全景式教育之数学历史和文化课程的重建(上)

北京亦庄实验小学(101102)

张宏伟 (特级教师)

一、综述

数学史是研究数学的历史，不仅追溯数学内容、思想方法的演变和发展过程，而且探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。它研究的对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史、哲学、宗教等社会科学与人文科学内容。

数学文化从广义上讲，研究的内容不仅包括数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展过程，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育及数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。

与小学数学内容相关的数学历史和文化，在小学数学教育中具有独特的、重要的课程价值。在当前的信息化时代，我们可以轻而易举地检索、收集到很多数学历史和文化相关的资料，但是这些现成的资料并不等于课程。目前，小学数学还没有对数学历史与文化进行系统、科学的梳理，更没有构建成融合数学历史和文化内容的小学数学课程。

全景式数学教育认为：“就像不能脱离中国的历史和文化学习汉语一样，也不可能脱离数学历史和文化去学习数学。如果把某一数学知识比喻成一棵树的话，那么数学历史和文化就是养育它的土壤、水、空气与阳光。”全景式数学教育一直致力于把数学知识还原到数学历史和文化之中进行学习与研究，着力构建数学知识和数学历史与文化和谐统一、全景、完整的数学课程与数学教学。

那么，如何从发展学生数学素养、促进学生发展的角度，搜索、筛选出学生成长所必需而又可学、能学的数学内容呢？如何将这些数学内容系统化编排、构建成适合学生学习的数学课程？如何系统地引导和组织学生自主、完整地研究这些课程……多年来，我一直在思考这些问题，并带领全景式数学教育团队在课程建设和教学中进行系统的尝试与实践，积累了一定的实践经验，此文便是我们的思考和实践的总结。

二、缘起——从一节跨年级的公开课谈起

2003年，我在山东济宁乔羽学校任教，该校是九年一贯制学校。我在小学低年级、高年级和八年级都曾经尝试上同样的一节数学课——“数学符号的秘密”，本节课有以下教学目标：一是引导学生认识到对一些符号，乃至对任何事物进行追根溯源，都是深刻理解和认识这些符号或事物的重要途径；二是改变和增强学生的问题意识，让学生认识到日常生活中司空见惯的、通常认为已经没有问题的地方往往隐藏着更深刻、更重要、更有价值的问题；三是引发学生探究数学历史和文化的兴趣，让学生受到数学历史和文化的润泽。当然，同一课程，面对不同学段的学生，其教学目标、难易程度以及教学容量等都是有所不同的。

课堂教学：

(课始呈现下面常用的数学符号)

+ - ÷ : = ≈ <> % ∏ ( ) mg kg T mm cm m km m2∥1 2 3 4 5 6 7 8 9 0……

⌒ ± ∑ ≤ ≥ log ∈ ∞ ∝ ∪ ∩ ∽ ≌ ∴ ∵ sin cos tin ≠ △ ⊥ || ……

当然，面对小学生和初中生，我呈现的符号是不一样的。面对小学生，我只呈现第一段中的符号，面对初中生则全部呈现上述符号。但是，接下来的活动都是一样的，即要求学生“挑选出你认为已经了解得非常清楚，感觉已经没有任何问题的符号”。无论是小学低年级学生、高年级学生，还是初中生，他们最先挑选出来的几个符号竟然出奇的一致，都是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个阿拉伯数字，理由很简单，因为父母从小就开始教他们识数了，而且有的学生还认为自己已经了解了阿拉伯数字的“前世今生”(始于印度，通过阿拉伯流传到中国)。

