“深”入尚需“浅”出——吴正宪老师《比的意义》一课赏析

潘红娟（特级教师）

（作者单位：浙江杭州市江干区教育发展研究院）

一次教学，能用“深入浅出”来形容，至少可以说明两点，其一，反映教者对教学内容的内涵、体系、价值的深度把握；其二，反映教者对学习者认知基础、认知形态的透析了解。无疑，吴正宪老师正是这样一位“数学”研究与“儿童”研究的高手。借《比的意义》一课，我们一起来回顾欣赏，分析吴老师课中的“深”与“浅”。

【教学片断】

片断一：什么是比？

师：大家在哪儿听说过比？

生：金龙鱼广告 1∶1∶1。

生：足球赛进球 1∶2。

生：比如牛奶中的奶粉和水的比例。

……

（出示：沏牛奶，奶粉是牛奶的三分之一）

师：水要放上几份？为什么？

生：奶粉是牛奶的三分之一，表示把牛奶平均分成 3 份，2 份放水，1份放奶粉。（板演：2∶1）

师：大家能读懂2∶1的意思吗？

生：“2”就是放 2 份水，“1”就是放 1 份奶粉。

师：如果奶粉放10g，水就应该放几克？

生：20g。

师：如果奶粉放20g，水应该放几克？

生：40g。

师：如果奶粉放40g呢？能继续配吗？

生：不管怎么样，水的质量都是奶粉的2倍。

师：和过去的知识息息相关，水扩大2倍、4倍，奶粉也扩大2倍、4倍。你变，我也变。但不管怎么变化——

生：水都比奶粉多，水是奶粉的2倍，奶粉永远是水的一半。

在师生讨论中形成板书：

片断二：还有哪些情境也可用比来表示？

出示：下面情境中的数量能用比来表示吗？

●材料1：小亮身高155cm，我身高1m。

展开讨论：

三位学生分别板演：

生：155∶1。

生：55∶100。

生：100∶1。

生：两个个体，不能比较。

生：能比较，只是单位要统一，应该是1.55∶1。

师：同学们很厉害，有错误不要紧，错着错着就对了。

●材料2：某县城一所学校有学生3000人，教师100人。

展开讨论：

指名学生板演：

生：3000∶100。

生：30∶1。

生：学生人数与教师人数的比是3000∶100。

生：如果表示倍数关系的话，也可以是30∶1。

师：30∶1 是什么意思？

生：30∶1就是“学生人数是老师人数的30倍”。

●材料3：从北京到上海全程为1500千米，需行驶5小时。从杭州到北京全程为1500千米，需行驶15小时。

教师布置任务：写一写比。

生：300∶100，表示两次行程的平均速度的比。

师：如果是 1500∶5，1500∶15，说说是什么意思？

生：这两个比表示“路程∶时间”。

师：也就是表示什么意思？

生：如果把5小时换成1小时，1500就变成了300，比是 300∶1，也就是 1小时行驶 300千米；把15小时换成1小时，1500就变成100，比是100∶1，也就是1小时行驶100千米。

师：讲得真好！1500∶5，也就是速度是300；1500∶15，得出速度是100。那么请大家推想一下，1小时行300千米，一定是用什么交通工具？

生：高铁。

师：1小时行100千米呢？

生：火车。

师：路程∶时间会产生一个新的量——速度，这样可以进行比较和判断。

讨论：怎样用比来表示？

生：如果混凝土用10份来表示，那么水泥、沙子、石子的比就是 2∶3∶5。

生：一共是10份，也就是说水泥、沙子、石子的比是 2∶3∶5，各占 2 份、3 份、5 份。

……

【赏评与启示】

一、“深”入——基于“数学”的深度认知

所谓“深入”，主要从目标维度分析。从目标定位看，显然，吴老师并不满足于将“比”看作“除法”的“附庸”，而是试图探寻“比”更为宽广的教育价值与教学伸展的可能。我们至少可以解读出以下几个方面的目标预设与实践。

1.凸显概念内涵。

“比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a∶b”，这是关于比的概念的本质描述。如何让学生体会这一本质？吴老师以“水与奶粉的比是2∶1”为例，引导学生理解：“奶粉是1份，水有这样的2份”“水占了三分之二、奶粉占了三分之一”“也就是水的质量是奶粉的2倍”……从原概念“份”“倍”“分数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质意义。更为重要的是，教师在后面的教学展开中，通过“正例”“变式”“反例”的辨析，对“比是一种关系”“比必须要统一标准”“可以是同类量的比，也可以是不同类量的比”“比是有顺序的”“可以是两个量的比，也可是多个量的比”等等，有了深刻的认识。

