数学课堂思维教学若干问题的思考*

程　华

(咸阳师范学院数学与信息科学学院　712000)

* 基金项目：咸阳师范学院教育教学改革研究项目(2017Z003)；咸阳师范学院专项科研基金“新课程背景下中小学数学教师专业化发展研究”(项目编号：13XSYK006 ).

数学教学是数学思维的教学,在数学课堂上学生最有价值的改变是数学思维的变化和发展.在义务阶段和高中阶段数学课程标准中,都明确要求了要教学生学思考,数学学科独特的育人功能,也主要体现在对学生思维特别是逻辑思维的培养上.然而,在实践层面上,教师是如何教学生学习思考的?数学课堂的思维教学还存在哪些问题与困惑?哪些因素会影响到思维教学的成效?笔者结合工作经历以及国培班、省培班的教学经验,对此分析思考.

1　数学课堂思维教学一些突出的问题及其分析

思维的教学需要贯穿在整个课堂教学的过程里,调研中我们发现,虽然教师普遍地具有培养学生数学思维的意识,但是要使教学成为思维活动的再现,知识成为思维活动的结果,在实践中一些问题还是比较突出.

1.1　重视以解题训练学生思维,而对概念、公式形成过程中的思维教学重视不足或方法不当

一些教师极为重视以教解题来教思考,采用大量的变式,提高例题、习题的思维含量.解题训练成为培养学生数学思维能力最常用的方式,却对概念、公式形成过程中的思维教学重视不足或者方法不当.

比如,笔者在咸阳市某县听评课《相似多边形的性质(二)》(北师大版八年级)时看到,同课异构的城乡两位教师在这节课内,配备的例题、习题都多达二十余道,并与历届中考题对接.教学重点都放在性质及其推论的应用上,但却对相似多边形性质的问题是如何提出的?该如何思考,无暇展开.过程里蕴含的“类比”、“转化”、“先特殊再一般”、“分解与组合”等思考方法都被匆匆带过[1].

培训中有学员很困惑：“讲(a+b)2=a2+b2+2ab时,我先用图形直观表示,再用多项式乘法公式证明,还编了口诀记,怎么还有学生记成了(a+b)2=a2+b2?”.然而,笔者在西安市某重点中学观课时却发现,更加复杂的二项式定理大部分学生却能当堂记住,原因何在呢?任课教师在提出需要探究(a+b)n的问题后,就在引导学生如何研究上下足了功夫.从n=1,2,3这些特殊情况开始,分析(a+b)1、(a+b)2、(a+b)3展开式中各项的特点时,通过多项式法则,教师引导学生追根溯源:“仔细观察,多项式的相乘是怎样实施的?”.学生自主发现了:“展开式中的项是由括号中取且只取一项相乘而来的”.这时,学生就像数学家一样在探索.可见,学生思维参与的质量最终决定了学习的效果,能否记住取决于学生是否真正参与到概念、公式的形成过程里.

当前的问题在于通过解题训练思维被过度化了.知识是思考的结果,而解题中思考的内容与方法都很有限.题目一般是明确的,缺少问题提出的环节,突出的主要是问题解决和演绎思维.但是,概念、公式获得的过程里,蕴含的思维方法可能会更加丰富.比如,概念获得的过程里,要先对典型、多样的事例观察、分析出其共同特征,进而对本质特征、概念内涵、要素等归纳和概括,才能获得定义.研究如何表示时,又要分为图形、符号和语言三种形式.进一步地,要分类研究,就需要思考,为什么分类?如何分类?怎样从各要素中找到合适的分类条件?等等.学生在经历概念、公式的形成过程里,可以思考到一些更加实质的问题,比如数学的研究对象、刻画数学对象的基本方法、研究的基本思路等,而这些思维活动是单纯的解题所无法提供的.

1.2　解题教学无暇揭示思路的寻找过程,“以讲代思”、“以练代思”,学生思维成了教师思维的再现

解题教学中,教师都能不同程度地体现“暴露思维的过程”,但是,一些教师将其简单化为讲解解题思路,最关键的寻找思路的过程却来不及揭示,常常以自己的“讲”取代学生的“想”.“以练代思”,题目过多过难,学生的思维来不及展开,便记忆教师的方法.

然而,短期内这种训练方式却可能对解题很有效,而评判教学效果又常以学生是否会做题为标准.但是,学生的思维又具有隐蔽性,比如,学生能套用两条平行线距离公式求出距离,但是否真理解这个公式?会做的题目是否真在“最近发展区”内?是学生自己思考所得还是条件反射地再现教师的思维?会做题有时反而掩盖了问题.随着学习内容的增多难度增大,一些学生记忆的题型、知识点增多,辨认难度加大,思维定式和僵化的弱点就显现出来,遇到复杂、新颖的题目就无从下手了.这时,一些教师为应对所谓的“忘了”,为扩充学生的解题经验,更是加大了训练量,负担越来越重.