于是，我激励和点拨学生：“你认为最没有问题的事物，往往存在着更大、更难、更重要、更需要进一步解决的问题。”“在大家都认为没有问题的地方发现问题，才是最牛的事情。”“在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，还有重大的问题你们没有发现！”这时学生个个满脸疑惑，因为他们不认为这些数字有问题，反倒认为“老师的脑袋出了问题”。我继续引导学生思考：“人类为什么用2这样一个字符表示两个数量？用这个字符表示3个物体可以吗？这是没有理由的硬性规定，还是始于无意的约定俗成？这些数字之所以这样写，最初的构造逻辑到底是什么……”这些问题，很多教师可能也没有思考和追问过，但让我倍感意外的是，很多学生竟纷纷表示自己知道数字的“前世今生”。如有学生说：“数字0的产生源于原始人的狩猎活动。”古人捕捉到猎物后都是把它们放在一个圈里，当圈里有三只猎物时，就用数字3表示；当圈里有两只猎物时，就用数字2表示；当圈里有一只猎物时，就用数字1表示；当圈里一个猎物都没有时，就只剩下一个空空的圈了，于是就画一个这样空空的圈，也就是0来表示。”学生的回答让我想起了自己曾经听过的一节课——“0的认识”，在这节课上，执教教师所展示的0的由来与学生的解释一模一样，但数字1的构造逻辑真的是这样吗？

我的联想和反思：

关于0，成人也有以下三种观点：(1)认为0的写法源于人们以前用空格的习惯，即空的地方用笔随手一圈比较方便，于是就有了0的写法；(2)与学生对0的解释一样，认为应用空无一物的猎物圈表示；(3)认为就是一个符号而已，追问这个问题没有意义。

其实，阿拉伯数字的构造逻辑如下。

紧接着，我又对数学的其他符号、概念、法则、规律等进行同样的调查和访问。如：“km、dm、cm、mm、m2、m3的构造逻辑是什么？”“一天为什么要规定为24小时？”“为什么三角形不叫三边形，四边形不叫四角形，而长方形为什么叫长方形，正方形为什么叫正方形？”“为什么先乘除后加减？”……通过调查，我发现了一个让人担忧的现象：很多学生甚至很多数学教师，并不了解我们生活中时时使用的数学符号、数学概念的由来，不了解它的真正历史和其蕴含的文化。如“长方形为什么叫长方形，正方形为什么叫正方形”的问题，我们班共有30位学生，却有22位学生都在单元猜想中提出想了解长方形和正方形名字由来的要求。我上网没有查找到答案，于是咨询了很多教师和数学教授，他们竟然也不能说出长方形和正方形名字的由来，更有甚者，他们所“明白”的竟然是没有求证过的、想当然的臆想或来自于以讹传讹的“数学野史”。

我们的师生为什么会出现这样的现象？问题出在哪里？我认为，是我们的课程资源、教学目标和教学过程都存在相应的不足与问题。

三、小学数学历史和文化课程、教学现状与课程研发价值

(一)小学数学历史和文化课程、教学现状

第一，现行的很多数学教材都以知识窗的方式，碎片化、背景式地给学生呈现一些数学历史和文化，编辑的内容也相对随意，既少又零散，对学生文化滋养的厚度、广度不够，有的甚至缺失。

第二，数学历史和文化的编排与学习目标存在不明确、不完整、不重视的现象。教材对数学历史和文化的编排与学习目标主要局限于知识的了解，既没有安排相应的常规课时，又不纳入教学质量评价范围，属于“正餐”之外偶尔添加的一点“零食”。

第三，数学历史和文化教学到何种程度完全依赖于教师与学生的自觉。虽然有些教师能自觉搜集、整理数学历史和文化，并将部分内容转化为课程，但往往不系统、不完整，有的可能根本不是历史和文化的源本状态，甚至出现知识性的错误。

第四，注重纵向的数学发展过程，较少编排横向的数学历史和文化的介绍与对比。

第五，数学历史和文化的课程价值没有得到充分的重视与开发。

第六，存在脱离数学历史和文化教学数学知识的现象，不能对数学概念、名词追根溯源，导致很多数学内容学生虽知其然，却不知其所以然。

(二)重新审视构建小学数学历史和文化课程的意义与价值

除了拓展学生的知识视野外，数学历史和文化还有以下几个方面更为重要的课程价值。

第一，进一步认识和理解学习数学的价值，明确数学内部和数学外部之间的联系。“数学源于生活，用于生活”，所以学生要了解其产生、发展和形成的过程，必然需要了解每一阶段引发数学变化的内因和外因，这样可使学生从中感悟知识间的内在关联，明晰数学与其他学科以及社会现象之间的联系，进一步体会到数学的价值。

