同心式永磁齿轮启动特性建模与分析

葛研军　袁　直　赵　鹏　周凯凯　方　飞

大连交通大学机械工程学院，大连，116028

0　引言

永磁齿轮具有非接触、无摩擦、低噪声、低振动及高可靠性等特点，是目前国内外研究的热点。同心式永磁齿轮（concentric permanent magnetic gear，CPMG）是一种新型高效的永磁齿轮［1］，永磁体利用率高、转矩密度大，被广泛应用于特种车辆、舰船推进器、航空发动机、风能和潮汐能发电机等［2］。

CPMG主要由外磁圈、内磁圈及调磁环组成。其中，磁极数较少的为高速永磁圈，磁极数较多的为低速永磁圈；调磁环由导磁和非导磁性材料交替组成。调磁环的引入使内外磁圈形成了两层气隙，并可将内外磁圈永磁体产生的磁场谐波调配一致，实现从动转子按一定传动比进行动力传递。

CPMG运动时，由于气隙磁场模型是在时间维度上进行的三维非线性数理模型求解，因此理论分析较为困难。文献［3-4］采用分离变量法和麦克斯韦应力张量法对CPMG的静态磁场及转矩进行了理论分析。文献［5-7］采用有限元方法研究了CPMG结构参数对气隙磁场及转矩特性的影响。文献［8-9］根据电机齿槽转矩原理分析了CPMG的转矩特性。

上述文献均仅对CPMG的最大静态转矩及静态磁场特性进行了研究，而忽略了CPMG实际运行尤其是启动时的工作特性。

本文基于转子动力学原理及动量矩定理，对CPMG的启动过程进行数理建模，研究了主动转子经调制后产生的旋转磁场与从动转子同步转速的运行机理，分析了CPMG传动比、启动角以及从动转子输出转速对其启动特性的影响，并通过电磁仿真软件对上述特性进行了逐一分析验证。

1　 CPMG启动特性

CPMG的机械结构见图1，其中，ni为低速转子的转速，Ii为其转动惯量，no为高速转子瞬时转速，Io为其转动惯量。CPMG的外磁圈、内磁圈及调磁环均可作为转子或定子使用。当调磁环固定时，CPMG将形成内外转子反向旋转的负号机构；当外转子固定时，则形成调磁环与内转子同向旋转的正号机构。

图1　 CPMG机械结构Fig.1　CPMG mechanical structure

本文主要分析CPMG负号机构的动态性能，即将图1中的低速永磁圈设为主动转子（与原动机相连），高速永磁圈设为从动转子（与工作机相连），调磁环则为定子。正号机构及减速时的分析方法与此相同。

1.1　从动转子启动点特性分析

CPMG旋转时转子间通过气隙产生磁转矩。由文献［10］的数理计算及文献［11］的测试结果可知：从动转子瞬时输出转矩To与其偏离平衡位置（即主动转子与从动转子间磁力矩为零时的位置）的角度差α满足如下关系：

式中，No为从动转子磁极对数；Tm为峰值转矩。

To与α的关系曲线见图2。图2中，T1为负载转矩，点B、点E、点H表示此时机构输出转矩等于负载转矩，所对应的角度差α分别为αB、αE、αH；T2为同步转矩，在一个周期曲线内所对应的点为D与K，其角度差为αD与αK，Tm对应的角度差为αC。由于点C、D、K均在图2所示的BE区间内，因此点D、K也可与点C重合。

图2　To与α关系曲线Fig.2　Toandαrelation curve

由图2可知：

（1）当主动转子自点A开始顺时针旋转时，从动转子在[0,αB)内所输出转矩为正，但始终小于负载转矩T1，因此从动转子将会反转；当α增大到[αB,αE]时，To≥ T1，此时从动转子的反转速度开始递减，并向正转速方向过渡直至恢复稳定运行状态。

（2）当主动转子自点B开始顺时针旋转时，输出转矩始终大于负载转矩，即To≥T1，从动转子直接正转加速直至同步转速，此区间可正常运行至稳定状态。

（3）当主动转子自点E开始顺时针旋转时，To≤T1，因此也将产生反转现象，且随α增大反转速度加快；只有当主动转子相对于调制磁场再转过一个磁极弧度到达点H后，此时To≥T1，反转速度逐渐降低，并开始向正转方向过渡。

综上，从动转子启动点的选取对CPMG能否正常启动至关重要。由上述分析可以看出：在从动转子所受转矩与负载转矩相等且启动转矩持续增大的位置（图2中的点B）处开始启动最为理想。

