数形结合，我的数学解题法宝

吴秋霖

纵观做过的高中数学题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.尤其是在解方程和解不等式问题、求函数的值域、最值问题，以及求复数和三角函数问题时，运用数形结合方法，不仅通过图形能发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，可以大大提高做题的速度与正确率.

一、由数变形

由数变形在解题过程中一般是根据不等式，做出不等式表示的区域，根据图形得到问题的答案.

例1已知：x，y∈R，且x2+y2+2y≤0，求证：x2+y2+6x+8>0.

解析：在直角坐标系中，已知条件可以转变为：x2+（y+1）2≤1，表示圆心在（0，1），半径为1的圆面区域.求证式为（x+3）2+y2>1，表示半径为1，圆心为（-3，0）的圆的外部.从图形可知，圆面x2+（y+1）2≤1上的点在圆（x+3）2+y2>1的外部，所以x2+y2+6x+8>0成立.

二、由形变数

一般应用于函数值域或某些系数的求解.

例2已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R且ab≠0）的图象如图1，且|x1|>|x2|，则有（）.

A.a>0，b>0

B.a<0，b<0

C.a<0，b>0

D.a>0，b<0

解析：由图知两个零点x1，x2.从而得导函数f′（x）=3ax2+2bx+1的图象是开口向下、与x轴交于点（x1，0）、（x2，0）的抛物线.又由图得a<0，从而可以判断a，b，c的符号.由图象可知：

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f（x）↘极小值↗极大值↘

f′（x）-0+0-

因為导函数f′（x）=3ax2+2bx+1的图象是开口向下、与x轴交于点（x1，0）、（x2，0）的抛物线，所以a<0，x1+x2=2b3a.由x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，知：x1+x2=2b3a，所以b<0.答案为B.

三、数形等价

在高中数学解题时，应用数形结合，由形观察数或由数构造图，离不开“观察”、“构造”，需要数形等价进行严格逻辑推理，防误求优.

例3方程x13=2sinx的实根的数量是（）.

A.3B.7C.5D.9

解析：应用图象法，作函数y=2sinx和y=x13的图象（如图2）.

两函数为奇函数，只需要绘制x≥0的部分即可，又因当x>8时，x13>2≥2sinx，两者不可能有交点.所以图形只取[0，3π]一段即可，图形中除原点外，还有3个交点，由奇函数性质可知实数根为7个.但是，当x=18时，1813=12>2·18>2sin18，在[0，π2]内还有一交点，由奇函数性质可知答案为9个实数根.答案为D.

四、动静转换

在高中数学解题时，以动求静，以“动”观点看待“静”问题，将常数看作是变量的取值，静止状态是运动中的“瞬间”，也可以静制动，用字母表示无限取值，用方程表示动点轨迹，用不等式描述变量极限趋势，用函数反映事物关系.动静转换策略表现为不变量、定值探求、轨迹相交、初步变换、递推法、局部调整法、交换法等.

例4一个圆经过点B（5，6），且与已知圆x2+y2-4x-8y+15=0相切于点A（3，6），求圆的方程.

解析：化静为动，A（3，6）为圆（x-3）2+（y-6）2=R2趋于0的极限值，那么过圆（x-3）2+（y-6）2=R2且与已知圆相交的圆方程为：（x-3）2+（y-6）2-R2+λ（x2+y2-4x-8y+15）=0.将B（5，6）代入，且令R=0，得出λ=-12，代入x2+y2-8x-16y+75=0.

数形结合是高中数学解题中经常用到的基本思想，在具体解题中需要具体问题具体分析，让数学问题化易、化简、化熟是解题根本.