Pascal函数矩阵的推广与应用

蔡杰锋

(闽南理工学院，福建 石狮 362700)

1 Pascal矩阵与Pascal函数矩阵的基本概念

Pascal三角形(又称杨辉三角形)最早是由中国南宋数学家杨辉发现的，用以描述二项式展开的系数，其形式是一个n层的三角形，第k层有k个正整数，分别对应二元多项式(a+b)k-1的展开式的k个项的系数，即：

为了方便利用矩阵工具来研究Pascal矩阵，将其写成下三角的形式，就得出所谓的Pascal矩阵：

用严格的符号表示就是：

其中，Pn是n+1阶方阵，Pn(i,j)表示其(i,j)元.

Pascal矩阵Pn(i,j)有很奇妙的性质[1]，其中，有两个性质较为重要：

(1)Pn是下三角的可逆矩阵；

(2)Pn的对角元都是1，所以特征值都是1.

Pascal函数矩阵是Pascal矩阵的推广，其引入了一个自变量，基本形式为：

其中，Pn[x]是以x为自变量的n+1阶函数矩阵，Pn[x](i,j)表示Pn[x]的(i,j)元.

显然，当x=1时，Pn[x]就是Pn.

关于Pascal函数矩阵的性质详见文献[1～3]，其中，有两条性质较为重要：

(1)Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R)；

(2)Pn[x]-1=Pn[-x](x∈R).

2 Pascal函数矩阵的推广

为了方便起见，先约定以下矩阵运算的符号：

对m×n阶矩阵A，A(i,j),A(i,:),A(:,j)分别表示矩阵A的(i,j)元，第i行，第j列，其中1≤i≤m,1≤j≤n.

至今，Pascal已有多种类型的推广形式，具体可参见文献[4～6].

纵观其多种推广形式，不外乎是将未知函数项xi-j推广为其它类型的函数.因此，可以用任意类型的函数代替xi-j，得到新的推广形式.但是这样得出的函数矩阵的范围就太大了，研究价值不大.因此我们要找到Pascal函数矩阵的某些绝妙的性质，然后试图在不改变这些性质的情况下对其进行推广，这样得出的推广形式才会有研究价值.

纵观其多种已有的推广形式，都保持Pascal函数矩阵的一条绝妙的性质：

定理1Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

证明上式等价于：

Pn[x+y](i,j)=Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)，

对1≤i

Pn[x](i,:)·Pn[y](:,j)=0=Pn[x+y](i,j).

对1≤j≤i≤n+1，

证毕.

现在再考虑一下如何推广Pascal函数矩阵的定义，使得推广后仍然保持与定理1类似的性质.

首先，先将Pn[x]定义中的某些概念一般化：Pn[x]的定义中，所需的未知因子是xk(0≤k≤n)，可以将未知数x的取值空间换为一个半群(M,*)，并且将幂次方函数换作M上的可列个实算子：Δk(k=0,1,2,...)，类似地给出广义的Pascal函数矩阵的定义：

如上定义的广义Pascal函数矩阵不一定有跟定理1类似的性质.因此，就需要找出满足类似性质的某些充分条件.而在这之前，先要考虑一下怎样阐述定理1的推广形式：

Pn[x+y]=Pn[x]·Pn[y](x,y∈R).

这个式子的右边是矩阵乘法，不需改变，左边式子中x+y的加法运算可以推广为半群(M,*)上的二元运算*，所以定理1的推广形式应该是：

(1)

寻找使式(1)成立的充分条件，模仿定理1的证明：

式(1)等价于：

(2)

(f*g).

因此，可以得出式(1)成立的一个充分必要条件：

结合以上的论述，就得出一种较为广泛的有研究价值的Pascal函数矩阵的推广：

定义1给定一个半群(M,*)，再给定满足以下条件的实算子{Δk|k=0,1,...}：

对每个f∈M及正整数n，定义一个n+1阶的函数矩阵

称其为半群(M,*)上的广义Pascal矩阵.

显然，由定理2，直接有：

利用抽象代数的理论，可以得出：

3 推广的Pascal函数矩阵的应用

本节将上节推广的广义Pascal函数矩阵特殊化，构造几种特殊的推广形式，并给出其应用实例.

例1当半群(M,*)为实数加法群(R,+)，实算子Δk是k阶幂算子xk时，所定义的广义Pascal函数矩阵就是一般的Pascal函数矩阵Pn[x].因此，上节定义的广义Pascal函数矩阵的确是一般Pascal函数矩阵的推广.此时，推论1就变成了定理1.又由于Pn[0]=In+1，根据推论2，有以下结论：

推论3Pn[-x]=(Pn[x])-1.

例如，

例2当半群(M,*)为n元实函数加法群，实算子Δk是k阶幂算子xk时，所定义的广义Pascal函数矩阵就是一般的Pascal函数矩阵的简单推广：Pn[f(X)]，同样也有：Pn[0]=In+1(注意：这里的0表示零函数，而不是数字零)，根据推论2，有：

推论4Pn[-f(X)]=(Pn[f(X)])-1.

例如，

例3当半群(M,*)为一元光滑实函数乘法半群(C(R),*)，实算子Δk表示k次求导算子时，根据求导公式：下列式子成立：

从而，就可以定义特殊的广义Pascal函数矩阵：

又注意到半群(C(R),*)的单位元是恒等于1的函数f0(x)≡1，且再根据推论2，有：

根据上式，有以下关于数列的二项式反演关系：

推论6{an}和{bn}为两个实数列，则下列两种递推关系等价：

就等价于

再令上式的未知数x等于0，以及未知变量X,Y分别为(a1,...,an)T,(b1,...,bn)T，那么就可以得出以上两种递推关系等价的结论.

4 结论

本文通过分析多种推广Pascal函数矩阵的形式和性质，得出了推广过程中始终保持的一个绝妙的性质(定理1)；然后，在一个较为广泛的框架下给出了保持这个性质的充要条件(定理2)；紧接着，根据这个充要条件给出了一种较为广泛的保持绝妙性质的广义Pascal函数矩阵；并且在最后给出了几种基于这种广义形式的特殊形式和应用.

本文所推广的广义Pascal函数矩阵是具有广泛研究价值的，对其进行更深入研究深有裨益.

[1] CallG S,Velleman D J.Pascal’s matrices[J].Amer Math Monthly,1993,100:372-376.

[2] Brawer R,Pirovno M.The linear algebra of the Pascal matrix[J].Linear Algebra Appl,1992,174:13-23.

[3] Zhang Z Z.The linear algebra of the generalized Pascal matrix[J].Linear Algebra Appl,1997,250:51-60.

[4] M Bayat,H Teimoori.Pascal k-eliminated functional matrix and Eulerian numbers[J].Discrete Appl Math，2001，49：183-194.

[5] Z Zhizheng,M Liu.An extension of the generalized Pascal matrix and its algebraic properties[J].Linear Algebra Appl,1998，271:169-177.

[6] 赵熙强,李琳.函数矩阵的进一步推广及应用[J].中国海洋大学学报,2015(3)：136-140.