第二，引导学生以发展、变化、辩证的眼光看数学。学生长期进行系统的数学历史和文化的学习，了解数学知识的产生和发展过程中各个阶段不同的形态，逐步形成以变化、生长、思辨的眼光看待数学的意识和能力，甚至感悟到“现在的数学知识也很可能不是固定的”，促使学生不断深入探究数学。

第三，预见、理解和悦纳数学学习过程中出现的障碍。数学历史和文化的学习，让师生均能在知识逐渐进阶、升级、简化、优化的过程中，预见、理解、悦纳出现的障碍，客观、辩证地认识自己的数学学习，并能从源头找到自己出现学习障碍的原因和突破学习障碍的方法，认识到这些障碍的突破是人类探索数学必然经历的过程。

第四，对数学历史和文化的了解、学习与研究，是实现跨学科整合的一个极其重要的路径。

第五，学习数学历史和文化能开阔学生的眼界与视野，丰富学生的知识储备，促进学生成长为完整发展的人。学生在数学历史和文化的研究中无疑能得到更多的文化浸润，更有利于他们立体和完整地认识数学、认识历史、认识万物、认识自己所处的世界，继而促进学生完整地认识自己，成长为完整发展的人。

第六，找到更适合学生当下学习水平的学习路径和方式。人类研究数学的进阶程度与人脑的进化、人类对自然和社会的整体认识水平是相匹配的，在这个不断进阶的数学研究历史中，总会存在“这样一个阶段”：那个阶段的人研究数学的心智水平，与当下正在学习这部分内容的小学生的心智水平相匹配。那么，这个阶段人类研究数学的路径和方式，也就很可能是学生学习当下数学内容最合适的路径和方式。

第七，改变和完善学生的数学观，培养更深刻的数学学习情感。数学历史和文化中有很多内容是直接记载表现数学与众不同的形式美、简洁美、奇异美、理性美，很多内容超出学生的生活常识，富有独特的思维挑战性，能满足学生的好奇心。同时，很多数学历史和文化的内容浸入艺术、体育等学科之中，让学生认识到数学在这些学科上的价值，促使学生更喜欢上数学、热爱上数学。另外，数学历史和文化的内容还涉及社会、生活、人物、历史史实等领域的各个方面，让学生认识到数学生动活泼的一面，使学生多维度地看待数学、认识数学、理解数学，丰富和完善自己的数学观，培养良好的数学学习情感。

第八，数学历史和文化课程对培养学生的数学思维具有极其重要的价值。完整、简约的数学文化史本身就是数学思考的过程、数学研究的过程、数学问题解决和数学创造的过程，对培养学生的数学思维及使学生学会数学学习、学会数学创新有着极其重要的促进作用。

第九，培养学生的数学精神。数学历史和文化完整地呈现了人类认识从具体到抽象、从现象到本质、从烦琐到简约、从模糊到精确、从感性到理性的发展过程，使学生深刻地认识和感受到数学学习的趣向与追求——客观、精确、理性的精神内核，并逐渐形成自己做人、做事的态度。

于是，我开始陪着学生一起去研究和追溯数学符号的来源、相关文化的渊源，开始对不知道的数学概念的历史和文化进行纠正、完善。在和学生一起不断探究中，我的教育教学思想也逐渐明晰，产生了放大知识研究过程的构想，开始系统地梳理与编辑相应的数学历史和文化内容，并设计相应的数学学习活动，确立了“历史文化课程的全景建设”的基本主张。它旨在让学生经历更多数学知识的学习和研究过程的同时，尝试把每个知识点进行还原，穿越古今，跨越领域，追根溯源，相对完整地呈现数学知识产生、衍化和发展的过程。同时，我尝试构建完整而又简约的全景式数学历史和文化课程，让学生全面、完整地了解相关数学知识的文化背景，多维度地认识数学、理解数学、刻画数学、应用数学，使学生对数学的认识和理解更立体、更丰富、更深刻，从而获得更为充分的情感体验，积淀更为厚重的文化底蕴与人文精神。

