某双转子发动机变态相似模型设计与验证分析

丁 一，罗贵火，王 飞

(南京航空航天大学 能源与动力学院 江苏省航空动力系统重点实验室， 南京 210016)

转子系统作为旋转机械的核心部件，在现代工业尤其是航空、能源、电力等领域有着举足轻重的作用[1]。模型试验法是当前研究转子系统动力学特性的最重要的方法之一，旨在通过与原型相似的模型试验进行研究，从而得到原型的工作性能和规律特点[2]。根据不同的比例尺性质，模型试验法所采取的试验器可以分为2种，即正态模型和变态模型。对于与原型相同材料的正态模型，其固有频率需要比原型大很多才能满足动力学相似，其要求转速在现有的试验条件下往往无法达到，另外其所需的激励频率也比原型大很多。因此，采用变态模型转子进行试验不仅可以拓宽试验的应用范围，还可以减少模型制作的材料用量，从而降低试验成本。国内外学者对变态模型相似性问题进行了研究并取得了丰硕成果，但对转子系统动力学相似问题的研究不够全面，尤其是转子系统的动态响应方面的相似性问题研究极少。另外，转子系统的动力相似尤其是变态动力相似方面的研究只停留在起步阶段。因此，深入研究转子系统动力模型变态相似问题和发展转子系统变态模型优化设计方法是十分有必要的，对转子系统试验模型的相似设计具有重要意义。

本文在深入分析转子系统变态模型、原型相似准则和动力学相似关系的基础上，提出了基于数学模型的转子变态模型优化设计思路和算法，并对实际发动机转子系统进行了动力学相似设计。本文所采用的思路、分析方法和结论对转子系统试验模型的变态相似优化设计具有参考意义。

1 转子系统动力变态相似准则关系

1.1 变态模型相似理论

变态模型不同维度的几何尺寸不是按照相同比例缩小，即模型与原型分别对应的尺寸比例并不完全相同，变态相似也称差似[3]。

如图1所示，变态模型与原型的各个维度尺寸比例分别为l′/l=Cl、w′/w=Cw、h′/h=Ch，且Cl、Ch和Cw不全相等。三者全部都不相等时，称为二维变态相似，某一对相等时，称为一维变态相似[4]。变态率η表示的是2个不同维度的比例尺的比例，比如Cl和Ch：

(1)

对于任何变态模型，虽然3个不同维度方向上的几何比例尺不同，但是时间比例尺均相等，即Ctl=Ctw=Cth，则变态模型的各个维度方向的关于速度v和加速度a的相似比关系为[5]：

(2)

图1 变态模型与原型示意图

1.2 转子系统变态模型的相似关系

本文研究对象轴向和径向比例尺的基本量纲均为长度，无法用量纲分析或定律分析法推导出相似准则，因此采用方程分析法来推导转子系统变态模型与原型的相似准则。转子系统动力特性的数值分析方法主要有有限元法和传递矩阵法[6]。传递矩阵法应用最广泛，但在求解高速转子系统振动问题时经常会遇到数值极不稳定的情况[7]，并且与有限元法建立的模型相比，传递矩阵法一般不够精确。因此，本文运用有限元法建立转子系统的运动微分方程，从而推导相似准则和相似关系。

对于转子系统的运动微分方程[8]：

(3)

基于方程(3)，转子系统变态模型的运动方程可分别表示为(变态模型下标为m，原型下标为p)：

(4)

假设刚度矩阵Km和Kp的相似比为CK，质量矩阵Mm和Mp的相似比为CM，阻尼矩阵Cm和Cp的相似比为CC，位移向量Um和Up的相似比为CU，外力向量Fm和Fp的相似比为CF，时间tm和tp的相似比为Ct，轴向尺寸lm和lp的相似比为Cl，径向尺寸dm和dp的相似比为Cd，密度ρm和ρp的相似比为Cρ，弹性模量Em和Ep的相似比为CE，代入式(4)，化简得：

(5)

方程(5)中各系数必须相互相等，才能使变态模型与原型相似，从中得出转子系统变态模型与原型的相似准则：

(6)

则转子系统动力学变态相似关系为：

(7)

对于固有频率，其相似关系为

(8)

此外，激励频率比Cω0等于固有频率比Cf。由于刚度系数k=mω2，阻尼系数c=2ξmω，那么弹性系数Ck和阻尼系数Cc相似关系为：

(9)

