基于改进优化准则法的自由阻尼结构动力学拓扑优化

贺红林　夏自强　袁维东

南昌航空大学航空制造工程学院，南昌，330063

0　引言

现代机械正朝着高速化、柔性化、轻量化方向发展，伴随而来的是其振动问题日趋严重，由于振动而导致结构疲劳破坏，轻者会影响机械性能和寿命，重者会造成重大的安全危害[1]。为此，有效地控制结构振动，对航空航天、军事国防、机械工程、装备制造以及人们的日常生活，具有十分重要的意义。高阻尼特性的黏弹性材料，可以在较大的频带范围内，很好地降低结构的振动与噪声，故而常被用于对质量有严格限制且常发生振动的结构充作减振材料[2]。在结构表面全域性敷设黏弹性阻尼材料虽能达到减振效果，却也会增加结构质量，从而有悖于结构轻量化设计理念，且实践证明并非敷设阻尼材料越多减振效果就越佳；因此，如何在保证减振效果的同时，提高阻尼材料的利用率成为当前研究重点[3]。在结构拓扑优化发展中，优化准则法已经被广泛应用于结构设计中[4-7]。郭中泽等[8]以结构模态损耗因子为目标函数，研究了给定阻尼材料体积下的最优化布局；张志飞等[9]基于优化准则法对自由阻尼结构进行材料布局优化，并通过实验证实了其有效性；王明旭等[10]利用单元拓扑变量以结构模态阻尼比为目标函数，得出变密度法能更好地处理约束阻尼结构构型的结论；杨德庆等[11]提出的阻尼拓扑敏度和阻尼胞单元可以很好地对阻尼结构进行材料优化分配；贺红林等[12]基于双向渐进法对阻尼材料进行优化配置，在有效提高减振效果的同时改善了结构棋盘格现象；李攀等[13]基于SIMP（solid isotropic material with penalization）法插值，研究了约束阻尼结构的拓扑优化，并获得了良好的减振效果；基于模态应变能法，JOHNSON等[14]提出了将阻尼结构复特征解简化为实特征解损耗因子的计算方法；郑玲等[15]将灵敏度项均采用大于零的数，用于约束阻尼结构，取得了很好的减振效果。

优化准则法用于结构静力学时总能确保设计变量恒为正数，因此在静力学优化中得到了广泛应用[16-17]，但当把它用于结构动力学优化时，若目标函数呈现非凸性，则优化过程会产生拓扑设计变量为负值的不合理情况。目前，在拓扑动力学优化中为保证迭代格更新时的设计变量恒为正值，较多的处理方式是提取目标函数负的灵敏度值并将灵敏度正值变为零，这种只选取其中部分变量参与优化迭代的方式将导致拓扑变量值跳跃和不连续，最终的迭代结果将不收敛或局部收敛[18]。为避免此情况发生，本文基于泰勒级数展开的思想对优化准则法进行改进，以确保目标函数具有严格凸性，并提出了范数灵敏度概念。

1　模态应变能法求解

拓扑优化迭代过程中涉及很多复杂动力学计算，十分耗时。考虑到基于模态应变能的损耗因子计算法，虚部的影响相对于实部的影响可忽略不计，并且在计算时可以避免复特征值的影响；因此，基于模态应变能法求解结构模态损耗因子[19]可以有效提高结构优化效率。鉴于黏弹性阻尼板主要以弹性为主，因此可忽略其振动时的能量损失。根据Hamilton原理，建立自由阻尼振动特征方程如下：

式中，K为刚度矩阵；M为质量矩阵；ω为固有频率；φ为振型。

通过式（1）可求得其模态频率ωr及振型φ（rr为模态的阶数）。

自由阻尼板的基层与阻尼层模态应变能可写成

式中，φr为结构第r阶模态向量；v、b分别为阻尼层、基层的标识符；Kv、Kb分别为阻尼层和基层的刚度矩阵。

在自由阻尼减振结构中，基层一般采用金属材料制作，该层的材料损耗因子比黏弹阻尼层的损耗因子要低一、二个数量级，故可忽略。根据模态应变能法，自由阻尼结构第r阶模态损耗因子的计算式为