四、课程检索和编辑的三个维度

数学历史和文化课程的全景建设，首先研究的是课程内容的搜索、确定和编辑，主要从纵、横、越三个维度进行建设。

(一)纵

数学历史和文化课程的全景建设中的纵，是指数学教育要引导和鼓励师生对每一个数学符号与每一个数学知识点都刨根问底、追根溯源，尝试从它的历史源头开始研究，了解其产生、形成、发展的纵向变迁的全部过程。

案例：“全课程”数学读本第一册(数学的认识课程)

2013年，我主编“全课程”数学读本第一册(2014～2015年度第一学期使用)，在编写“认识1～5”的内容时，设计了以下两个活动：一是在新学习阶段，先让学生用数手指的方式对同样数量的不同物体进行计数，再摆棋子，然后过渡到自创符号表示数，最后抽象出数；二是进行识数活动“让我来”(如下)。

学生完成上述两个活动，其实就相当于简约地经历了人类计数衍化、发展的历史过程，了解了数字基于使用、方便、简洁的需要创造的动因、方法和过程：身体计数→以石计数→结绳计数→刻痕画圈代替→各种符号计数。然后我出示下图，让学生观察和思考：“每个国家(地区)都各自用不同的符号来表示数字1，为什么唯有阿拉伯数字的1成为全世界通用的数字？”通过问题，让学生认识和理解人类对符号的进一步精简，并最终约定使用一种统一性的符号(阿拉伯数字)。接着，我让学生观看阿拉伯数字由来的视频，引导学生进一步了解阿拉伯数字的构造逻辑，感悟其内在本质，体验人类的思维、创造之美。最后，在学习0～10后，我又安排了以下两个活动：一是阅读课外绘本，了解完整的数数过程；二是和戏剧进行整合，让学生排演《数的产生》大型戏剧。这样就使学生对人类抽象、创造、改进10个数字的过程有了一个全景、完整的了解，激活和发展了学生的思维。

这样的经历多了，学生自然会慢慢感悟到每个数学知识点都能从不同的角度，用不同的方式进行刻画、建模和表达，使学生的理解更为充分、深刻。更重要的是，学生还能从中积累发现、思考和创造数学的间接经验及策略，感受到学习数学的价值。

(二)横

数学历史和文化课程的全景建设中的横，指了解和研究某个数学知识在同一时期、不同地域的情况。通过对不同地域数学的创造进行对比，加深学生对数学本质的理解，获得不同地区数学历史和文化的润泽。

数学语言是人类语言的重要组成部分。同理，数学中的名词、符号(概念)和固定的语句(命题等)也是数学文化意识的结晶，是人类对数学本质的感知、抽象和概括。而且，数学名词、符号和固定语句蕴含着数学知识本身，是研究数学的基础，它们的内涵和外延又决定了这个概念(命题)构造的方式、构造的单位(字)和构造的逻辑本身。另外，同样的数学名词、符号和固定语句，东西方使用了不同的字和词，按照不同的逻辑去构造，这其中也必然凝聚着东西方各自的不同文化。

不止于此，由于东西方字、词的写法蕴含着不同的构造逻辑与文化背景，所以我在教学中有计划、系统地针对不同的内容呈现不同地域(国家)、不同民族(人种)创造的不同表达数量的方式——不同符号(数字、图形等)，先让学生猜测这样构造的想法，再加深学生对概念理解、认识和背后文化的感悟。因此，对东西方表达数学概念的词汇的由来追根溯源和对比，是了解东西方不同数学文化不可或缺的方法和路径。