1.2　从动转子启动特性曲线

图1中CPMG正常启动时的有限元仿真曲线见图3，与图2中α在区间[0,αB)内且可加速至同步磁场转速的启动过程曲线相对应。

图3所标识的各点分别与图2中一个周期内的各点相对应，即图3中的A、A1、…、An与图2中的A点相对应，B、C与A类同。

设CPMG逆时针方向为正，顺时针方向为负；主动转子的转速为ni，转动惯量为Ii，转矩为Ti，磁极对数为Ni；从动转子瞬时转速为no，转动惯量为Io，磁极对数为No；传动比为G，且 G=-Ni/No；从动转子输出转速的最终收敛值（即稳定后的转速）为nT，且nT=Gni。

由图3可看出，To及no的周期被不断拉长直至稳定在T1及nT附近上下波动。当从动转子在图2所示的AB区间段运行时，由动量矩定理知，此时no加速反转，且反转速度在图2中的αB处达到最大值。

图3　CPMG从动转子启动转矩及转速输出曲线Fig.3　Starting torque and speed output curve of CPMG slave rotor

图3中的B至B1段是向平稳运行方向的加速阶段，对应图2中的BE段，此时α逐渐加大，To也逐渐加大，且在图2点C处达到最大转矩Tm；此时从动转子继续加速至同步转速点D；此后虽然从动转子继续加速，但To开始逐步减小至点E，此时no达到最大值（图3中的点B1所对应的转速曲线值）。

由图3还可看出：随α增大，To＜T1，此时no开始减小；当从动转子到达图3所示的A1点时，no=nT，由于此时仍为To＜T1，因此no将继续减小，而α则开始进入下一个周期（B2点所对应的αB）循环，此时To=T1，从动转子也开始重复上述加速过程，直至To及no在T1与nT附近小范围内波动并达到平衡状态。

1.3　动态数理建模

当从动转子还未启动即no=0时，主动转子所产生的磁场每旋转一周，作用在从动转子上的磁转矩便交变No次，而从动转子一对磁极所对应的物理角度为2π/No。

设主动转子的旋转磁场相对于从动转子磁场的转速为n′i，作用在从动转子上转矩的交变周期为tp，则

由式（2）可得图4所示的tp变化曲线。由式（2）及图4可知，当no由0逐渐增大时，tp也将逐渐增大，分别形成图4中的曲线1到曲线n，此时作用在从动转子的正转矩时间也不断延长，因此从动转子易于启动。

图4　CPMG启动时从动转子输出转矩曲线Fig.4　The output torque curve of the driven rotor at the start of CPMG

图4中，设从动转子在t1时刻所受的负载转矩恒定，则：当t＜t1时，To＜T1，此时从动转子朝反方向加速旋转；当t=t1时，To=T1，此时系统处于临界状态，从动转子的加速度为0；当t1＜t＜-t1时，To＞ T1，此时从动转子将受到逐渐增大的冲量作用而开始向正方向加速运动；当nT较大时，tp取值也较大，CPMG较易启动，反之，则较难启动；当no→nT时，tp→∞，此时从动转子完成启动。

1.4　启动及过载保护特性

由于从动转子与耦合磁场存在相对转速差且在启动过程中不断变化，而采用有限元方法的模型求解过程中均忽略了这一因素，因此所得仿真结果仅反映CPMG启动过程中某时刻的运行状态。为能准确反映整个启动过程，可通过Simulink加入图5所示的反馈机制。

图5 CPMG动态仿真框图Fig.5　CPMG dynamic simulation block diagram

图5中，设ni=200 r/min，采样时间为600 ms，则由图5可得系统启动时的从动转子转速特性曲线，见图6。由图6可知：当0＜t＜50 ms时，主从动转子之间的相对转速差较大，从动转子所受的磁力矩变化较快，导致其转速波动较大；随着从动转子不断加速运行，最终将逐渐与主动转子调制后的旋转磁场同步运行，此时主从动转子间的相对转速差逐渐减小，并在转子转动惯量和阻尼的作用下，波动逐渐变缓并于150 ms至200 ms时趋于稳定；当200 ms＜t＜350 ms时，从动转子所带负载转矩超过CPMG的最大输出转矩，从动转子开始“丢转”，而主动转子仍以原速度旋转，此为CPMG的过载保护特性。该特性将保护传动系统中的动力源机负载系统，且当负载转矩减小至CPMG的最大输出转矩时，从动转子将重新启动，即图6所示350 ms＜t＜600 ms间的曲线。

图6　CPMG从动转子启动转速特性曲线Fig.6　Starting speed characteristic curve of CPMG driven rotor

2　 CPMG动态特性有限元分析

根据文献［12］中的CPMG结构参数（最大承载功率为5 kW），设计了3种传动比的CPMG，其结构参数见表1。设定ni=200 r/min；永磁体均为平行充磁，材料为NdFeB35，相对磁导率为1.099 7；调磁环所用材料为D23_50；3个模型中除永磁体数目不同外，其他几何尺寸及模型参数完全相同。

