让“数学实验”走进中学课堂——以对一道全国高中数学联赛试题的再推广为例

孙　彦

(安徽省安庆市教育教学研究室　246003)

当前，我国的数学教学改革正在向纵深发展，新的课程标准强调对学生数学核心素养的培养，倡导学习的自主性、探究性.然而，在当下的中学数学课堂教学中，为了应对高考，教师在课堂上拼命讲题，学生在课外拼命地刷题，当我们讲了一道道经典的例题时，学生常常会问：“老师，这些结论是怎么得到的？”这不得不引起我们反思，我们的课堂教学，几乎是用一种纯演绎的模式去教会学生如何证明已有的结论，却不能帮助学生去发现未知的结论.

我们知道，数学发现的过程需要借助诸如猜测、归纳之类的思维活动，在猜测、归纳的过程中，往往需要通过大量计算来完成，也正因为如此，传统的课堂教学较难组织“诸如猜测、归纳”之类的思维活动，但在现代，随着信息技术与教学内容的整合，我们可以借助计算机和各种软件，使数学探究也可与自然科学一样，通过“数学实验”让学生去“发现”一个个结论，然后再去证明结论.这样就可以变“被动接受知识”为“主动获取知识”.因此，让“数学实验”走进中学课堂十分必要.

本文利用《几何画板》数学软件，以“数学实验”的手段， 通过对一道全国高中数学联赛试题的实验性探究，让学生去发现问题的本质和更多的结论.

1　问题的提出

在一次高中数学竞赛专题辅导中，笔者首先向学生布置了如下一道题，并提前用《几何画板》数学软件作好该题的实验平台，供学生使用.

(Ⅰ)△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； (Ⅱ)若∠APB=60°，求△PAB的面积.

注：①此题为2011年全国高中数联赛复赛第11题.

②笔者在平时教学中已教会了学生《几何画板》的一些基本使用方法.

2　问题的探究

探究1证明方法的探究

笔者在观察学生做第(Ⅰ)题时，发现有许多学生在尝试求出△PAB的内心坐标，进而求出内心的轨迹，这种想法是合理的，但在实际操作时，由于求内心坐标的过程过于繁杂，学生思维在此受挫.

此时，教师让一位同学在《几何画板》上拖动直线l，观察直线PA、PB斜率的变化，这时学生就会发现“直线PA、PB的斜率始终互为相反数”(如图1所示)，发现这一结论后，问题就迎刃而解了.

图1

待学生完成第(Ⅰ)题的证明之后，教师再利用《几何画板》数学软件演示△PAB的内切圆的圆心的轨迹的正确性时，及时向学生提出：“为什么轨迹会是两条折线段呢？”(如图2中粗线部分).

图2

此时在演示的基础上，学生不难得出如下结论：

如果我们把第(Ⅰ)题的结论记为结论Ⅰ，教师可再引导学生展开联想，探究△PAB的垂心、重心、外心的轨迹.

探究2△PAB的垂心轨迹的探究.

易知△PAB的垂心轨迹在过点P且垂直于AB的定直线上(如图3所示).

图3

探究3△PAB的重心轨迹的探究.

不难得到：△PAB的重心轨迹在一条定直线上(如图4所示).

图4

探究4△PAB的外心轨迹的探究.

不难得到：△PAB的外心在一条定直线上(如图5所示).

探究2、3、4的证明，文[1]均给出，这里不再赘述.

图5

探究5结论Ⅰ的逆命题的探究

为了进一步探究结论Ⅰ的本质，教师可向学生提出如下问题：

利用《几何画板》的计算和动画功能，教师在事先做好的课件上进行演示性实验：

观察演示变化结果，由此得出结论：当点P(x0,y0)是定点时，直线AB的斜率必是定值.

证明如下：

图6

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，PA的斜率为k，则PB的斜率为-k.

则PA的方程为y-y0=k(x-x0)，

消去y并化简得

(a2k2+b2)x2-2a2k(kx0-y0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0，

探究6探究5的探究.

教师在事先做好的课件上再次进行演示性实验，可得如下结论：

证明如下：

设A(x1,y1),B(x2,y2)，C(x3,y3),D(x4,y4)，AB与CD相交于点P(x0,y0)，AB的斜率为k.

图7

(a2k2+b2)x2-2a2k(kx0-y0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0,

(1)

通过代入计算可得(1)式=0.

从而kAD=-kBC即AD与BC的斜率互为相反数.

由上面的证明过程中的(1)式可看出：将C、D两点横坐标x3、x4对调，结果不变，故对角线AC与BD的斜率也互为相反数.

探究7探究5的再探究

受探究6的启发，学生运用《几何画板》的度量、计算和动画功能，继续做实验，发现如下结论：

并证明如下：

设P(x0,y0)，AB的参数方程为：

其中t为参数，θ为直线AB的倾斜角.

所以|PA|·|PB|=|t1t2|

所以|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

注：①若四边形ABCD的边AD与BC相交于Q，对角线AC与BD相交于点N，可得：

|QD|·|QA|=|QC|·|QB|，

|NA|·|NC|=|NB|·|ND|.

②由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|易得：△PAD与△PCB相似且四边形ABCD的四个顶点共圆，因此，证明探究7中的结论时，也可先证明四边形ABCD的四个顶点共圆.

3　问题的再探究

在师生通过“数学实验”的手段得出7个结论后，还应该将探究从课内延伸到课外.此时，教师可将相应的数学实验平台搭建好，并指导学生运用类比的方式，继续探究以上结论在圆、双曲线、抛物线中是否也成立？进一步，可向学生提出：能否利用《几何画板》强大的度量、计算和动画功能，去发现问题中与面积有关的结论？然后再将你“发现”的结论一一加以证明.

我们常说，发现问题，能获取新的知识，能推动学科向前发展.所以，很多时候“发现问题”比“解决问题”更重要.在探究和发现问题的过程中，仅有演绎推理是远远不够的，因为在探究过程中常常需要“类比与归纳”，而合理的“类比与归纳”则往往需要大量的个例作为实验基础，因此，在中学课堂教学中引入“实验数学”是十分必要的.可以说，有了“实验数学”的课堂教学，才是全面、优质高效的教学.