数学教学中的有效方法探析

刘启洪

（罗定中学，广东 罗定 527200）

现代数学教育是培养学生的创造性思维，培养学生创造意识和能力，发掘学生创造潜力的教育。教师在日常教学过程中，通过采用有效的教学方法，加强学生思想方法、思维能力的培养，是数学教育所要实现的目标。

一、创设问题情境，提高学生对数学的学习兴趣

（一）学生在学习数学过程中存在的典型问题

凤凰卫视著名主持人邱震海先生曾谈到：“当代年轻人最大的问题就是很多人还没有意识到，他们身上的行为方式是有问题的，这是最大的问题。只要越来越多的人有这个意识，我们下一步的事情就比较好做。”因此，在教学过程中教师应该多观察，多与学生交流，找出学生存在的问题，并让学生明白问题所在才是最重要的。现阶段学生在数学学习中主要存在以下几个方面的问题：（1）记忆达不到要求；（2）对数学不感兴趣，对数学学习有畏难情绪；（3）意志力薄弱，不能持久学习；（4）知识量储存较大，但不能有效提取；（5）数学运算求解能力较为欠缺。

对于学生在学习数学过程中存在的以上问题，我们应对症下药，有针对性地对学生进行指导，在教学中有目的、有计划地开展教学活动。同时让学生认识到自己的不足之处，努力克服自身的缺点，不断提高数学成绩。

（二）重视数学问题本身的价值，体现数学的实用性价值

问题，是数学已有理论体系中通过思维的内部整理而反映出来的思维结果，恰到好处的问题不仅可以调动学生学习的积极性，也是学生智慧生成的门户。数学教育家波利亚指出：“拿一个有意义但又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，通过这道题就像通过一道门户，把学生引入到一个完善的数学领域。”因此，教师在教学中可以选择有价值的问题进行探究，引导学生发现、讨论、反思、总结并弄清问题本质，提炼出数学思想，再进一步进行创造性应用。香港中学数学教材有这样一道例题：某企业有5个股东，100名工人，年底公布了公司的经营业绩，具体如表1所示。

表1 公司经营业绩情况表

图1 股东和员工工资总额增长情况

图2 股东和员工工资增长率变化情况

图3 股东和员工工资增长对比

从上述图表看，显然表1和图1为老板所画，反映了股东红利总额、工人工资总额与时间的函数关系，表示“有福同享，有难同当，股东红利与工人工资平行增长”。图2为公司工会主席所画，反映了股东红利增长率，工人工资增长率与时间的函数关系，显示“股东利润增长较快，工人工资增长相对较慢”。图3为工人所画，直观反映了“股东的人均红利从1万元增至2万元，人均净增1万元；而工人的工资从1 000元增至1 500元，人均净增仅500元。股东的平均收益远远高于工人的工资增长，收入差距太大，工资太低了”。以上3种说法，都源于同一数据表，没有造假，且都符合数学原理。教师用此题引导学生运用所学的一次函数知识，解释企业中说法不一而又各自有理的现象，比起常见的“鸡兔同笼”更具现实意义。此题不仅增进了学生对函数知识的理解和掌握，更体现了数学在现实生活中的应用。这类题能让学生在对所学内容产生浓厚兴趣的情况下，注意力更加集中，从而更容易接受并牢固掌握新知识，便于其灵活运用数学知识解决生活中的问题。

二、培养学生的主体能动性，使之获得成功的体验

教学活动要尽量做到多向交流，让成功的学生保持成功的心态，以利于获得更大的成功；同时，要让成功的学生去感染信心不足的学生，激发其实现和获得成功的愿望。具体做法如下：一是鼓励学生多提出问题，通过解决问题会让学生理清模糊概念，清除知识障碍；二是要积极肯定学生，学生每完成一个学习任务，都需要花费一定时间和精力，教师的积极肯定，能使学生获得自我实现的喜悦，从而在心理上提升对学习的需求。学生有了心理上的需求，才有心理上的参与，才能达到行为上的参与。