式中，ηv为阻尼层材料损耗因子；K为整个结构层的总刚度矩阵；(Eb)r、(Ev)r分别为基层、阻尼层的第r阶模态应变能。

2　模型构建及灵敏度计算

22..11　动力学优化数学模型

对结构进行分析时，把复杂的物理问题转化为数学模型可以更好地进行处理，同时，为使优化结果合理、高效，阻尼结构减振优化也需明确的优化目标指明迭代方向。自由阻尼结构主要通过阻尼层的拉伸、压缩变形来消耗结构能量，以实现减振的目的。为尽量高效地减少结构振动，既可选取结构振动响应幅值作为优化目标，也可选取模态损耗因子、结构动挠度等作为衡量结构性能的参数。由于模态损耗因子可以表征一定情况下的材料总体耗能效果，其值越大，阻尼结构耗能越多，故可以以模态损耗因子为优化目标，并通过优化黏弹性材料的形貌布局来实现结构特定阶次模态的损耗因子最大化。优化准则法多以目标函数最小化作为优化目标，为便于实现结构拓扑设计变量迭代更新，本文以模态损耗因子倒数值作为优化模型的目标函数。在自由阻尼结构优化设计中，通常在结构全域都敷设阻尼材料，然而过多地增大结构质量不符合轻量化原则，因此，在考虑减振效果的同时，要严格控制材料用量。同时，为保证结构预期功能，还要求在敷设阻尼层后，不能造成结构的频率、模态、振型等动态特性参数发生太大改变。综上因素，建立自由阻尼结构拓扑优化的数学模型如下：

式中，xi为相对密度值；n为阻尼结构单元数；ξ为优化目标；δr为加权系数，δr＞0；m为所需优化的减振模态数；vi为黏弹阻尼层第i个单元的体积；V0、V分别为阻尼层优化前后的体积；λ为体积比；、ωr分别为结构优化迭代前后的第r阶模态频率；w为归一化频率的上下限；ωˉr为第r阶归一化频率；xmax为最大密度，取值为1，为防止优化迭代中产生奇异刚度阵，xmin取0.001。

在实际工作中，结构的工作频段通常包括前几阶频率，而各阶频率对结构破坏的影响程度不一样，通常将对振动位移响应最大的模态称为主模态。拓扑优化减振的主要目的就是降低主模态的响应，控制次要模态的影响，因此，在考虑多模态复合优化的同时，通过不同的加权系数δr来控制各阶模态的减振效果，系数δr的取值主要根据各阶模态在响应中占有的权重来分配。

22..22　灵敏度计算

在结构拓扑动力学优化过程中，目标函数关于拓扑设计变量的灵敏度成为优化迭代的主要依据。而灵敏度通常定义为目标函数对设计变量的数学梯度。通过灵敏度计算，可知悉结构动力学性能对于结构设计参数的敏感程度，使目标函数向最优方向迭代。目标函数对于拓扑设计变量的灵敏度为

可见，要求解灵敏度，须先求取∂μr/∂xi的值，再对其进行加权求和即可。

将式（2）的两边分别对拓扑变量xi求导，有

根据结构动力学有限元理论，可知自由阻尼结构模态满足如下关系：

将式（7）等式的两边同时对xi求导，并经整理可得

将式（3）、式（6）和式（8）进行联立求解，可得

利用优化准则法求取阻尼层最佳形貌时，须先设定黏弹阻尼层单元物理参数与设计变量之间存在映射关系。由于阻尼结构减振时基层材料不改变，因此视基层单元特性恒定，而阻尼层采用SIMP插值模型，即令

式中，E0、ρ0分别为黏弹阻尼材料初始弹性模量和初始密度；p、q为相应惩罚因子；Ei、ρi分别为插值后对应单元i的弹性模量和密度。

将式（10）依次代入阻尼层相应单元的刚度矩阵和质量矩阵，并分别令其对设计变量进行求导，整理可得

式中，Sir、Kir分别为第r阶模态下阻尼层结构单元i的模态应变能和模态动能。

3　改进优化准则法求解算法

当解决静力学问题时，采用优化准则法能确保拓扑优化解的全局最优性，但将该方法直接应用于动力学拓扑优化时，若目标函数不具备严格凸性，则迭代过程中求解的目标函数灵敏度不一定全部为正值，而是会出现正负灵敏度值共存的情况；若直接套用常规优化准则法来进行拓扑动力学优化，则优化过程会产生负的设计变量，将导致迭代过程无法进行。结构动力学拓扑优化过程中，常规优化准则法通过将正的灵敏度对应设计变量置零，保留负的灵敏度值，而这种操作将导致部分单元无法参与优化，从而导致目标函数的优化结果可能是局部最优。因此，本文针对自由阻尼结构的常规优化准则法进行改进。