1.图形与几何课程案例——概念构造和界定的横向对比

第二个环节，我和学生一起猜测中国定义“周长”的逻辑。先猜测“周”的含义，学生的回答为“周围、一周、四周”；再猜测“长”的含义，学生立即猜到“长度”，这样组合起来的“周长”就是指“周围一周的长度”。这样教学，通过对东西方两个词汇构造逻辑的探寻和追溯，实现引导学生对“周长”这个概念的初步理解和认识。

第三个环节，我引导学生把英文单词perimeter表达的意思和中文“周长”表达的意思进行对比，学生立刻认识到环绕周围测量的米数就是周围一周的长度，感悟到东西方虽然语言和地域不同，但是对事物的数学认识竟然是那么出奇的一致。我接着出示“数学是人类共同的语言”，学生马上从心底认同这一说法。

这个课程的设计，让学生从东西方不同的文化中全景地看待和理解“周长”这个数学概念，深化了学生对数学语言的认识。

2.数与代数课程案例

如“分数的初步认识”一课的教学，我与学生一起完成分数写法和读法的横向对比与研究。

活动(1)：学生通过上网、查资料、咨询等途径进行自主研究。

活动(2)：共同交流分数写法之“横”。

我把学生调查到的各国不同的分数写法进行甄别、筛选和汇总，并通过多媒体呈现出来，然后引导学生猜测古代各地使用这种方式表示分数的想法。这样教学，引导学生对分数的意义进行初步的猜测、理解和感悟，同时也是对不同地域文化认识的点滴积累。

活动(3)：交流和研究分数读法之“横”。

以分数3/4为例，中文读“四分之三”，日本读“四分の三”，英文读“3 over 4 ”。通过对比，学生立刻就能意识到日本对分数的读法源自中国。接下来，我引导学生对比、猜想、搜索中英文对分数读法的含义和内在的逻辑。中文对分数3/4的读法为“四分之三”，其语句由“四分”“之”和“三”这三部分构成，我让学生感悟其构造逻辑的过程如下：①先猜测“四分”的含义——分(平均)成4份。②再猜测“之”的含义，学生的理解为“其中”“的”“拿”等。在学生充分猜想的基础，我现场上网用汉典查找“之”的含义，使学生了解到“之”是会意字：之，出也，象艸过屮，枝茎益大，有所之。因此，这里的“之”是从“四份”中衍生出来的，取“出来”之意。③猜测“三”的含义，就是其中的3份。④最后，让学生综合起来猜测“四分之三”的意思，几乎所有的学生都能明白是“平均分成4份后取出其中3份”的意思。

学生课后和家长一起调查，回到课上与同学交流和分享，又弄明白了英文对分数读法的构造逻辑和含义。分数3/4，英文读法为“3 over 4 ”，也是由三部分构成，其中over的含义有两种：一是“在……上面”；二是数学中的“除以”。因此，分数3/4，英文读法的构造逻辑是两种会意的统一：一是3写在4的上面；二是表示3除以4。这是分数产生的源头和动因，即在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商，为了使除法运算可以进行，需要引进一种新的数——分数。

中英文对分数的读法分别从“实际度量与均分”和“计算封闭的需要”两个角度解释了分数产生的根源，并互为补充，促进了学生对分数意义的理解，完善了学生对分数的认识。如果长期坚持追溯数学词汇、符号、固定语句由来的研究，学生不仅会从一个新的视角和渠道加深对数学知识本身的理解，还会从东西方的概念构造逻辑中感悟到构造概念、创造概念的一般方式和方法，感受到东西方文化的不同和统一，丰富了学生的文化积淀。

(三)越

这里的越，是指发现和建设超越课本数学知识的数学文化内容(包括与课本数学知识相关的社会文化背景，以及与其有关的历史故事和数学家的故事等)，及人文精神、思想意识和思维方式等。