（一）培养数学技能，掌握解题方法，让学生体会解题成功的喜悦

学生解题能力不强，且缺乏数学解题技能，因此，在日常教学中，教师要重视对学生基本数学技能的培养。如果将解题过程比作珍珠项链，那么概念、公式、法则、定理等同于珍珠，而数学解题技能就是将“珍珠”串起来的线。我们要通过教学教会学生取得将“珍珠”串起来的“线”。解题不仅是对数学知识进行反复运用的过程，同时也是形成数学技能的过程。学生在实际探索中遇到问题，并越过障碍，思维才会畅通，其思维能力与水平才能提高，数学技能得到有效提升，才能给学生以“数学美”的感受。

笔者认为，探究数学定理的二级结论，有利于培养学生解题的技能，也有助于提高学生的解题速度。以下是笔者在某次限时训练中选用的1道练习题。

例1 已知点F1,F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线对称，则该双曲线的离心率为（ ）。

方法1 如图4，与渐近线垂直的直线F2Q可设为联立方程，可得点Q的坐标为PF2中点，由中点坐标公式知点 P在 双 曲 线上，即化简后可得e=。

图4 示意图

用此种方法运算较为繁琐，要求学生具备扎实的基本功和较高的运算求解能力，大部分同学达不到此要求。

方法2 可先求出点F2(c,0)到直线的距离可得 |PF1|=2a,由双曲线定义知 |PF2|- |PF1|=2b-2a=2a,即b=2a,b2=4a2,c2=5a2,e=。

对比这两种方法,方法2简捷很多。在方法2基础上对本题进一步研究，还可以归纳出两个有用的二级结论。

结论1 由焦点向渐近线引垂线，焦点到渐近线的距离为b,垂足到原点的距离为a。

结论2 由焦点向渐近线引垂线，垂足在双曲线的准线上。

例2 （2014新课标）已知F是双曲线C:x2-my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）。

显然，将双曲线化为标准方程后，再利用二级结论“双曲线焦点到渐近线的距离为虚半轴长b”，可以直接得到答案A，可见利用二级结论解题方便又快捷。

（二）培养学生“阅读、表达、动手、反思”的习惯，提高学生的学习能力

“阅读”是指阅读数学课本，通过阅读体会定义的形成过程，能夯实学生基础，使学生能从别人的成果里发现问题、提出问题。

“表达”是指使用数学语言的表达能力。就目前而言，学生的数学语言表达能力较差，从笔者参加的2012年高考数学阅卷情况看，学生在答题表述方面存在较多问题。鉴于此，在教学过程中，教师应多给学生到黑板前演示的机会，让学生将所能想到、能解决的步骤写到黑板上，供同学们一起交流，从而培养学生良好的书写表达习惯。

“动手”是指让学生自己积极参与数学问题的探讨或动手制作一些数学模型、教具，甚至做一些建筑物的测量。例如：让学生利用所学的正余弦定理测量河对岸两建筑物之间距离，这既让学生体会到正余弦定理的工具作用，又体验到了数学建模成功的喜悦；又如，在学生动手做正四棱锥的过程中，学生能很容易体会到其正视图的边长就是四棱锥的斜高。

“反思”是指学生经过一段时间的学习，对所学及收获的知识进行学习反思。教师要鼓励学生对解题的思路、解题的方法、涉及的知识点等进行反思，使其能积累解题的经验，能形成对解决同类题目的解题技巧。

（三）建立学习互助小组，培养学生的合作精神和团队意识

具体说来可以这样操作：以“二二二”形式，即两名优等生、两名中等生、两名后进生互相搭档。为方便探讨，可以按就近原则编排小组。要求各小组成员要积极主动合作。不能只是流于形式，全体小组成员都要动手动脑，主动帮扶那些知识理解不透彻的同学。美国缅因州国家实验室经过大量实验得出一个被称作“学习金字塔”的研究成果。研究成果指出，听讲、阅读、声音、图片、示范、演示等被动学习的东西两周以后平均留存率低，而小组讨论、实际演练、做中学、马上应用、教别人等主动学习的东西两周以后的留存率较高，所以教师要促成学生主动学习，让学生在做中学、学中教，学会后马上应用知识教其他学生，优势互补，以此达到共同进步。通过这种方法，后进生在同伴的帮助下更容易取得较大的进步。