标记{ψr}m和{ψr}p分别代表变态模型和原型转子的第r阶振型，那么对于同一个测点，其位移维度的比例尺关系依旧为Cd，本质上振型的关系即测点上的复幅值比值。经过标准正则化，可以得到变态模型和原型转子的振型关系：

{ψr}mn={ψr}pn

(10)

由式(10)可得，变态模型与原型转子的同阶模态振型完全一致。一般情况下，转子系统的试验器模型使用和原型转子相同的材料，由此可得CE=Cρ=1。用λ代替Cl，表1列出了转子系统变态模型的相似常数。

表1 转子系统变态模型的相似常数

2 原型双转子系统动力特性分析

为进行动力相似设计，首先需要了解原型转子系统的动力特性。某涡轮轴发动机耦合双转子系统由动力涡轮转子(内转子)和燃气发生器转子(外转子)构成，见图2、3。

图2 动力涡轮转子

图3 燃气发生器转子截面

内转子动力涡轮转子共有4个支承，支承编号为1、2、5、6；外转子燃气发生器转子共有2个支承，支承编号为3和4；6个支承的支承刚度数值见表2。

表2 转子各支承刚度

本文采用有限元方法计算原型转子的临界转速。其中，燃气发生器转子有限元模型采用四节点四边形SOLID272单元进行网格划分，采用集中质量单元(包含质量与转动惯量)模拟各级压气机转子叶片、涡轮叶片及部分轮盘，忽略流体流动产生气动力的影响。整个模型共有37 284个节点，7 838个单元，2个轴承单元，6个集中质量单元。计算所得到的动力涡轮转子临界转速对比见表3，燃气发生器转子临界转速对比见表4。

表3 动力涡轮转子临界转速对比

表4 燃气发生器转子临界转速对比

从表3和表4的结果可以看出：采用有限元法计算的原型转子系统临界转速和提供数据的最大误差仅为1.68%，计算结果精确，满足航空发动机工作转速上下边界距临界转速20%以上裕度的设计要求。

3 双转子系统相似模型设计

为了进行转子系统动力模型试验，需要先选择合适的模型相似律并进行缩比模型的设计工作[9-10]。实践证明，与原型π准则完全相同的模型设计方法往往无法满足特定的固有频率或动态响应等设计指标。转子系统变态模型与原型π准则不全相等，所以需要寻求转子系统变态模型设计的指导方法。

3.1 相似比的选取

为进行动力相似设计，首先需要确定模型转子与原型转子之间的相似比。在确定相似比过程中主要考虑以下因素：

1) 试验器设备限制角度：燃气发生器转子最大转速为45 000 r·min-1，现有试验器驱动电机最大转速为9 000 r·min-1。考虑到电机驱动功率以及皮带传动方式，电机最大可以以传动比1∶2工作。因此，模型转子最大转速为18 000 r·min-1，即要求相似比小于等于0.4；

2) 试验安全角度：所选取的相似比不可过小，因为过小的相似比会导致转子轴段的内径过小，影响转子轴的强度，不利于试验的安全展开，因此相似比应大于0.2；

3) 其他方面：在允许范围内，相似比应取较大数值：一方面可以保证轴具有较好的强度；另一方面可以使相似模型的支承刚度较大，增强弹性支承的强度，方便加工。

考虑上述因素，模型转子的相似比取0.4。根据已推导的转子系统变态模型的相似准则，建立变态率η为2.5的转子系统变态模型，其轴向比尺为1，径向比尺为0.4。所有相关参数均严格按照相似关系进行相似变换，各转子系统变态模型的基本数据如表5所示。

表5 转子系统变态模型的基本参数

3.2 试验器特征参数优化

本文采用逆向思维的设计方法，通过调整转子模型的特征参数来满足设计目标，计算方法采用与第2部分一致的有限元方法，优化方法采用遗传算法，二者结合设计试验器模型转子[11]。如图4所示，该算法通过有限元与遗传算法的接口程序，由遗传算法对初始配置进行优化，从而找到最优的设计变量，得到最佳设计结果。