表1　 CPMG的结构参数Tab.1　CPMG’s structural parameters

2.1　不同传动比对启动转速及转矩的影响

根据表1参数，基于ANSYS分别建立上述3种传动比的CPMG有限元模型，并分别对其进行电磁仿真，得到从动转子由图4所示的t1时刻开始启动时的转矩与转速曲线，见图7及图8。

图7　 CPMG转矩曲线Fig.7　CPMG torque curve

由图7及图8可知，对于不同传动比的CPMG，其转矩与转速曲线波动幅值明显不同。当传动比为整数（G=6）时，转矩与转速的波动幅值较大，最大与最小输出转速约为1 850 r/min、500 r/min，两者相差1 350 r/min，约为理论输出转速1 200 r/min的112.5%；同理，当传动比为小数（G=5.5）时，其转速与转矩波动将大为减小，最大与最小输出转速约为1 200 r/min、800 r/min，两者相差400 r/min，约为理论输出转速1 200 r/min的33.3%；当传动比所含的小数位增多（G=5.75）时，其转速与转矩波动将更小，约为输出转矩峰值的10%～20%。

2.2　从动转子转速对转矩周期的影响

将no分别取值为0、300 r/min及600 r/min，并将其分别代入式（2）中，可得tp的取值结果分别为13.652 ms、19.287 ms及28.545 ms。

图8　 CPMG转速曲线Fig.8　CPMG speed curve

图9　转矩输出曲线Fig.9　Torque output curve

根据上述对传动比的分析结果，取表1中的传动比5.75，建立其CPMG有限元模型，并对从动转子的转速与转矩进行有限元仿真。从动转子不同转速下的转矩输出曲线见图9。由图9可知，随着no的不断增大，tp也在不断增长，并形成图4所示的周期变化规律，有限元仿真所得的转矩周期与式（2）计算结果基本相同，分别为图9a所示的tp=13 ms、图9b所示的tp=19 ms及图9c所示的tp=30 ms。

2.3　不同启动角对启动性能的影响

由图2的理论分析可知，CPMG在点A及点E处均不能正常启动，而点B为其启动的最佳位置。为验证上述分析的正确性，可建立G=5.75、负载恒定（Tl=50 N·m）的CPMG有限元模型，上述三点的启动特性曲线见图10。

由图10可知：CPMG在点A处无法正常启动，其原因是点A的输出转矩小于负载转矩，从动转子不能获得足够的转矩冲量，而出现反转现象，且随α增大，输出转矩始终小于负载转矩，从动转子不仅无法实现向正转过渡，反而进入负转速方向的加速阶段，如此循环便出现了图10a所示的反方向转速曲线的发散现象。由于从动转子转速发散，而主动转子的输入转速ni为定值，故从动转子与同步磁场的转速差值||n′i将不断增大，由式（2）知其转矩周期tp将不断缩短，形成图10b所示的转矩时间曲线。

图10c及图10d为点B处启动时转速及转矩的特性曲线。此时输出转矩等于负载转矩，启动开始时从动转子就进行正方向的加速运动，消除了前期反转现象，且输出转矩不断增大，加速正转直至与旋转磁场同步运行。由式（2）可知：此时从动转子转速的增大将导致转矩周期的拉长进而有利于启动。

图10e及图10f为点E启动时的转速及转矩特性曲线。此时输出转矩等于负载转矩，但随α的增大，输出转矩不断减小，进入负转矩周期，从动转子受负载及负输出转矩的双重作用，开始向负方向加速旋转，出现图10e所示的反转现象；待进入下一个正转矩周期，从动转子不仅要克服负载转矩的影响，还要克服上个周期带来的负转矩冲量，因此点E启动有可能导致CPMG始终无法进入正常启动状态。

图10　A点、B点及E点处的启动特性曲线Fig.10　Starting characteristic curves at A point，B point and E point

3　结论

（1）通过对CPMG的启动进行数理理论分析，得到从动转子输出转矩与角度差之间的关系，进而得到tp与nT之间的关系。当nT较大时，tp也较大，CPMG较易启动。

（2）含有小数的传动比能有效减小转矩及转速波动幅值；当传动比中含有0.75时，波动幅值达到最小。

（3）图2所示点A的输出转矩随α增大而增大，但在区间[0,αB)内却始终小于负载转矩，只有运行至点B时，其输出转矩才大于负载转矩，因此需经过由反转向正转的过渡过程，有时甚至无法启动。

（4）图2所示点B处可提供的输出转矩始终大于负载转矩，为最佳启动位置；而在点E启动时，其输出转矩将逐渐减小，进入负转矩周期后将导致其始终无法启动，为启动位置的最不利点。