让数学思想方法之花在勾股定理中绽放

黄志健

摘 要 初中数学课堂教学注重学生基础知识和基本技能培养的同时，更要着眼于对学生数学思想和思维能力的发展。本文从多个勾股定理的课堂教学实例入手，分析和探讨了初中数学新课程教学中渗透和体现数学思想的教学策略。

关键词 初中数学；数学思想；课堂教学；勾股定理

中图分类号：G424.21 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）03-0165-02

勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，是初中数学课程中重要的教学内容，也是中考考试中重点考察内容。虽然勾股定理是一个较为基本的几何定理，但其中蕴含着丰富的数学思想，教师在教学时不能简单的让学生记住“a2+b2=c2”就可以了，还要加强转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等数学思想的渗透，引导学生转换思维角度，开阔学生解题思路，提高勾股定理课堂教学的实效性。

一、创设数学情境，培养学生转化思想

数学课堂中创设教学情境能够激发学生学习兴趣，丰富学生情感体验，让学生在积极思维中攻克重难点知识。教师在培养学生转化思想时，可以利用勾股定理设计一些与学生日常生活相关的实际问题，以实际问题创设数学情境，引发学生情感共鸣，活跃学生课堂思维，让学生在分析和解决实际问题中积极转化数学条件，将实际问题转化、归结为数学问题。

例如教师可以结合学生实际生活创设这样的教学情境：“同学们都有和家人一起外出旅游的经历吧，这天小华购买了一个尺寸为长40cm，宽30cm，高60cm的行李箱准备和家人一起去旅游，这个行李箱能够放进一把长70cm的雨伞吗？”大部分学生学习了勾股定理之后对“40cm”，“30cm”的数字还是比较敏感的，马上联想到作辅助线运用勾股定理解决问题，但忽略了行李箱是个长方体而不是长方形。教师在教学时适时引导，告知学生“长方体中最长的连线是体对角线”，帮助学生转化数学条件，得到雨伞能放进行李箱的正确结论。

一节优秀的数学课堂必然是学生参与积极，体验丰富的课堂。在这个课例中，教师以实际问题创设教学情境，相比于直接进行习题训练，更容易激发学生学习兴趣，调动学生课堂学习积极性。教师在学生分析过程中合理引导，帮助学生将现实条件转化为数学条件，教会学生从数学角度看待实际问题，培养了学生将要解的问题转化为已知的知识的能力。同时也拉近了勾股定理与学生学习的距离，使学生感受到勾股定理就在身边，养成利用已学知识解决实际问题的习惯。

二、活用媒体辅助，渗透数形结合思想

勾股定理本身就是一个数形结合的定理，它的验证和应用都离不开数形结合思想。教师在勾股定理教学中渗透数形结合思想时要活用多媒体技术进行辅助，利用多媒体技术将抽象的数学语言与直观的图形有机结合，构建精准的数学模型，直观反映物体运动和数据动态变化，实现以形助数，以数解形，提高学生對勾股定理运用的熟练度和有效性。

例题：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以40km/h的速度向东偏北30°方向移动，距离台风200km之内的范围都是受台风影响的区域。那么，A城是否会受到此次台风影响？若A城受此次台风影响，影响时间为多长？教师分析问题时使用了多媒体课件，以一个圆代替台风，在台风移动路径中来回移动，展示A城和台风移动路径、影响范围的位置关系。在多媒体的辅助下，学生准确把握题意，正确理解了题目中的数量关系，根据课件演示的辅助线，利用勾股定理求出了正确答案。

以台风、噪音、触礁等影响范围设计数学习题是考察学生勾股定理运用情况的常见题型，解决这些问题的关键是构建正确的数学模型，利用数形结合思想对动态的影响范围进行分析。在这个课例中，台风影响范围变化对思维深度具有一定的挑战性，题目理解和解决的难度较大，教师利用多媒体技术对问题条件进行转化，为学生构建了合适的数学模型，简化了问题的理解难度，让学生感受到数形结合对解决问题的重要作用。

三、开展合作学习，融入分类讨论思想

合作学习是新时期初中数学课堂提倡的教学形式，合理开展合作学习能够充分发挥学生学习潜能，提高课堂学习效率和学习效果。教师可以结合勾股定理的相关题目，组织学生在小组学习中交流在处理这些问题时的分析方法和解题思路，讨论问题中存在的各种可能性，减少和避免漏解、重解情况的发生。

例如解答“在一块长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体木块上，有一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A出发，沿长方体表面爬行到顶点A体对角线所对应的顶点B处吃食物，那么它所需要爬行的最短路径长为多少？”这一类型的题目时，需要考虑蚂蚁从长方体不同表面行进的多种情况。教师不妨组织学生进行合作学习，让学生以不同方式将长方体展开为平面图形，分析和讨论蚂蚁所有可能的行进路线。从合作学习成果来看，各小组都分析出三种不同的爬行路径，并利用勾股定理计算和比较得出了最短路径。

在初中数学课堂中，每个学生都是独立而独特的个体，小组合作学习的形式充分发挥了学生的主观能动性，使学生不再被动的接受教师传授的知识，而是在与其他学生的配合中，共同完成学习任务。在这个课例中，教师结合数学问题组织学生进行合作学习，让学生自行对问题任务进行分配，讨论问题中存在的各种可能性，从而较为严密完整的得到问题答案，避免了漏解的情况。这样的教学设计让学生在合作学习中充分体会到分类讨论思想对解题的重要性，培养了学生在解题中多角度考虑的意识，提升学生解题思维的条理性、缜密性。

四、优化习题分析，发展学生方程思想

问题是数学学习的灵魂。教师要多选择一些代表性、针对性较强的习题，做到精题、精练、精讲，减轻学生学业负担，优化课堂时间分配，将更多的课堂时间用于例题的讲解和分析中，并着重对问题中的数量关系进行分析，引导学生寻找已知量与未知量的关系，培养学生通过设定未知数，构建方程模型的解题习惯。

例题：小兰家门口有一块三角形空地，三边的长度分别为13m，14m，15m，现有承包商以50元/m2的价格进行收购，问共需要多少费用。这个题目考察的是对三角形面积的计算，学生拿到题目第一反应都是过一个顶点作高求面积，但无论从哪个顶点作高，高都是未知数。于是教师引导学生对问题进行分析，让学生思考作出的高与哪些条件相关，是否能够利用所做的高构建已知量与未知量的联系。

勾股定理反映了直角三角形的三边关系，其本质还是一个等式关系，而含有未知数的等式就是方程。所以在运用勾股定理运算解题时，以方程思想列出勾股定理等式，利用已知量计算未知量或推导未知量关系可以作为解题的常规思路。这个课例中，在三角形内作高能够将原三角形分割为两个直角三角形，而两个直角三角形的直角边都是所作的高线。教师在分析题目时引导学生以高线为切入点，成功利用勾股定理列出方程解决了问题。

本文以勾股定理为教学载体简要分析了部分初中数学课堂中渗透数学思想的方法，但培养和发展学生数学思想是个长期而系统的工程，绝非一两节课就能实现的，初中数学教师要不断磨练自身教学技巧，结合教学内容和实际学情，分阶段、系统性的贯彻实施数学思想的渗透计划，让数学思想方法之花在数学课堂教学中绽放。

参考文献：

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[2]范小玲.数学化思想在初中数学教育中的应用研究[J].江西教育，2017（03）.

[3]陆秀珍.探析初中数学教学中数形结合思想的有效应用[J].数学学习与研究，2018（01）.