从一道美国数学月刊问题谈起

山东省威海职业学院信息工程系

姜卫东 (邮编：264210)

设a、b、c、S表示△ABC的三边长和面积.则有[1]

①

这是著名的外森比克(Weisenböck)不等式.

①已有很多种形式的加强，其中最著名的是费-哈不等式

②

最近，罗马尼亚的Nicusor Minculet在《美国数学月刊》2017年第6-7期[2]给出(1)的另一种加强，即如下问题

问题11990:在△ABC中，有

③

注意到文[1,第46至47页]在证明(1)的过程中，已经得到

④

显然④比③更强.

注记由④等价变形，可得

⑤

此即文[4]的主要结论.

现再给出④的一个有趣加强，即下面的

定理1设a、b、c、S表示△ABC的三边长和面积.则

⑥

证明在△ABC中，根据面积公式和余弦定理，有

从而

从而定理1成立.

将⑥等价变形，可得如下的结论：

⑦

⑦显然是⑤的一种加强.

联想到安振平老师在《三十个有趣的不等式问题》[3]一文中的问题(29)：

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,求证：

⑧

受定理1的启发，我们给出⑧的一个加强.

定理2设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则：

⑨

证明由余弦定理及三角形面积公式，可得

定理2证毕.

推论

⑩

1 O.Bottema等著，单墫译，几何不等式，北京大学出版社，1991

2 American Mathematical Monthly, Vol. 124, No. 6, Jun 2017

3 安振平，三十个有趣的不等式问题[J]，中学数学教学参考，2011(11)上旬：58

4 王燕，外森比克不等式的一个有趣加强[J].中学数学教学，2007(4)：61