3.1　基于数学规划函数的改进

在求解目标函数时，确保其严格凸性是优化目标有最优解的先决条件。对于数学规划函数中的序列凸规划，可通过对目标函数和约束条件进行泰勒展开式的改进处理，以赋予非凸目标函数严格的数学凸性。根据式（4）构造拉格朗日函数如下：

式中，Λ、βi、γi均为拉格朗日乘子。

当xi取极值时，必满足K-T条件，即有

构造相似性函数，引入参数c，令ξ=ξ∗+cV，Λ=Λ∗-c（ξ∗、Λ∗为ξ、Λ的相似函数），并将它们代入式（13），得

令yi=(1/xi)ε，ε为相应影响参数。根据泰勒展开思想构造函数，并使自变量yi逼近ξ∗，可令

式中，ξ0为一常数。

式（15）两端对yi求导，有

显然，当αi≥0时，近似函数ξ∗具有严格凸性。将式（15）对xi求导，可得

将式（17）化简并整理后，有

式（18）满足函数严格凸性的条件为

3.2　改进优化准则法设计变量更新

令zi= ∂V ∂xi，并将其代入式（12），这样便将拉格朗日优化函数改写成：

式中，Ω、-Ω、+Ω分别为设计变量的中间值、最小值及最大值集合。

式（19）的解可基于式（13）、式（14）并通过下式所示数学问题求得：

式中，k为迭代次数。

式中，t为设计变量移动极限值，0＜t＜1。

实现自由阻尼结构的动力学拓扑优化，实质上是在给定的约束范围内，通过持续的迭代过程寻求最佳的黏弹阻尼材料布局。若在迭代过程中设计变量改变值过大，将导致结构固有振型大范围改变。引入振动控制因子，可避免阻尼结构模型发生振型跃阶，即要求

式中，MAC（·）为模态置信函数；γ为系数，取0.9。

迭代实施过程中，优化程序对MAC（模态置信度）值动态跟踪，当振型发生较大跳跃时，对迭代方向适当调整，使MAC值接近1，保证优化中振型的稳定。

3.3　改进优化准则法实现流程

运用ANSYS及APDL编程语言，编制自由阻尼结构拓扑优化程序，实现式（23）的改进优化准则法拓扑优化。图1所示为该程序的优化流程。

4　算例分析

4.1　有限元模型求解精度验证

自由阻尼结构中影响其减振性能优劣的两个主要因素为：①所建立阻尼结构有限元模型精度和求解精度；②拓扑优化算法性能的优劣。显然，若有限元模型精度不高，则基于该模型的动力学优化不可能获取理想的优化结果。因此，在检验优化算法性能之前，应先确保阻尼结构有限元模型的可靠性。本文引入两个算例对所建立有限元模型进行验证：①将阻尼结构求解模型的有限元数值解和解析解进行比较；②将阻尼结构求解模型的有限元数值解和实验解进行比较。

算例一某矩形阻尼板尺寸为348 mm×304.8 mm，阻尼层材料剪切模量为2.670 08 MPa，密度为999 kg/m3，泊松比为0.49，材料损耗因子为0.5，厚度为0.254 mm。基层和约束层为同一种材料，物理参数分别为：弹性模量68.9 GPa，密度2 737 kg/m3，泊松比0.3，厚度均为0.762 mm。阻尼板约束条件为四边简支固定。运用ANSYS对该阻尼板进行分析，提取固有频率及模态损耗因子等动力学参数。表1所示为阻尼板有限元模型求解结果与解析解的对比，可以看出，固有频率相比文献[14,20]解整体偏大，最大误差为6.3%，模态损耗因子的最大误差为第一阶模态的误差，误差值为14.7%，二者结果较接近。