三、以身传教，培养学生规范答题意识，巩固学习成果

（一）利用“朴素衣柜原理”，认识将数学知识系统化的重要性

在日常教学中，个别教师只是不断地往学生脑子里灌输知识，而没有教学生如何梳理、归纳知识，这往往让学生在考试时对知识的提取出现问题，很多曾经学过的知识也提取不出来，导致解题失败。笔者认为，数学知识的传授可以从“朴素衣柜原理”中找到灵感：将春夏秋冬的衣物分衣柜存放，与四季衣物一起存放相比，哪个更容易提取？答案无疑是前者。因此，教师应帮助学生学会将知识系统化，这样学生在考试时就容易将知识提取出来。

以下是我在处理数列与不等式问题时所选用的例题，在教学时，我们可以帮助学生归纳以下两种主要的模式。

例3 求证

分析 n=1时成立;n≥2时，对进行适当放缩即可化为可裂公式命题得证。

例4 （2012广东改编）对an=3n-2n,求证

分析 对an=3n-2n,n=1时，不等式成立；n≥2时，往等比数列方向进行放缩；an=3n-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1)＞3n-1,即

命题得证。

笔者认为，帮助学生归纳数列与不等式问题时，主要应从两个方向入手，方向1放缩到可裂公式，再用裂项相消求和即可；方向2：放缩为等比数列，再用等比数列求和即可。除了以上两种模型外，进一步归纳梳理还有以下一些常用的放缩结论：

教师帮助学生对知识进行条理化梳理、归纳，学生便可以快速提取知识，有效解决放缩法问题。

（二）抓规范，促运算，强调得分意识

数学是逻辑性很强的学科，学习感悟总是与学习的规范、严谨联系在一起的。在教学过程中，教师要对学生的学习活动进行严格要求，要讲清楚数学规范解答的作用和意义，要指导学生加强规范的行为、培养规范作答的好习惯。从高考阅卷经验来看，无论高考题难易，高考的评分标准都会充分为考生考虑，同时我们也看到，考生往往会在答题规范和表述方面失分较多，考生缺乏相应的得分意识，因此要特别重视考生的规范作答，如符号规范、说理规范等。在解答题方面，教师在日常教学中，就应力求学生规范作答。此外，培养学生规范作答的能力需要一个过程，教师在上课时板书要详细，语言表达要和板书进行合理对接，让学生从教师的语言和板书中获得思维语言与动作语言对接的感受，从而获取规范作答的经验。

（三）悉心辅导，耐心批改

学生对新学的知识较易忘记，对新公式、新定理不能灵活运用。对容易混淆的知识点，在课后教师应多提醒，在时间允许的情况下，教师要对部分学生的作业进行面对面批改，指出错误及表达不够规范的地方，并帮助他们梳理知识。另外，现场辅导可以让学生把握方向，调整学习策略，让他们在层次分明的练习中归纳知识、融会贯通，这样学生的基础得到了夯实，学习成绩就会逐步提高。

总之，在数学教学过程中，教师应该学会综合运用多种方法激发和培养学生的数学学习兴趣，调动学生学习数学的积极性，进而提高学生数学学科的核心素养，促进学生思维能力的发展。

[1]张奠宙.宋乃庆.数学教育概论[M].上海：上海师范大学出版，2009.

[2]韩云桥.中学数学教学与学生思维发展[M].广州：中山大学出版，2013.

[3]吴平生.2006年高考递推数列通项公式问题[J].中学数学研究，2006年增刊.

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