1.3　数学课堂思维教学的设计与学生实际的认知水平不符合

课堂思维教学与学生实际的认知水平不符的现象也比较突出.从客观层面看,不同学生的思维发展并不均衡,在集体授课制下,对优秀学生适宜的却可能高于其他学生的认知水平.怎样教才能使不同层次的学生都尽可能地发展,也是思维教学的难点.

从主观层面看,一些教师对教学理解存在的误区或偏差,使教学脱离了学生实际的认知水平.具体表现有：其一,过于追求课堂思维发生过程的完整性,却忽视了过程的合理性.新课程改革倡导既要重视演绎推理也要注重合情推理,一些教师形式化地体现这一要求,脱离了学生实际.比如,初中生学习《三角形内角和》[2],还用撕纸实验将撕下的两个角拼到第三个角上去,先发现它们组成平角,再证明,重复着小学生的“发现”，思维活动低效甚至无效.

可见,数学思维教学存在的问题,既有教师对数学、对教学认识和理解的偏差,也与对学生的了解有关.事实上,数学课堂上同时存在着三种思维活动:教师的思维活动、学生的思维活动和数学家的思维活动(或隐或显存在于教材).只有当教师通过自己的思考,在课堂上创设出适宜学生思考的情境,通过问题,使这三种思维碰撞、交融,真正的思维教学才可能发生.

2　数学课堂思维教学的几点思考

教师对所教内容、所教学生的理解与掌握的状况,从根本上决定了思维教学的品质.对此,我们提出几点建议.

2.1　数学思维教学要切实关注学生的思维活动,基于实际的认知水平展开教学

教学生学思考,教师要切实关注学生是如何思考、如何理解的,只有尊重学生的认知规律,教学才可能与大多数学生的认知水平相适宜.

研究表明:遗传和生理成熟是思维发生、发展的生物前提.首先,教师要了解学生的数学思维的特点.一般而言,7岁至12岁的小学生,数学思维的特征是由具体形象思维逐步过渡到抽象思维,但仍然具有大成分的具体形象性;13岁至15岁的初中生,特征是经验型的抽象思维逐步过渡到理论型的抽象思维,但仍然具有很大成分的经验性;而高中生是16岁至18岁,已基本形成理论型的抽象思维[3].也就是说,初中生的形式运算思维开始发展,但是具体运算仍然在继续,进行形式运算时,仍要借助低水平的思维,而高中生的形式运算思维发展迅速,但是还需借助具体运算甚至是前运算思维.“没有教不好的学生,只有教不好的老师”,然而,研究表明,许多学生甚至成年人终生都处于具体运算阶段[4],所以,尊重学生的认知水平,还意味着要正视学生能力上的限度.

其次,教师要深入分析学生是如何思考、如何理解的,针对学生思维的差异性来教学.比如解题教学中,多样的解法反映出不同的思维过程和思维品质,多样化的思路下要引导学生独立思考进行方法的选择,发现方法之间的联系,这有助于提高学生思维的深刻性.

案例在正方形内部有2000个点,连同正方形的4个顶点共有2004个点.在这2004个点中,任意三点都不在同一直线上.现在要把该正方形纸片全部剪成三角形,这个三角形的每个顶点,都在这2004个点中取,并且这2004个点都是这种三角形的顶点,试问：① 一共可以剪出多少个三角形?② 如剪成这些三角形需要剪多少刀?( 沿一条线剪开算一刀).

不同思路体现出的是思维方法的差异.思路1是从局部分析,从特殊开始.正方形内部1个点,可分为4个三角形,若内部2个点,可分为6个,3个点分为8个,归纳出n个点时,三角形个数为4+2(n-1)而求解,类比第一问解出第二问.思路1中学生尝试、有序地观察、比较差异,体验归纳与类比；思路2则是从目标“三角形”具有内角和180°的特点,整体观察,转化问题,把三角形的个数问题转化为正方形内所有三角形内角和的问题.360°×2000+90°×4=4002×180°,解得4002个,表现出较强的直觉思维能力.思路2的探求侧重于如何观察局部和把握整体,对正方形图形的分解和组合来探求解法.

