时滞加速度反馈控制下悬索的主共振分析

李禄欣，彭 剑，2，向明姣，谢献忠

（1.湖南科技大学 土木工程学院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大学 结构抗风与振动控制湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201）

悬索结构是大跨度空间结构的一种重要形式，在建筑、桥梁、电力电讯等工程领域得到广泛应用。但是，随着悬索跨度的增大，在外部荷载下悬索的振动愈加显著，导致结构疲劳破坏，给人们的生产生活带来极大的危害。因此悬索的振动控制逐渐成为了工程实际亟待解决的关键问题之一。

许多学者已经对悬索结构的线性/非线性动力学行为和振动控制策略进行了研究[1–3]。谢献忠等[4]考虑了邻档输电线通过悬垂绝缘子串产生的相互影响，建立了输电线路非线性耦合振动的动力学模型，并通过算例进行了分析。杨立军等[5]分析了温度变化、振幅、外激励等因素对椭圆型双曲抛物面索网非线性振动的影响。赵珧冰等[6]对比分析了悬索主共振响应的多尺度解与同伦分析解。Iyengar等[7]分析了受横向加载悬索的自由振动和参数不稳定性。Fujino等[8]从主动刚度控制对索进行了研究，同时，通过边界控制来抑制悬索振动的方法被提出[9–10]。此外，被动阻尼器是振动控制常用的设备，其作用位置一般靠近悬索支座（尤其对于较长的悬索），尽可能限制可实现的最大模态阻尼[11]。Pasca等和Gattull等[12–13]利用可移动支座对悬索面内/面外的非线性振动进行纵向反馈控制。

近年来，时滞问题受到许多学者[14–15]的广泛关注与研究，时滞反馈控制也有了一定的发展。赵艳影和徐鉴[16]研究了时滞非线性动力吸振器的减振机理。齐欢欢等[17]对超音速飞行器机翼颤振进行了时滞反馈控制研究。刘晓平等[18]研究了主动引入时滞的结构振动输出反馈控制方法，并取得较好的振动控制效果。吕书清[19]对时滞反馈系统的主动控制方法进行了研究，并得出系统最大允许时滞量的解析确定方法。刘灿昌等[20]研究了参数激励下非线性振动时滞反馈最优化控制参数的确定。孙艺瑕和徐鉴[21]对时滞动力吸振器的控制参数对其减振效果的影响进行了分析。孙洪鑫等[22]通过仿真分析得到了基于磁致伸缩作动器的拉索的振动控制时滞补偿效果。陈茂生等[23]研究了考虑时滞的结构主动质量阻尼(AMD)控制系统的主动最优化控制方法。彭剑等[24]研究了斜拉索控制系统中的时滞效应及其参数稳定性。

时滞反馈控制为两参数控制问题，通过调整反馈控制增益和时滞参数可以达到最优控制，本文基于时滞吸振技术，采用轴向时滞加速度反馈控制策略对悬索的非线性主共振响应进行了分析。

1 数学模型及控制方程

如图1所示的水平悬索，利用Hamilton变分原理，引入拟静态假设，忽略其弯曲刚度、扭转刚度以及剪切刚度的影响，可以得到悬索的面内非线性运动方程为[6,13]

式中：m为悬索的线重，c是悬索的阻尼系数，E为弹性模量，A为横截面积，H为水平张力(H=mgL2/8b,H≤EA)，L为悬索的跨径，b为垂度，g为重力加速度，uc(t)为施加于右端移动支承的纵向位移，外激励F(x,t)假定为简谐激励，其表达式为F(x,t)=P(x)cos(Ωt)，Ω为外激励的频率，P(x)为外激励的分布函数。

