筒[19]蠕变力学理论来进行分析。

对于复杂应力状态下冻土的蠕变可以采用统一的流态方程来描述[8]69

(6)

式中：A(T)、B、C为蠕变参数；T为温度。

所以

(7)

用应变速率来表示，则有

(8)

采用Mises型增量理论，假设被冻土体体积不可压缩则有

(9)

得出在平面应变问题中[9]398

(10)

将非均质冻结壁的温度场视为二次曲线变化，所以有

(11)

应力平衡方程为

(12)

令

则有

(13)

该式无法直接进行积分，可以用Matlab数值计算软件进行计算。

根据积分的计算法则可以得到下式

(14)

由冻结壁内缘的应力边界条件

σr|r=r0=-Pa

得到

(15)

根据冻结壁外缘的应力边界条件

σr|r=r1=-P1

联立公式(15)求得

(16)

所以有

(17)

联立公式(17)与公式(11)可以得到

(18)

根据公式(10)与公式(16)可以得到冻结壁的位移为

(19)

3 工程算例分析

得到温度场函数为

T(r)=1.53r2-23.85r+62.92

水平地压由重液公式进行计算

p0=0.013h=6.50MPa

通过计算得到在开挖卸载的24h内冻结壁的外载随时间的变化如图3所示。由图3可以看出，两种冻结壁的外载都随着空帮时间的增加而减小，从卸载开始到内层井壁完成施工的24小时内均质冻结壁的外载减小了0.48%，非均质冻结壁的外载减小了0.52%，这表明开挖卸载以后冻结壁承受的外载比较稳定，非均质冻结壁外载的计算结果的稳定性略低于均质冻结壁；对应相同的时刻均质冻结壁承受的外载的计算值大于非均质冻结壁，当冻结壁卸载24h时，非均质冻结壁的外载为6.45MPa，对应的均质冻结壁的外载为6.44MPa，此时两种冻结壁的应力分布如图4所示。

图3 冻结壁的外载随时间的变化

图4 卸载24h时冻结壁的应力分布

从图4中可以看出，两种冻结壁的径向应力分布大致相同；均质冻结壁的环向应力的最大值出现在冻结壁的内缘，非均质冻结壁环向应力的分布呈现类似抛物线形分布，环向应力的最大值出现在冻结壁的中部。

冻结壁井帮位移与时间的关系如图5所示，从图中可以看出，冻结壁井帮的位移在卸载之后迅速达到一个较大值，随后位移又随着空帮时间的增加而不断增大，对应相同时刻非均质冻结壁的位移大于均质冻结壁的位移，当t=24h时，均质冻结壁的位移为59.87mm，非均质冻结壁井帮位移为64.34mm，非均质冻结壁的最终位移比均质冻结壁的最终位移大7.47%，由此可以得出没有考虑冻结壁的非均匀性的位移与冻结壁实际位移之间存在较大的差异。

图5 冻结壁井帮位移与时间的关系

图6 卸载初期与末期冻结壁的位移

分别将开挖卸载1h时的冻结壁的位移与开挖卸载24h时的位移绘制在图6中，由图6可以看出，开挖卸载1h后，非均质冻结壁与均质冻结壁的径向位移分别达到了最终位移的39.0%与38.8%，随后冻结壁的位移随着时间的推移而逐渐增大，由图6可以看出，冻结壁的位移与距离呈反比关系，对应同一时刻，非均质冻结壁的位移要大于均质冻结壁，并且两者之间的差值随着时间的推移而逐渐变大。

4 结论

(1)通过考虑冻结壁的开挖卸载作用，以及与周围未冻土体的相互作用，可以比较真实的反应冻结壁在井壁未完成施工的一段时间中的受力情况，通过计算可以发现，考虑卸载作用之后，冻结壁承受的荷载要小于水平地压，并且该荷载会随着时间推移而逐渐减小。

(2)在空帮的24h中，冻结壁的位移会随着时间的推移而逐渐增加；对应相同的时刻，冻结壁的位移与距离呈反比关系。

(3)通过比较非均质冻结壁与均质冻结壁的位移与承载力的计算结果可以发现，对应相同的时刻，非均质冻结壁的位移要大于均质冻结壁，而承载力要小于均质冻结壁，这表明传统的均质冻结壁的设计理论存在一定的风险。