核心素养视角下的“问题之解何处来”

徐章韬

(华中师范大学数学与统计学学院　430079)

1　引言

普通高中课程标准指出：核心素养是各学科教育留在学生身上最有价值的必备品格及关键能力，是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的整合.核心素养在一个人身上可以体现出不同的水平，从知识理解、经知识迁移到知识创造.[1]一个人的数学核心素养充分发展之后，其获取知识、运用知识、创造知识的能力和思维品质必大大超出常人.在数学学科中，“问题与解”常常用来测评一个人的数学核心素养水平达到何种程度.在之前的文章中，已经从数学知识发生发展的角度论述了“问题之解何处来”[2]，带着这个问题，深入研读了章建跃老师的系列作品[3-4]，逐渐明晰了在学科核心素养的指引下探寻“问题之解”的一般套路.下面通过一些难度较大的问题来说明这种主张及其程序化做法，最后阐述这种主张的教育学意义.

2　主张及程序

数学教学就是传授数学研究之道，要把“研究”的思想及其设计引入到课程内容的深度分析及问题求解之中，让学生获取数学的基本思想方法、基本活动经验，发展核心素养.

下面是一些可操作的具体程序.

首先，要明确研究问题是什么.没有问题驱动，就没有数学，更没有作为研究结果的知识.如，驱动向量产生的问题之一就是如何计算方向，驱动三角函数产生的问题之一就是如何刻画周期现象.要从生活现实、数学现实和科学现实中发现和提出问题，并把其表述成一个数学问题.

其次，要明确研究对象是什么.研究对象就是分析单位.如，长度、角度、面积是平面几何中的基本研究对象，探究这些对象本身，及它们之间有何关联，便演绎出了很多精彩的内容.

再次，要选好研究工具.明确了研究问题和对象之后，就要选择恰当的研究工具.如，不能把单位圆仅仅看作是需要掌握的一个知识点，而应当把其还原或视为解决三角函数的有力工具，要把知识点还原成认识工具[5].同一个问题，由于个体视角的不同，可以看作不同领域的问题，因此便可选择不同的工具.如同一个问题，有时可以看作一个代数问题，有时又可以看作一个几何问题，因此便可选用不同的研究工具，采用不同的研究方法.研究方法即是使用研究工具的方法.

把三方面综合起来考虑，就是要做好研究设计.如果把科学研究的一套程序引进教学研究中来，不仅能对目前教学研究的思路和方式起到颠覆性地改变，还能让学生自然而然地习得数学核心素养，找到“从课本到习题”的正确学习路径，那么解区区几道试题就更不在话下.

3　典型例题分析

普通的试题由于脸谱化了，学生经过大量的训练，早已形成了条件反应，似乎不需要遵循上述程序；然而在一些难度较大的试题中，如果遵循上述程序，思考起来就会次序井然，化难为易.单墫先生认为，组合数学最能反映解题对于数学的理解，反映它的灵活性，建议多学一点组合问题[6].下面所选取的例子都是组合数学的.

例1平面上任给1995个不在同一条直线上的点，求证：存在经过三个已给点的圆，使得所有的1995个点都不在该圆的内部.

分析按“研究问题——研究对象——研究工具” 的程序进行分析.

(1)研究问题.本题研究的问题从本质上讲，是讨论点与圆的位置关系.这些点不在某圆的内部，即在该圆上或外部.

(2)研究对象.研究对象是经过某三点的圆，以及剩下的1992个点.而且这个圆是依靠某三个点生存的，故从根本上说是研究这三个点.

(3)研究工具.既然是研究平面上的点，那么就应知道这些点的大致分布.如，建立平面直角坐标系的目的之一就是为了定量地刻画点的分布.平面上一旦给定了这些点，这些点便可限定在一个矩形中.这是从距离的角度刻画这些点，故距离是一个研究工具.另外还要从这些点中找到一个圆.凭直觉，若这个圆的半径充分大，就能把所有的点都包含在里面了，故这个圆的半径不应充分大，应比较小才好.而在有限个点中，必定有两点的距离最小，设这两个点为P1,P2.接着还要找到第三个点才能确定这个圆.对平面几何问题而言，还有一个基本量——角度，故试着把角度作为切入点来思考这个问题.由已知，这1995个点不在同一直线上，因此在直线P1P2外有已知点，考虑这些点对线段P1P2的张角，由P1P2的最短性，显然，这些张角都是锐角.这些张角至多有1993个，因此必有一个最大角，设点P3不在直线P1P2上，且∠P1P3P2最大.过P1,P2,P3作一个圆，即是所求的圆.

以下的证明就是顺理成章的事情了.由P1P2最短，则在线段P1P2上不可能再有已知的点，所以若已知点在直线P1P2上，也必在P1P2的延长线或其反向延长线上.因此，这些点也在圆之外.

若已知点不在直线P1P2上，考虑除点P1,P2,P3之外，不在直线P1P2上的任意一点记为P，由于∠P1PP2≤∠P1P3P2，故点P必在圆的外部或圆周上.故，命题得证.

一些竞赛类书刊上常把这种问题归结为极端原理.从上面的分析来看，为何要使用极端原理，何时使用极端原理是很自然的事情.

例2某地区网球俱乐部的 20 名成员进行 14 场单打比赛，每人至少上场一次.求证：必有 6 场比赛，其 12 个参赛者各不相同.

分析按“研究问题——研究对象——研究工具” 的程序进行分析.