本文假设悬索垂跨比较小(b/L＜1/8)，因此其线形可用抛物线描述为y(x)=4b[x/L-(x/L)2]。采用轴向线性时滞反馈策略进行振动控制，即

图1 受控悬索系统的构形与特性

其中：gl为控制系统的控制系数，τ为控制系统的时滞值。引入无量纲参数为

无量纲化之后的运动方程可以表示为

此外，方程(4)及下文中的星号均去掉。

运用Galerkin方法对方程(4)进行离散，设无量纲化之后的位移函数v(x,t)可表示为

方程中：qn(t)为广义坐标函数，ϕn(x)为悬索的第n阶模态函数.将方程(5)代入方程(4)可得

式中：

其它参数及模态函数ϕn(x)见文献[6]。

2 主共振响应

根据多尺度法[25]，引入小量ε（ε＜＜1），调整方程(6)各项的系数 ，即：μn≈ε2μn,Λnnnn≈ε2Λnnnn,Γnnn≈εΓnnn,gl≈ε2gl,fn≈ε2fn·Ω≈ωn+ε2σ,其中：σ为调谐参数。设方程(6)的解为

其中：Tn=εmt(m=0,1,2)。将方程(7)代入方程(6)，并令两端ε0，ε1和ε2的系数相等，得到

通过求解方程(8)到方程(10)，并消去久期项，可得

将An表示成极坐标

其中：a(T2)和β(T2)皆为实函数，将方程(12)代入方程(11)，并分离实虚部，得

其中：

则幅频响应方程为

由方程(15)可知，可得主共振响应幅值的峰值为

3 数值分析与讨论

本节对受控悬索第1阶正对称模态的主共振响应进行数值分析,基本参数如下[26]：横截面面积A=0.1257 mm2，跨 径L=600.5 mm，线 重m=4.8655×10-5kg/m，弹性模量E=1340.83 MPa，阻尼系数μ1=0.005。

图2给出的是当时滞值τ=0.3π，外激励幅值f1=0.003，不同控制增益gl值时，悬索第1阶正对称模态(n=1)主共振响应的幅频曲线。

从图中可以看出，在无控状态(gl=0)下，幅值较大，当gl≠0时，即采取时滞反馈控制后，随着控制增益gl值增大，悬索的第1阶正对称模态的响应幅值迅速下降，控制效果较明显，注意到，gl=0.005时的响应幅值比gl=0.002时降低了近50%，同时，幅频响应曲线也从多值变成单值，跳跃现象消失，共振区有明显偏移。

图2 不同控制增益时受控悬索第1阶模态主共振幅频响应曲线

给定f1=0.003，由图3可以看到，当控制增益gl=0.001，不同时滞值时受控悬索第1阶正对称模态主共振响应的幅频曲线。图中显示，随着时滞，从0.1增大到0.4，响应幅值明显减小，而这一点由图4给出的峰值ap响应曲线可以更加直观地呈现出来，即 响 应 幅 值 随 时 滞τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1))，k=01…,增 大 而 减 小 ， 而 随 时 滞τ∈(kπ/ω1+π/(2ω1),kπ/ω1+π/ω1),k=0,1,增大而增大,呈周期性变化，且幅值的变化率明显高于时滞值变化率。同时，随着时滞值增大，幅频响应曲线弯曲程度增强，共振区域有些许偏移。

图3不同时滞值时受控悬索第1阶模态主共振幅频响应曲线

图5 给出了当gl=0.001时，不同时滞和调谐参数情况下受控悬索第1阶正对称模态的激励幅值与响应幅值的关系曲线。注意到，随着调谐参数σ从-0.05增大到0.15，曲线也从单值变化为多值；随着时滞值τ的减小，曲线弯曲程度增强。

图6可以看出，索力在不同时滞下均呈现出周期性变化，且在τ∈(kπ/ω1,kπ/ω1+π/(2ω1)),k=0,1…时,随着时滞的增大，索力的变化幅值有小幅度减小。因此，可以通过调整时滞值的大小来减少索力的幅值。

图4 不同时滞值时受控悬索第1阶模态主共振响应峰值曲线

图5 时滞作用下主共振响应幅频-激励幅值曲线

图6 时滞作用下拉索的张力变化

4 结语

本文建立了悬索的面内非线性运动方程，采用轴向时滞反馈控制策略，对悬索结构的主共振响应进行研究，通过算例分析，可得如下结论：

(1)主共振幅频响应幅值随时滞变化呈现周期性，

(2)控制增益对振幅影响较大，随着控制增益的增大，悬索的响应幅值迅速下降。选取合适控制增益和时滞值，可以避免共振区，有效抑制大幅振动。

(3)可以通过调整时滞值的大小来减少索力的幅值。

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