图1　改进优化准则法实现流程图Fig.1　The implementation process of improving optimization criterion

表1　文献解析解与有限元仿真结果对比Tab.1　The contrast of analytical solution and finite element solution

算例二某矩形阻尼板的尺寸为800 mm×600 mm，阻尼层材料弹性模量为4.77 MPa，密度为1 100 kg/m3，泊松比为0.49，材料损耗因子为0.5，厚度为4.25 mm。基层和约束层为同一材料，其弹性模量为68.5 GPa，密度为2 737 kg/m3，泊松比为0.34，厚度均为3.14 mm。阻尼板有限元网格划分数为24×24，基层采用四边简支约束。表2所示为阻尼板有限元模型求解结果与实验结果对比。相比实验值，通过有限元求解的固有频率最大误差为10%，模态损耗因子最大误差为4.6%，两者计算结果较吻合。以上两个算例验证了本文有限元动力学建模及其求解方法的有效性。

表2　实验结果与有限元仿真结果对比Tab.2　Comparisons between experiment and finite element solution

4.2　改进优化准则法性能分析

选定矩形自由阻尼板为改进优化准则法优化对象，该板长700 mm，宽400 mm，基层厚1.5 mm，阻尼层厚1 mm。基层用壳单元shell 181划分网格，其弹性模量为43.2 GPa，泊松比为0.33，密度为1 810kg/m3；阻尼层选用八节点六面体单元soild185网格化，材料弹性模量为3.05 GPa，密度为1 550 kg/m3，泊松比为0.495，材料损耗因子为0.75。图2给出了该板的有限元模型及其前三阶模态应变场。该板的左端基层处定义固支约束，频率约束归一化条件上下值分别为ωˉlowr=0.9，ωˉupperr=1,体积约束条件λ为60%。

图3～图5分别给出了采用改进准则法针对单一模态进行动力学优化的结果。在图3的1阶模态优化过程中，随着拓扑构型的迭代，相对密度取中间值的阻尼单元数逐渐减少，在5次迭代之后，相对密度为中间值的阻尼单元数几乎为零。从图3中还可以看出，随着迭代的进行，阻尼板左侧的相对密度为1的单元数量及处于阻尼板右侧的相对密度近乎为0的单元数量均不断增多，并最终趋于稳定。图4所示为2阶模态优化过程，从图4中可见，在第3次迭代时，优化目标函数迭代出一个较大峰值，这主要是由于阻尼板左侧中部位置未贴阻尼材料的区域过大，致使二阶扭振的减振效果变弱。但随着迭代的进行，阻尼板左边中部密度为1的单元数逐渐增加，当迭代到第5步时，目标函数逐渐趋于稳定。在最终迭代收敛时，相对密度为中间值的单元基本不存在。图5是针对3阶模态优化的迭代过程，通过改进优化准则法消除了中间密度值的存在，使得应变趋于最小或最大，阻尼材料敷设于应变最大位置，利用率较低的区域则不做处理。可见，在前几步优化迭代中，目标函数明显跌宕，从拓扑构型图中易知，这是因在3阶模态较大应变处挖去阻尼材料所致。但随着迭代的推进，当进入第10步之后，目标函数值开始趋于稳定。

改进优化准则法带来的优势在于大大提高了单元密度的聚集度，使单元密度趋于0/1，抑制了中间密度的产生，减少了中间相对密度值单元数量。可见，改进优化准则法可解决单元中大量中间密度值问题，有效避免优化结果的二义性，体现出拓扑优化中对阻尼材料进行合理挖空和敷设的算法优势。此外，改进优化准则法经较少的迭代即可寻得阻尼板最优构型，求解效率更高。

图2　自由阻尼板单元模型和前3阶模态应变能Fig.2　Element model and the first three order modal strain energy of free damping plate

图3　1阶目标函数和拓扑构型迭代过程Fig.3　Iterative of first-order objective function and topology shape

图4　2阶目标函数和拓扑构型迭代过程Fig.4　Iterative of quadratic objective function and topology shape

图5　3阶目标函数和拓扑构型迭代过程Fig.5　Iterative of third-order objective function and topology shape