图4 有限元法与遗传算法结合优化设计流程

转子系统具有3个独立的相似元：刚性盘、转轴和轴承。本文研究对象的特征参数有2段轴的直径和长度、8个圆盘的直径和厚度、6个轴承的支承阻尼和支承刚度。基于试验的现实意义，本研究选取6个支承刚度相似常数作为优化设计变量。此外，根据实际工程意义和价值对优化设计变量的取值范围进行界定，本文选取试验器转子的质量和工作转速下的不平衡响应作为约束条件。优化目标函数的选取一般为试验器转子系统和原型转子的固有频率、振型或位移响应等，如式(11)所示，以达到真实模拟原型转子的动力学特性等目的。其次，转子试验器模型的优化设计也用于提高模型的动力特性以降低转子系统的振动水平[12]。

(11)

对于本文的研究对象，设计变量取各支承刚度，优化目标函数如式(12)所示：

(12)

其中：λ=0.4为指定的相似比；wi,i=1,2,3为模型转子系统前3阶临界转速；Ωi,i=1,2,3为动力涡轮转子或燃气发生器转子系统的前3阶临界转速。

图5 相似模型转子示意图

所设计的试验器转子示意图如图5所示，与原型一致。动力涡轮模型转子(内转子)由4个弹性支承、1个轮盘以及轴组成。燃气发生器模型转子(外转子)由2个支承、6个轮盘以及轴组成。6个支承均采用滚动轴承和鼠笼式弹性支承以及挤压油膜阻尼器的形式构成。优化后的动力涡轮试验器转子支承1、2、5、6的各刚度见表6，燃气发生器试验器转子支承3、4的各刚度见表7。

表6 优化后动力涡轮模型转子支承刚度

表7 优化后燃气发生器模型转子支承刚度

3.3 试验器转子鼠笼式弹性支承设计

根据求得的6个支承的刚度，进行鼠笼式弹性支承的设计。通过参数化建模设计可得到6个鼠笼尺寸的长、宽、高，如表8所示。其中，笼条根部倒角为R1。

表8 试验器转子弹性支承参数

为确定设计的鼠笼弹性支承满足刚度要求，将设计的鼠笼通过UG建立模型，利用有限元法进行刚度计算。考虑到鼠笼弹支的结构较复杂，部分结构比较细小，选用10节点的solid187单元，进行自由网格划分，同时设置smrt=1，得到的有限元模型如图6所示。

图6 试验器转子弹性支承的有限元模型

表9给出了各个弹性支承有限元计算求解刚度与目标刚度的误差，可以看出刚度的误差在8%以内，满足弹性支承的设计指标要求。

4 试验器转子动力特性分析与验证

4.1 动力涡轮试验器转子

采用有限元法，动力涡轮试验器转子前3阶临界转速与原型的对比见表10。

从表10中可以看到：模型转子系统各阶临界转速均为原型转子各阶临界转速的0.4倍，最大误差仅为2.94%；从图7可得：前2阶临界振型均为1阶弯曲，第3阶振型为2阶弯曲，模型转子与原型转子系统前3阶临界振型的mac值均大于0.91，即两者的相似度大于91%。以上分析表明：本文设计的动力涡轮模型转子能较好地反映原型转子的动力特性，达到转子系统变态相似试验模型的设计要求。

表9 试验器转子弹性支承刚度计算结果

表10 动力涡轮模型转子与原型转子临界转速对比

4.2 燃气发生器试验器转子

同样采用有限元法，燃气发生器试验器转子前3阶临界转速与原型的对比见表11。

表11 燃气发生器模型转子与原型转子临界转速对比

从图8中可以看出：模型转子的前3阶临界振型分别为整体涡动、俯仰振型和1阶弯曲。表11显示：模型转子各阶临界转速均为原型转子临界转速的0.4倍，最大误差仅为0.82%。以上分析表明，本文设计的燃气发生器模型转子动力特性和原型转子系统的动力特性高度吻合，误差低于1%，为模型试验提供良好的理论基础和精度保证。

图7 动力涡轮模型转子与原型转子临界振型对比

图8 燃气发生器模型转子临界振型

5 结束语

本文对某型双转子涡轴发动机进行了变态动力相似优化设计和验证分析，计算结果表明动力涡轮外转子临界转速的误差为2.94%，燃气发生器内转子临界转速的误差为0.82%，各阶振型的mac值均达到了90%以上。因此，本文所设计的试验器模型与原型转子满足动力学相似，能高精度地相似反映原型转子的动力学特性。转子系统变态模型动力相似设计方法切实可行，为转子系统的模型试验研究提供理论支撑。此外，本文所提出的相似参数选取、特征参数优化、鼠笼弹性支承设计验证等一系列方法和算例对转子系统试验器的相似设计具有一定的指导意义。

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