再次, 尊重不同学生的认知水平,要依据大多数学生实际的认知水平教学,避免超出或者落后于学生的思维水平.比如,一些高中生对函数的畏惧就与教师教学起点过高有关.即使学生已经具备了相关的函数知识,但是思维水平尚未达到时,过早用综合性过强的高考题训练,是不可能引发真正的思考的.同时,也要防止以落后于学生实际认知水平的方式换取大面积参与.比如,初中生内角和180°证明前还要撕纸实验,思维的变化就不大可能发生.

2.2　数学思维教学的重点是对学生的思维以适时和恰当的支持,提升思维深度

在课堂教学的每个环节,学生都可能思维受阻,同样的活动,不同学生的难度感受也会不同.所以,教师思维教学的重点是对学生思维恰当的帮助,保持思维任务的复杂性与完整性.如何对不同学生的思维活动给予恰当的支持?

所以,教师对学生思维帮助的关键是通过问题启发学生,从代数结构的特点产生适当的联想.认知结构不同的学生产生的联想也会不同.比如联想到余弦定理,

AB+BC>CA,

教师可以通过课堂观察、提问、作业、课内外辅导以及测验等方式来了解学生的思维状况.在教后感中分析并记录有哪些方式、哪些问题对学生思维的调动效果好,对课堂问答、作业、试卷中的错误分析其思维的障碍,等等,积累这些思维教学资源.

第二,要让课堂节奏慢下来,教师搭设思维“脚手架”,让学生的思考能深下去.具体地,一是当学生的思维受阻时,教师不要立即介入,急于引导，要给学生留下机会与时间.二是教师启发要多用元认知提示语,从数学认知策略上提供线索,让学生自己在对认知策略、概念等的回顾中寻找联系.比如：“前面研究问题的基本思路是先特殊后一般,你觉得现在应该研究什么?打算如何研究?”,等.三是要善于通过结构性问题，引导、组织和调控问题解决的过程.比如,《相似多边形的性质(二)》案例中,用“求相似四边形面积比的意图是什么?”“‘分割’的实质是什么?”“‘相似多边形面积比问题’该如何整体思考,怎样研究的?”等问题引导调控.四是要求学生完成任务后反思自己的思维策略,提炼出步骤与应用条件.“你是如何考虑的?思维受阻的原因在哪?”等.这些做法有助于降低学生思考的难度,又没有降低要求.

2.3　数学思维教学的目标既要有整体观又要有阶段性,提高教学的计划性

数学思维的教学贯穿在整个数学学习的全过程,所以,目标需要整体地把控.比如演绎法的学习,在六年级和初一时可以介绍由前提引出结论的方法、纠正臆造大前提推理的错误;在初二时介绍演绎法的概念与形式、由简单的形式向复合形式过渡;初三时纠正循环论证的错误;在高一年级以后则分析归纳法与演绎法的关系等.提高思维教学的计划性,需要在研究教材时就明确,哪些内容适合培养哪些思维方法,不同年级需要安排哪些思维训练,又以何种方式来教.具体来说,第一,要梳理本册教材、本节课所涉及的思维训练点,教师可以合作、分享.比如,简单数列内容要涉及“归纳”“类比”,一元一次方程、二元一次方程组,会涉及“归纳”“类比”“演绎”等训练点.第二,思维教学目标要与教学流程相对应,选择适宜的教法.其一,预设越具体越易于落实,拟采用哪些问题以怎样的方式,要将无形的思维有形化.多用口头表达、书面总结等方法,让学生清晰地看到师生的思维轨迹.其二,要以讲授、动手实践、自主探索与合作交流等多种方式组织教学.不同教法对发展思维的效果会不同,但是任何教法都能发展学生的思维.比如,传统的讲授法有时会限制思维的广度,但是它易于突出逻辑思维,同样能使学生思维活跃，关键是看教师内容的选择与指导是否得当.第三,教师要及时反思调控.“为什么这样设计?”“是否已达到训练某种思维的目的?”等.可以从学生的发言来判断目标与效果的差距及时调整,若学生会做题却不能清晰地表述,很可能是思考模仿性思维.

3　结束语

数学思维方法的获得终究要靠学生自己的“想”才能“悟得”,学生思维参与的质量最终决定了思维教学的效果.所以,教师要切实从关注自己的“教”到关注学生的“学”,从关注“学解题”到关注“学思考”,通过自己的思索,把对数学的理解、对教材的理解,转化、创设成适宜学生思考的平台.

在每一节平凡的课上,怎样结合具体的内容来发展学生的数学思维能力,如何使学生的思维活动能从对教师思维的简单模仿,到能独立思考后的创造?如何科学地考量学生学思考的效果?等等问题,迫切需要我们将理论与实践结合,不懈地探索.