从前3阶模态优化迭代图中还可看出，阻尼材料相对密度较大的单元，主要分布在阻尼板上对应模态应变能大的区域，相反，相对密度小的阻尼单元则分布在对应模态应变能较小区域。呈现这种结构布局，主要是阻尼板中相对模态应变能小的位置，阻尼材料单元变形较小，能量消耗较弱。这意味着，在控制材料用量的前提下，若要提高阻尼材料减振效果，应优先敷设阻尼材料对应应变能较大位置，删除较小应变单元。可见，改进优化准则法的材料敷设位置与图2做定性分析时一致。

图6给出了针对前3阶模态分别进行单一模态优化时，相应优化模态的固有频率随迭代变化曲线。各阶模态的固有频率经过少数几步跌宕后，均逐渐趋于稳定，且频率值均有一定增大，只是增大幅度较小，不超过2 Hz，满足频率约束条件。图7给出了前3阶模态做单一模态优化时，所优化模态的模态损耗因子变化情况。由图7可知，随着迭代次数增加，结构模态损耗因子呈现了先降后增并最终趋于收敛的变化趋势。

图6　单阶模态固有频率迭代过程Fig.6　Iterative of the single order modal natural frequency

图7　单阶模态损耗因子的迭代过程Fig.7　Iterative of single order modal loss factor

一般认为，对于自由阻尼结构，更多地铺设阻尼材料会更有效地减振，但在对质量有严格限制的结构设计中，如何在使用尽可能少的减振材料的前提下，使结构达到同等减振效果同样也非常重要。由表3所列结果可以看出，当针对1阶模态优化时，结构的阻尼材料体积减少到原阻尼材料用量的60%时，各阶模态损耗因子的变化幅度相对材料的减少均呈增长趋势。其中，优化后1阶模态损耗因子下减小比例仅为6.07%，这对阻尼减振而言意义鲜明，由于机械在运行过程中须先通过1阶频率，进而对结构产生激励作用，因此1阶模态的振动响应比重最大，所以有效地抑制1阶振动可最大程度地提高阻尼材料减振效果。

表3　优化前后模态损耗因子对比Tab.3　Modal loss factor comparison before and after optimization

图8为1阶模态优化前后谐响应特性曲线。采用改进优化准则法针对第1阶模态进行优化时，其1阶模态谐响应幅值基本不变，但阻尼材料用量减少为原阻尼材料用量的60%。图8还显示，基于改进优化准则法优化前后1阶频率变化较小，同时也不会发生峰值振荡。可见，改进算法在保证黏弹性材料用量较少的情况下，可以维持结构整体模态频率、损耗因子基本不变，使结构获得较好的综合减振效果。

图8　1阶模态优化后谐响应特性Fig.8　Harmonic response of the first order modal optimization

图9　多阶目标函数和拓扑构型迭代过程Fig.9　Iterative of order objective function and topology shape

图10　多模态固有频率迭代过程Fig.10　Iterative process of the multi-modes natural frequency

图9～图11分别为前3阶多模态复合优化减振时目标函数、固有频率和模态损耗因子随迭代次数变化曲线。主要考虑前3阶模态损耗因子的加权作用，以求模态损耗因子最大值的优化目标，因此δ1=δ2=δ3=1/3。与单一模态优化相比，多模态复合优化时，各阶模态参数变化均较缓慢，当迭代次数为15时，各参数值逐渐趋于稳定，固有频率整体上升幅度减小，各阶模态损耗因子依然减小，但减小程度均有所减缓。即多模态复合优化在不改变结构固有特性前提下，更好地对各阶模态进行优化减振处理，对减振设计更具指导意义。

图11　多模态损耗因子迭代过程Fig.11　Iterative process of multi-modal loss factor

5　结论

（1）基于泰勒级数对拓扑优化准则法做了改进，从理论上进行了数学公式的推导，提出了∞范数灵敏度的概念，改进优化准则法解决了设计变量出现非正及迭代发散等问题，保证了优化结果的全局最优性。

（2）基于改进优化准则法对自由阻尼结构进行动力学优化，在阻尼材料体积为优化前结构材料体积60%的情况下得到了合理拓扑构型，并使自由阻尼结构获得了有效的减振效果。

（3）改进优化准则法中间区域密度值相对越少，单元收敛度越高，迭代稳定性越好，优化结果具有全局最优性，优化效率高。