在度量中感悟本质

谈有恒 张宏伟

[摘 要]通过对比三角形旋转前后每条边、每个点，以及整个图形运动前后、运动过程中数与形的变和不变，使学生认识到旋转的本质，能运用所学的旋转知识解决生活中的实际问题，发现并欣赏数学的旋转之美。

[关键词]度量；本质；图形；旋转；全景式数学教育

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2018）15-0010-02

课前思考：

“图形的旋转”属于“图形与几何”领域中“图形的运动”的相关内容，《数学课程标准》（2011版）对该内容在义务教育阶段的不同学段有不同的要求。同时，小学数学教材对“图形的旋转”的内容具体编排如下：一是在二年级下册安排学生初步感知生活中的旋转现象；二是在五年级下册安排学生从具体到抽象进一步认识图形的旋转，掌握在方格纸上画出简单图形旋转90°的方法，能运用旋转在方格纸上设计出简单的图案，懂得从旋转的角度欣赏生活中的图案，进一步增强学生的空间观念。通过分析可以发现，教材这样编排，使两个学段的教学目标呈螺旋上升态势：第一个学段侧重直观感知生活中的旋转现象；第二个学段对学习旋转的要求略有提高，主要探索旋转的特征和性质。

教学目标：

1.通过不同的旋转现象，认识旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向、旋转角度。

2.利用教具探索旋转的特征和性质，理解旋转的本质，掌握在方格纸上画出简单图形旋转90°的方法。

3.欣赏图形的美，体验数学的应用价值。

教学过程：

一、不同旋转对象的对比

师：二年级时我们已经学过旋转的知识了，现在请你说一说在生活中看到的旋转现象。（生自由说后，师出示不同的动态旋转现象，如下图）

【评析：教师选取生活中的典型例子，帮助学生建立正确的认知表象，使学生直观感知什么是旋转，为后续探究旋转的本质打下了坚实的基础。】

师：闭上眼睛想一想这些物体的旋转状态，并思考这些不同的旋转现象背后有哪些共同的特点。（生先独立思考再组内进行交流，最后总结出小组意见）

【评析：教师这样提问，促使学生去想象、去思考如何去物留形，进行第一级抽象，培养学生的空间想象力。】

生1：图中的旋转现象都是按一定的方向旋转的。

生2：都是绕着轴或点进行旋转。

师：这点或轴叫作旋转中心。

生3：有的旋转了一周，有的旋转了一部分。

师：也就是说，旋转了一定的角度。

【评析：教师让学生观察足够丰富的旋转现象，思考、总结出所有不同旋转最显性的本质特征（三要素），这个“异”象中察其“同”的环节是研究旋转现象中不可忽视的第一步——非量化的、浪漫的、整体性的思考和分析。】

二、旋转前后的对比

1.整体认识

师出示磁性教具（方格纸和三角形，如下图），演示将方格纸上的三角形顺时针旋转90度。

师：这是旋转吗？为什么？（引导学生用刚刚学习的旋转三要素进行判断和描述）

【评析：学后即用，引导学生从生活化、个人表达上升到数学化的规范描述，这是培养学生数学表达能力的重要途径。】

2.探索旋转背后的本质

（1）每人利用手中的学习单，通过观察、测量等方法，比较旋转前后整个三角形以及它的每条边、每个点什么发生改变，什么保持不变，并把自己的发现简要地记一记。（准备研究工具：量角器、直尺）

（2）小组交流讨论。

（3）小组代表呈现旋转的模型，上台反馈小组的发现。

生4：位置（指方向）变了。

生5：大小、形状没变。

生6：图形每条边的长度保持不变。

生7：图中各个点之间的位置关系保持不变。

生8：图中每条边、每个点旋转的方向和角度都是一样的……

（师适时表扬学生能分别从数量和空间的角度“看”旋轉，而且学生在这里还出现了“旋转90度”的说法）

【评析：这个环节的主要目的是通过旋转前后，比较整体与部分间的形状、相对位置、大小的变和不变，进一步深化学生对旋转本质的认识。】

3.深度理解，学为所用

师：画两条线段，研究步骤如下。

（1）讨论线段OA、OB的旋转度数，观察起点线（参照线）。旋转后，A点在哪个格上？为什么？

（生汇报线段OA在旋转过程中的变化，明确旋转中心O在线段OA上，然后在方格纸上用黑色记号笔画出旋转角的两条边，并利用三角板的直角验证旋转的角度、距离）

（2）猜测：线段AB是不是也向着这个方向旋转了90度？为什么？

生9：因为A、B两个点都顺时针旋转了90度，所以线段AB也顺时针旋转了90度。

生10：在线段AB上任意取一点C，找到旋转后的位置，这说明线段AB顺时针旋转了90度。（生上台操作，过程如下图所示）

师：观察从C点到中心点的距离和AB两点间的距离，发现了什么？（生讨论交流）

师：每个点距中心点的距离（长度）始终保持不变，每个点和其他点的距离（相对位置）不变。

师：线段AB上的每一个点以及图形上的每个点是怎么旋转的？（生讨论交流）

师（总结）：按照相同的方向、相同的距离旋转，且任意两点间的距离保持不变，才能保证旋转前后整个图形的形状和大小不变。

【评析：这个环节，教师借助自制教具在方格纸上旋转的直观方式，选择最容易观察、度量、分析的边的旋转作为突破口，创造性地引进参照物这个标准——第四要素，让学生进一步感悟旋转前后数、形和位置的变与不变，使学生深刻理解了旋转的本质。此外，这一环节还为学生画旋转后的图形打下基础，使每个学生学会的不再是生硬的、机械式的操作，而是基于理解知识本质前提下的思维方式。】

三、画旋转

师：（出示下图）画出方格纸上三角形按逆时针方向旋转90度后的样子。

（交流展示作品，并让学生说说画的过程及需要注意的问题）

【评析：通过画旋转的过程，深化学生对图形旋转前后数量与空间形式关系的理解，使学生进一步明晰旋转的本质。】

四、实用与形式之美

1.观察演示

师：生活中人们利用图形的旋转、平移和对称，创造出了许多美丽的图案。（PPT动态演示经过旋转后得到的图形，如下图）

2.利用旋轉解决生活中的实际问题（略）

【评析：这里，教师引导学生先运用数学眼光看待现实世界，再运用所学的旋转知识解决生活中的实际问题，使学生从中发现并欣赏旋转之美，进一步体会到数学的价值和美丽。】

五、学习总结

师：我们研究旋转经历了几个主要过程？现在你对旋转有了哪些和原来不一样的认识？

……

总评：

本节课，教师依据全景式数学教育主张，准确定位学生研究旋转的路径和内容，即从度量的角度研究旋转现象中的位置关系和变化规律，着力引导学生对旋转的本质进行精确化认识，使学生体会到旋转中的变与不变。同时，教师根据“以学为中心”的理念，对教学内容和教学流程进行创新设计，力图教给学生研究图形运动的一般性、结构性的方法，使学生真正掌握所学知识，获得不同的发展。

（责编 杜 华）