2.实现知识贯通。

利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程，我们称之为“概念同化”。分析吴老师《比的意义》教学轨迹，无疑，正是让学生充分经历了概念同化的过程。而概念同化的过程中，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。课堂现场看，从“水和奶粉的比是2∶1”理解，到学生自主举例“当 1g 糖，10g 水时，糖和水的比是1∶10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，显然，比与“份”“分数”等知识的贯通理解已十分清晰。

3.渗透函数思想。

如果“比”与“倍”“份”“分数”“除法”是一回事，那么，引入“比”这一概念的价值与意义是什么？引用吴老师的阐述：“比是为比例学习做准备的，可以扩展为变量之间的函数关系。”基于这样的认识，吴老师引导学生思考：奶粉10克，水几克？——水扩大2倍呢？——水扩大4倍呢？通过“你变我也变”“一个量扩大几倍，另一个量也扩大几倍”等表达，让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。

4.导向问题解决。

“概念学习”的价值最终会走向“概念应用”。吴老师的课中，借助“师生人数比”“北京到上海、杭州到北京的路程时间比”等素材，思考“知道路程∶时间=300∶1，路程∶时间=100∶1，可以推想出分别坐了什么交通工具？”不断让学生体会“比是一把尺子”“比可以进行比较”“比可以帮助判断”。在丰富情境中，基于概念理解，止于问题解决，目标视角逐渐走高。

二、“浅”出——基于“儿童”的经验对接

所谓“浅出”，主要是从学生维度所作的思考。吴老师一直是“儿童中心”的积极倡导者和实践者，在她的课堂上，“顺儿童思考而教”“善用童言童智”“将学生置于学的主体”等理念有了最为真实的展现。

1.前在经验、潜在认知的真实呈现与激活。

分析吴老师的教学路径，经历了“原概念呈现——新旧概念联结——概念本质辨析”的过程。激活学生的生活经验，把握学生的前概念理解，是吴老师基于儿童教学的真实写照。

——“你在哪儿听说过比？”回答“金龙鱼广告中 1∶1∶1”“足球比赛中进球比是 1∶2”“比成绩”“比分数”……让我们看到了吴老师带领学生直面起点、直面错误、直面差异的勇气与智慧。

——“大家读懂了水与奶粉的比是2∶1吗？说说你的理解”，我们看到，吴老师鼓励学生自主完成新旧概念的联结，联结方式从直白告知变为联想推理，而这样的联想推理又是学生自发完成的。

——“路程∶时间=速度，1500∶5=300∶1，1500∶15=100∶1，说说是什么意思？”“速度是 300，也就是300∶1，即1小时行了300千米。”我们看到，“不同类量的比产生新的量”，当“速度”以比值形式出现的时候，是学习的难点，吴老师依然不忘将其还原为生活理解，突破难点。

2.好材料、好任务驱动自主建构。

“润物细无声”，将“高目标”融于“自然对话”，是吴老师《比的意义》一课的鲜明特点。为什么能实现如此细腻、丰富的目标，一方面得益于吴老师与学生的沟通艺术，笔者以为，好材料本身所蕴含的独特功能功不可没。试以部分练习材料及相应的功能，举例如下：

材料 1：小亮 155cm，我1m——实现了从“同单位”到“不同单位”的变化，自主形成单位统一的认识；

材料2：某县城一所学校有学生3000人，教师100人——自主实现了从“具体量”到“份”的跨越，渗透“最简比”的意识；

材料3：从北京到上海全程1500千米，行驶5小时。从杭州到北京全程1500千米，行驶15小时——实现了从“同类量”到“不同类量”的变式，丰富“比”的类型；

值得欣赏的是，几乎每一个情境的展开中，教师都没有刻意的引导，而是学生基于比的本源意义——“以（）作标准，（）就有这样的几份”，自主完成“比”的理解与表达。

材料 1，学生写出的三个比为“155∶1”“155∶100”“100∶1”，通过“标准比较”的思路，自然排除了“155∶1”与“100∶1”两个错误答案，学生对于“单位要统一”也就不言自明。材料2，学生板演的比是“3000∶100”与“30∶1”，前者仅停留于“具体量”的比，后者自然地将其提升为“份”的思考：如果老师是1份，学生有这样的30份。材料3，则更是一个极好的开放性材料，学生可以写出多个比，又自然引出不同类量的比。材料4，虽然变式为“三量”关系，但学生依然基于“标准”的思考，如果以沙子作标准，占10份中的3份，那么水泥则是10份中的2 份，石子是 10 份中的 1 份，三者的比是“2∶3∶5”。由此，一方面，我们由衷感叹吴老师基于“比较”“标准”“关系”把握基础上的“比”的本质挖掘，另一方面，也佩服吴老师为实现目标所设计的结构化材料与驱动性任务。

“深入”尚需“浅出”——教学的不懈追求！