1.发现和建设超越课本数学知识的数学文化内容

在数学课程建设和教学中，我会适时、适量地引入一些超越课本的数学知识，甚至超越数学本身的历史和文化内容。如教学圆锥的内容时，我把学生带到沙道上，研究自然形成的圆锥形沙堆的母线与地面的夹角，使学生发现所有自然形成的圆锥形沙堆、土球的共同规律——母线与地面的夹角为51度左右。然后我让学生阅读数学漫画中关于埃及金字塔的介绍，感受古代埃及人的智慧和文明。

2.发现和建设超越数学知识本身的人文精神、思想意识和思维方式等

课程案例：长方形和正方形

长方形和正方形中“正与方”的属性，以及作图和测量的工具“矩”，关系着人成长所必需的品格和传统的道德文化。三年级学生是规则意识深度建立的重要阶段，正是基于这种思考，思想品德和社会课专门设置了养成课程。如人教版思想品德和社会教材专门设计《我和规则交朋友》(含自己制定规则)这个学习单元，帮助三年级学生建立规则意识，这不仅仅是思想品德和社会课教学的任务，而且是所有学科教师都要自觉实现的重要的公共教育目标。为此，我特意和身兼班主任、语文学科教学的教师设计了一节超越数学本身的“图形中的文化课”。课也是从万物有形开启，从象形字开始。课上我先让学生展示自己搜索和研究的成果，如与矩、方形有关的成语、名言、典故等，然后出示奥巴马最喜欢的、挂在白宫里的唯一的一幅名画，与学生一起讨论奥巴马珍视这幅画的原因，引导学生和日常行为规范进行联系，对学生进行文化渗透和品格培养。

又如，教学质量单位时，引导学生了解杆秤上蕴含的数学、天文知识和中国古代的人文精神；教学长度单位时，引导学生了解与长度单位有关的国内外文学、历史、哲学等知识。

课程案例：用“2×5-9”编题

二年级上学期，学习乘减法之后，我让学生联系实际生活，用“2×5-9”编题。生1：“有2辆汽车，每辆车上坐5个人，撞死了9个人，还剩下几个人？”我评价道：“符合要求，但是同学们对这样的题有什么感觉？”学生都皱着眉头说：“太可怕了，太悲惨了。”“对！我们要想一些美好的事情。”生2马上举手说：“2辆汽车，每辆车上坐5个新娘子，被新郎领走了9个，还剩下几个新娘子？”学生听后哈哈大笑。“喜庆的婚礼是挺美好的。大家能不能说说发生在我们自己身边的事？”生3：“我爸爸昨天买了2盒桃子，每盒5个，我送给对门的老爷爷9个，我留下了几个？”“你懂得尊敬老人、关爱老人，非常好！这件事是真的吗，孩子？”他羞愧地回答道：“不是。”“我建议大家讲一些真实的事情。”生4：“我画了一幅画，每行画5个三角形，画了2行，被我划掉9个，还剩下几个？”他的编题赢得了大家的掌声。最后，我让学生课后再到生活中去寻找用“2 ×5-9”来解决的真实问题和事情。

学生的回答从知识训练的角度看是没问题的，但细心的数学教师会发现，学生在编题中存在说谎和涉及暴力等不良现象。如果我们教师能在关注知识传授的同时，使学生形成向善、尚美的品格，特别是求真的心，不是更好吗？所以，我利用这样一个小小的契机进行引导，最终让学生的思维和情感趋向真善，对学生进行了超越学科的人文精神和情怀的文化滋养。

这里需要特别注意的是，历史和文化课程素材的收集需要长期坚持：第一，坚持和学生一起探究，且以学生自己搜集、研究的素材为主。只有这样，学生的学习和研究才会真正发生，学生自主学习和研究的能力才会逐步得到培养与提升。第二，坚持和其他学科教师及家长协同进行。第三，坚持引导学生对搜集的资料进行纵、横的分类和整理，尝试厘清其中的逻辑关系。第四，坚持根据学生当下学习和生活的实际情况合理安排，防止加重学生的负担，耽误正式课时的学习。(未完，待续)