微积分中微元法在专业中的应用案例研究——以医药学专业为例

崔 艳，吴 娟

（亳州职业技术学院，安徽 亳州 236800）

一、高等数学与专业需要相结合的必要性

高等数学作为一门重要的基础课，一方面是高职各专业基础课和专业课必不可少的基础工具,为学生学习后继课程和解决实际问题提供不可少的数学基础知识及数学方法；另一方面,通过各个教学环节培养学生具有比较成熟的运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力[1]。目前数学教学知识结构单一，数学老师对于专业需要的数学知识不了解或了解不多，所以授课过程中，与专业相关的例子很少，没有体现出数学在专业课中应用，很多学生产生了数学与专业无关和数学无用的错误思想。

高等数学是为专业的学习服务的，因此将高等数学课程教学与学生所学专业紧密结合，更能够彰显该课程的价值和意义[2]。对于与专业课程紧密结合的教学模式，宿彦莉[3]指出高等数学课程教学要将基础课程与专业课相结合，并强调注重学生数学能力的培养；张绍阁[4]介绍了高等数学为专业课程教学服务所存在的问题，提出高等数学与专业课结合应遵循的原则。所以高等数学的教学要围绕并立足于专业需要，在高数课程教学中渗透专业思想，为后续的专业课提供有益的支撑，强化运用数学知识解决实际问题的能力，培养应用型、复合型高素质人才。

二、案例教学法

案例教学法起源于1920年代的美国哈佛商学院，当时是采取一种很独特的案例型式的教学，这些案例都是来自于商业管理的真实情境或事件，通过此种方式，有助于培养和发展学生主动参与课堂讨论，与传统教学法相比，案例教学法能够启发学生的思维，提高学生的学习兴趣，改善课堂氛围，拓展学生的知识视野培养学生的综合能力，促进学生更好地发展。将案例教学法应用在高等数学教学中对提升高等数学的课堂教学效果有着很大的帮助。

在使用案例教学时应注重加强概念、方法的实际应用，采用具有应用意义、与专业知识相关的案例进行教学。以专业中的实际问题为背景，导入数学概念和思想，将形成的概念、方法应用到专业实际问题中，并通过合适的案例介绍数学知识的应用，同时注意加强与实际应用联系较多的方法、技能的训练，弱化计算的复杂性与技巧性，使学生在学习中清楚数学在专业的作用，提高学习的进行兴趣。所以，要求教师在备课时，根据不同的教学内容，进行精心的教学设计，以与专业相关的案例恰当导入，使学生对数学知识有一个立体、深入的体验.在教学中，注意尽量避免纯理论授课，注意各部分的衔接与联系，相关知识与专业知识的联系与应用，让学生能感受到数学来源于生活，运用于生活，生活中处处蕴含着数学，感受数学的美[5]。

三、微元法的概念

微积分是为了解决实际生活中的问题而诞生的是一门学科，且它在实际应用中得到不断的完善和补充，成为了一门理论性较强的学科，微元法思想则是微分学的主要思想，指在处理问题时从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体目的的方法，思想就是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。

定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式，为了简单实用起见，常采用“微元法”的形式。从定积分的角度来看，其主要思想是：在微观条件下，对于曲线，曲顶和不均匀物体经过无穷次的微分之后在微小部分都可以看做是直线，平面和均匀的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”的思想.

从宏观的角度，对于求连续函数y=f(x)在[a,b]上与x轴所围的面积S时，如图1所示，在区间[a,b]上任取一点x，取宽度为△x，当△x很小时，可以认为在区间[x,x+△x]上y=f(x)是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为dS=f(x)△x=f(x)dx.

图1 微元法的意义

此时把dS＝f（x）称作为“面积微元”。把所以的小矩形面积全部累加求和便得到图形的面积值S。这种累加是通过积分来实现的，即

此求面积S的问题可用定积分来计算应具有的两个特点：1.区间的可加性，此条件是显然的；2.表达出小矩形面积△S，即

对于其中的f（x）△x是很好表达出的既是“长乘宽”。但对于ε△x却是很难表示出，其实ε△x即为△x高阶的无穷小量，故此项ε△x就可以忽略舍去，所以△S也就可以表示为：

其中的dx是△x，dS则称为面积S的面积微元，简称微元。所以用定积分求面积问题其关键在于求出面积微元即可。

设f(x)在[a，b]是连续的函数，作它的上限可变的积分表达式：

是f（x）的一个原函数，即dU（x）=f（x）dx.于是，

这表明连续函数f(x)的定积分就是△S=f（x）△x+ε△x的微分的定积分.由理论依据(2)可知，所求总量A就是其微分dU（x）=f(x)d(x)从a到b的无限累加得这种取微元f（x）dx计算积分的方法称为微元法.运用这种微元法思想，同理还有求出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等。它在物理学，经济学，生物学，化学、医药学等学科都有着广泛的应用；通过微元法的思想我们就可以求出生活中许多实际问题，且方便、有效。

四、医药学专业中微元法应用案例

（一）胰岛素平均浓度的测定

胰岛素是由胰岛细胞受内源性或外源性物质(葡萄糖、乳糖、核糖、精氨酸、胰高血糖素等)的刺激而分泌的一种蛋白质激素；胰岛素是机体内唯一降低血糖的激素，同时促进糖原、脂肪、蛋白质合成。正常人空腹血浆胰岛素浓度5-20mU/L,在注射大量的葡萄糖后上升至高峰,高峰为基础值的5-10倍，3-4h恢复到基础水平[6]。