(1)研究问题.首先这不是一个数学问题，而是一个生活问题，要把生活问题符号化、模型化，转化为一个数学问题.这个问题既可以建模成一个图论问题，也可以建模成一个集合问题.如果把两个比赛的人组成一个集合，那么研究问题就变成了必有6个集合，这些集合两两之交为空集.

(2)研究对象.研究对象不再是某一个体，而是两个有关联的人，也就是一个二元集.

(3)研究工具.对集合而言，交、并、补使集合能够运算，是研究集合间关系的重要工具.

两个人进行一场比赛，这时这两个人可看作一个二元集.由于进行了14场比赛，故有14个集合，如果这14个集合两两相交均为空集，那么这14个集合的并集总共有28个元素，这显然不可能.故这14个集合中的某些集合必定有交集，而且形成的交集中元素的个数是8.这里有有限的几种情形，可以一一列出来，从而得到结论.这里仅列举最简单的一种，其余的和这种情况是类似的.

记每一组对象为ai和bi.这种最简单情况是：ai对bi(1≤i≤6)，在剩下的8组里，是a1对bi(7≤i≤14)，即a1这个元素共出现了9次，而各bi各不相同.这是符合结论的.

这个问题也可建模成一个图论问题，那么由于研究问题和研究对象不一样了，使用的研究工具也不一样了.

例3p个男孩和q个女孩围坐在一个圆周上，将相邻两个男孩的组数记为a，相邻两个女孩的组数记为b，求证：a-b=p-q.

分析按“研究问题——研究对象——研究工具” 的程序行分析.

(1)研究问题.这是一个生活问题，首先要进行符号化和数字化，使其转化为一个数学问题.这个问题说到底是一个计数问题.

(2)研究对象.这里的研究对象不仅仅是具体的人，而是人与人之间的关系，如相邻男、女的组数.为了便于计量，必须要把具体的人进行数量化，然后转化为一个数学问题.如把男孩视作+1，女孩视作-1，那么这个生活问题就成了一个数学问题：在一个圆周上分布着p个“+1”，q个“-1”，共有a组相邻的两个“+1”，b组相邻的两个“-1”，求证：a-b=p-q.

(3)研究工具.计数问题的研究工具有方程，可以算两次.

从上面的论述中，可以看到有时研究问题和研究对象交织在一起，两者之间的关系一时难以理清.这时，可以适当地进行分类.一类是从问题到对象，抽象出数学问题之后，然后进一步明确这个数学问题是围绕哪一类对象展开的，由此自如地确定合适的研究工具，这实际上是“应用已有数学知识解决问题”.如把上面的例2抽象成一个图论问题，那么就知道这个问题围绕度、边等对象而展开的.如果把已有工具用得十分娴熟，那么“草木均可为剑”；若能发明新工具，那就具有重大的革新意义了.另一类是从对象到问题，就是要研究一个数学对象，以及如何确定研究内容(即研究问题)及相应的研究工具和方法.例如，要研究一个三角形，就要从明确研究对象开始，实际上就是要明确它的组成要素、内涵，再明确研究的路径和线索.这类研究是有基本套路的，而这些基本套路正是学生要获取的数学基本活经验.

4　分析与讨论

教师知识的研究成果支持了上述主张.MKT(面向教学的数学知识)中的SCK(教学用的内容知识)是教师为了教学必须具备的一种独特的数学知识，并能对教学的目标走向起到战略定向作用的知识，是指能推动某一主题发展的研究问题及研究动机的知识，是解决这一问题的研究方法和研究手段的知识，是得到的研究结果又如何解释，如何运用的知识[7].从上面的实例还可以看到，这种知识不但可作为教师教育取向地理解数学的一种框架，也可作为“问题之解如何来”的一种思考框架.教师若具备了这种知识，对教材内容的解读方式将会发生深刻的变革，不再热衷于解题技巧的讨论，而会在教学中以“事实——概念——性质(关系)——结构(联系)——应用”为明线，以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线[2]在本质上进行数学教学.有研究表明，西方的MKT和中国的教育数学，具有异曲同工之妙[7].从数学出发，做教育数学，教好数学，是教师专业发展的一个动向.

教师的教育科学研究、数学教育研究可以使教师更好地从事本职工作.长期以来，为了提高教师的专业水平，各级教育主管部门或专家们号召教师做研究型教师.这种主张或提法本身没有错，但在实践的过程中，就会在一定程度上使教师身心俱疲.一线教师的教学研究，不能用教育研究来取代，而应寻找两者之间的内在关联.教学研究和教育研究各有侧重点.教育研究可能更侧重于理论研究或事物间关系的探求；教学研究可能更侧重于解释教学中的实践问题，可能更像工程一样，如一节课的教学难点如何突破、教学重点如何确定等等.一直以来，由于教学研究没有科学研究方法论的指导，被人们称之为经验研究.但是通过上面的论述，如果采用“研究问题——研究对象——研究工具”的框架做教学研究，不但可以加深教师对教育教学研究方法的理解，而且加深了对数学本身的理解.要做好教育理论研究，从根本而言就是要对由“研究问题——研究对象——研究工具”构成的研究框架有明晰的认识；要加深对数学本身的研究，也要从方法论的高度把作为研究结果的数学解读出来，也要回答上述几个方面的问题.故强调“研究问题——研究对象——研究工具”的研究框架，早已超越了本文所论述的问题本身，具有更大的意义.