“三角形的面积”教学实录及评析

肖兴志 张宏伟

[摘 要]依据全景式数学教育的重建主张，在“三角形的面积”教学中，教师引导学生探索、理解多种不同的三角形面积计算方法，拓展学生的思维空间，帮助学生形成多角度思考和解决问题的意识与习惯，培养学生的创新能力，并尝试让学生通过三角形面积的探究了解解决问题的一般过程和方法。

[关键词]三角形；面积；全景式数学教育

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2018）15-008-02

教学目标：

1.完整经历三角形面积的探索过程，理解三角形面积的计算方法，会正确计算三角形的面积，并能解答生活中相应简单的实际问题。

2.通过研究三角形的面积，感悟“对未知进行分析→联想相关的已知→建立联系，进行转化→问题解决”的一般研究策略和方法。

3.了解相关的数学历史、文化，引导学生感悟数学的思想方法。

教学准备：

PPT课件，平行四边形和长方形学具，钉子板。

教学过程：

一、分析问题，明确方向

师：今天，我们一起来研究“三角形的面积”。（板书：三角形的面积）看到这个课题，你认为我们要研究和解决哪些问题？

生1：三角形的面积怎么计算？

生2：怎么探究三角形的面积计算方法？

师：分类研究是一种很好、很重要的方法。那么，对三角形的面积，我们应怎样分类来研究呢？

生3：分成三类来研究，因为三角形有钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，这样每一类三角形都进行了研究。

【评析： 这个环节，教师让学生自己提出研究的问题，引导学生进行分类研究，使学生明确了学习目标，充分贯彻和落实了全景式数学教育“教会学生怎么学，比学生更重要”的基本主张。】

二、建立连接，感悟方法

1.联系旧知

师：研究三角形的面积，你认为以前学习过的、和它密切相关的知识和方法有哪些？

（生先独立讨论，再小组交流）

师板书如下：

生4：学过的知识有长方形的面积、正方形的面积、平行四边形的面积……学过的方法有把平行四边形转化成长方形。

生5：还有割、补、数格子等方法。

【评析：引导学生分析问题后对密切相关的学过的知识和方法进行回忆、检索、梳理，这是解决问题必须经历的步骤之一，即把学习的重心聚焦到“怎么学”“如何思考”上。】

2.建立连接、需求转化和突破的路径

师：你觉得哪个三角形和学过的哪个图形的面积计算密切相关？用什么方法实现它们之间的转化和连接，从而推导出三角形的面积计算公式？（生先独立讨论，再小组交流）

生6：我们组认为直角三角形和长方形的关系密切，因为将长方形从对角剪开，可以得到两个一样的直角三角形。

[师引导学生通过操作、观察和对比等活动，使学生明白长方形的长和宽分别是直角三角形的底与高，并想办法证明这两个直角三角形是完全一样的，从而推导出直角三角形的面积=底×高÷2。然后师让学生回顾刚才的推导过程，使学生明确：底×高→剪开之前的长方形面积→底×高÷2→剪开之后的直角三角形面积。]

生7：我们组认为锐角三角形、钝角三角形和平行四边形的关系密切，因为把平行四边形从一对大的对角剪开得到两个锐角三角形，从一对小的对角剪开得到两个钝角三角形，而且锐角三角形、钝角三角形的面积都是平行四边形面积的一半。

[师引导学生通过操作、观察和对比等活动，想办法证明从平行四边形剪出来的两个三角形是完全一样的锐角（钝角）三角形，使学生认识到平行四边形的底和高分别是锐角三角形与钝角三角形的底和高，从而推导出锐角三角形的面积、钝角三角形的面积=底×高÷2。同时，师让学生回顾推导过程，使学生明确：底×高→剪开之前的平行四边形面积→底×高÷2→剪开之后的锐角（钝角）三角形面积。]

师生（总结）：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面积=底×高÷2，所以三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。

（师用课件演示回顾学生经历的三种三角形和学过图形之间的连接、转换，并梳理出“怎么学”的完整过程，如下图）

【评析：本环节，教师并没有按照教材编排的思路（把两个相同的三角形拼成一个平行四边形）进行教学，而是循着学生的思路（把平行四边形、长方形分成两个一样的三角形）顺势而为。通过对三种三角形的研究，不仅让学生透彻理解、扎实掌握了三角形的面积计算方法，明晰“对未知进行分析→联想相关的已知→建立联系，进行转化→问题解决”的一般研究过程和方法，而且让学习方法的教学真正“落地生根”，有效达成“四基”目标。】

三、推导对比，寻找异同

【评析：通过对比、分析，让学生认识到自己的“割”与书上的“拼”都是用联系和转化的思想方法解决问题，进一步突出和强化了过程与方法的教学。】

四、介绍算法，拓展视野

1.欣赏算法

师：中国古代名著《九章算术》里还有一种新的方法，我们一起來欣赏一下。（课件出示下图）

2.让学生尝试解释“半广以乘正从”的含义

3.师生探究

师生一起按照课件动态演示的过程（如下图），先依次找到底的中点，指出“半广”，然后过中点作左侧边的平行线，并沿着平行线剪下一个小的三角形旋转到上方，转化成一个以“半广”为底、以三角形的高为高的平行四边形。

4.沟通联系

[师引导学生沟通“半广以乘正从”和“底×高÷2”之间的联系。]

【评析：通过对《九章算术》中三角形面积算法的欣赏、理解，拓展了学生的数学视野，丰富了知识的背景，巩固了学生习得的算法。】

五、练习巩固，深化理解

习题：在钉子板上围出一个面积是6个方格的三角形，并说出自己的想法。（生操作后交流自己的想法）

【评析：这是一道开放性习题，多维度地巩固学生计算三角形面积的方法。同时，可以让学生通过数方格的方法数出三角形的面积，进一步验证上述三种三角形面积计算公式的推导策略。】

六、讨论交流，全课总结（略）

七、课外延伸，内化升华

师：三角形的面积除了用“底×高÷2”的方法计算外，还有很多种方法，如初中可以用三条边的边长直接求出它的面积等。感兴趣的同学可以上网查一查，看还有哪些方法可以计算三角形的面积，并和同样喜欢研究的同学交流一下。

……

【评析：通过向课外延伸，使不同的学生在数学学习上有不同的研究和发展，并给学生的后继学习埋下了一颗希望的种子。】

（责编 杜 华）