如在实验中首先让病人在实验前3h停服对实验有影响药物,调节情绪,禁食一夜后降低血糖水平,然后注射大量的葡萄糖,测得空腹、注射后内胰岛素不同时间的浓度，计算病人1h内血液胰岛素释放的平均浓度。例在一临床实验中，先让患者禁食，降低体内血糖含量，然后通过给患者注射大量的糖。经测定患者血液中胰岛素的浓度C(t)（单位：ml）为，

其中时间t的单位为分钟，求1小时内患者血液中胰岛素的平均浓度

解 先用微元法计算1h(60min)内胰岛素的总量,在［0，60］内任取一小区间［t，t＋dt］,由于 dt变化不大，此时间内胰岛素的浓度近似等于t时刻的胰岛素的浓度C（t）,所以胰岛素量的微元为d(D)=C(t)dt,于是可以计算1h内胰岛素的总量为：

由连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的平均值为可知

（二）单位时间内流过血管截面血流量的测定

单位时间内流过血管某一截面的血量称为血流量，血液中的一个质点在血管内移动的线速度,称为血流速度。按血管内流动方式分为层流和湍流两类，在层流的情况下，液体每个质点的流动方向都一致，与血管的长轴平行；但各质点的流速不相同，在血管轴心处流速最快，越靠近管壁，流速越慢[6]。

例 设有半径为R，长为L的一段血管，两端测得血压分别为P1和P2（P1＞P2）。已知血管截面上距离血管中心r处的血流速度其中 η为血液粘滞系数，求单位时间内流过该截面的血流量Q。

图2 截面圆图

解 在[0,R]上任取一小区间[r,r+dr]，则对应一个小圆环，由于dr很小，环面上各点的流速变化不大，可用半径r为处圆周上流速v(r)近似代替。又因为此圆环面积的近似值为2πrdr，故血流量微元为dQ=v(r)2πrdr，于是

可见血流量与血管两端压力差成正比；血流量与血管半径的4次方成正比；血流量与血液粘滞系数成反比。

这就是1842年法国内科医生泊肃叶建立的一个实验公式，即著名的泊肃叶公式，后经哈根(Hagen)采用积分的方法对公式进行了推导，成为研究人体血液循环力学、血液流变学的重要理论基础，是进行血液粘度的测定和利用奥氏粘度计、乌氏粘度计测定液体粘度的理论依据[8]。

（三）药物有效度的测定

药物由给药部位进入血液循环的过程称为药物吸收,药物吸收后从血液循环到达机体各个器官和组织的过程称为分布。口服药物必须先被吸收进入血液循环，然后才能肌体的不同部位发挥作用。一种典型的吸收率函数具有以下形式：f(t)=kt(t-b)2,0≤t≤b其中k和b是常数，求药物吸收的总量[7]。

解 在区间[0,b]上任取一小区间[t，t+dt]，由于dt变化不大，此期间内药物吸收率可近似于t时间的药物吸收率，药物吸收量的微元为dD=f(t)dt，于是

用微元法解决实际问题归结为：(1)在区间中任意小区间以均匀变化近似值代替非均匀变化，列出所求量的微元；(2)对上式积分，即得所求量A的定积分表达式以上两步关键是第一步，只有正确列出所求量的微元，才能运用微元法解决实际问题。

五、结语

通过对高等数学课程教学的现状分析，讨论了该课程与专业结合为主要内容的高等数学教学方式，该方式要求高等数学课程教师，不仅精通高等数学知识，还需熟悉不同学科专业的相关知识及要求，将高等数学与后续专业紧密有机结合。针对药学专业学生的数学教学要配合专业课程体现药学特色，突出利用数学理论知识解决专业问题的思想，强调实用原则；为学生提供必备的数学知识和常用的计算方法，增强他们的数据处理能力、逻辑思维能力以及分析、解决实际问题的能力。把数学的理论应用到实际中去，将数学思想渗透到社会背景及学生的专业中去，学生感受到学习的实用性，不但可以激发学生学习数学的兴趣，还有助于提高他们学习专业课的积极性。

[1]李海霞,聂东明,等.论高等数学与专业需要结合的必要性及应对措施[J].赤峰学院学报(自然科学版),2017,33(19)：18-20.

[2]文传军,刘 坤,等.目标驱动、专业结合的“高等数学”课程教学研究——以常州工学院“高等数学”教学为例[J].常州工学院学报,2013,26(5)：89-92.

[3]宿彦莉.以提升就业能力为目标构建高等数学课程体系[J].辽宁高职学报,2009,11(12)：14-15.

[4]张绍阁.高等数学教学与专业课程结合的探索与实践[J].数理医药学杂志,2012,25(4)：494-495.

[5]赵 娟.关于高等数学教学与专业相结合的探讨[J].铜仁学院学报,2016,18(4)：190-191.

[6]赵 珍.医学数学模型中定积分微元法的构造[J].数理医药学杂志,2015,(3)：319-320.

[7]王 慧,柯善文,等.医药卫生工作中微元法的应用举例[J].甘肃科技,2011,27(7)：183-184.

[8]于金贵.心输出量测定方法及其评价.第七次华东六省一市麻醉学学术会议，2008.