圆的定义的妙用

江志杰

圆是中学数学最基本的几何图形之一，也是建构数学问题、探索解题思路的直观模型.利用圆的轨迹描述、分析数学问题，建立数与形的联系，有助于我们进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和直观想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟数学问题的本质，培养创新思维.下面笔者根据中学阶段圆的若干定义，谈谈如何利用圆的定义构造圆直观简捷地化解相关数学问题，并且在分析和解决问题中发展直观想象核心素养！

一、从原始定义构造圆

中学阶段圆的最基本定义：平面内到定点的距離等于定长的点的轨迹是圆，其中定点和定长分别为该圆的圆心和半径.据此，我们经常借助“距离”模型来形象看待有关含向量（或复数）模的方程，进而构成圆的轨迹雏形.比如复数z满足|z|=1，则复数z对应的点落在单位圆上；又如向量AB满足|AB|=2，则向量AB的长度为2，当其中点B的位置固定时，点A落在以点B为圆心、半径为2的圆上…….我们平时就要有这样数形结合、动静相辅的眼光以及直观想象的素养，来观察、理解、分析各类不同方式表达的数学问题，增强直观转化、形象化解的能力！

例1 已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是 .

解析：本题|c-a-b|=1即|c-（a+b）|=1，可理解为动向量c的终点P与定向量a+b的终点M的距离为1（两向量的起点均为原点O），由单位正方形模型易得|a+b|=2，不妨将向量a+b的终点M固定在点（2，0），则点P在以点M为圆心、半径为1的圆上运动，易得|PO|=|c|∈[2-1，2+1].从而使得本题在直观形象的模型中轻易地化解，我们熟知圆的各种定义其实就是构建合理数学模型的思维基础！

例2 直线l：y=kx+4-3k（k∈R）与函数f（x）=4x-11x-3的图象交于A，B两点，点P（x，y）是坐标平面上的点，满足|PA+PB|=2，则x2+y2的取值范围是 .

解析：由于函数f（x）=4x-11x-3=4+1x-3表示对称中心为O′（3，4）的双曲线，直线l：y=kx+4-3k（k∈R）即y-4=k（x-3）恰好恒过点O′（3，4），故A，B两点关于点O′对称，从而|PA+PB|=2可化为|2PO′|=2，|PO′|=1，说明点P在以点O′为圆心、半径为1的圆上运动，所以x2+y2=|OP|2∈[16，36].本题关键点O′（3，4）是一大核心枢纽，使得直线方程、双曲线解析式、向量模的关系式三者之间一脉相承，最终由圆的定义汇聚于圆这一常见模型！可见我们平时要善于通过数学运算、变形变式、直觉猜想、数学抽象等过程，从数学问题中挖掘、捕捉有用的数学信息，才能将抽象费解的数学问题置换于形象直观的几何背景下解决！

例3 设函数f（x）=|x2-2x-1|，若a>b≥1，f（a）=f（b），则对任意的实数c，（a-c）2+（b+c）2的最小值为 .

解析：本题目标“（a-c）2+（b+c）2”给我们最直观的印象——表示点（a，b）与点（c，-c）之间距离的平方，注意到实数c的任意性，进而理解为动点（a，b）到定直线y=-x的距离平方，这是顺利解决本题的首要基础！结合函数f（x）的图象，由a>b≥1，f（a）=f（b）化简得a2-2a-1=-（b2-2b-1）（其中1≤b<1+2

二、从垂直关系构造圆

值得一提的是上述基本定义并非构成圆的唯一方式，还有如下的常见表达：

平面内对两个定点的张角为直角的点的轨迹是以这两个定点连线为直径端点的圆（不含这两个定点）.注意该定义又有以下的等价变式：

平面内，若动点P与两个定点A，B连线的斜率之积为-1，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆（不含定点A，B和斜率为零时的点）；

平面内，若动点P和两个定点A，B满足PA·PB=0，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆.

例4 已知m∈R，若点M为直线l1：my=-x和l2：mx=y+m-3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为 .

解析：本题入手首要在于从两个含参的直线方程中发现l1⊥l2，意味着点M在以定点A（0，0），B（1，3）为直径端点的圆上运动，而|MA|·|MB|的几何意义表示Rt△MAB面积的2倍，因此借助几何直观有：|MA|·|MB|=|AB|·dMAB≤2r2=5.这就说明垂直关系往往蕴含着圆的模型，其就是我们构造圆解题的重要依据！

例5 已知两点A（-m，0）和B（m+2，0）（m>0），若在直线l：x+3y-9=0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是 .

解析：若能注意到点P落在以AB为直径的圆（x-1）2+y2=（m+1）2上，则问题转为直线l：x+3y-9=0与该圆存在公共点，由d=|1+0-9|12+（3）2=4≤m+1得m≥3.可见构造圆这一经典模型有助于化解问题的抽象性、提升数形结合的直观性.类似地，本题还有如下变式：

变式：已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 .（答案：[4，6]）

三、从性质定理构造圆

上述从垂直关系构造圆的轨迹，还可以进行一般化的推广和补充.我们知道圆具有这样的性质：在圆内，同弧（或同弦）所对的圆周角相等.反之，平面内对两个定点的张角为定值的点落在以两个定点连线为弦的一侧圆弧上，于是即有：

平面内，若动点P和两个定点A，B满足∠APB=θ（θ∈（0，π2）∪（π2，π）），则动点P的轨迹是弦AB一侧的圆弧（不含这两个定点）；

这其实上告诉我们可以此逆用圆的性质定理来构造圆的模型，并用之辅助解题！

例6 如图在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB的延长线上，AB=2BD=23，则CD长的最小值为 .

解析：本题中抓住∠ACB=60°和AB=23的不变性，

视顶点C在△ABC的外接圓O（半径为2）上运动，求得圆心O到边AB的距离为1，故|OD|=12+（23）2=13，从而有|CD|min=13-2.

例7 设向量a，b，c满足：|a|=|b|=1，a·b=-12，=60°，则|c|的最大值等于 .

解析：本题良好的解题素养体现于将相关的向量元素巧妙地整合在同一个圆的模型中：如图，设OA=a，OB=b，OC=c，则CA=a-c，CB=b-c，∠ACB=60°，∠AOB=120°，故顶点C、O在△ABC的外接圆上（其中AB=3，外接圆的半径r=1）.从而|c|max=|OC|max=2.本题表面上虽为平面向量背景，但借助数学直观想象，便可发现其与上述例6有着异曲同工之妙！

四、从定比关系构造圆

平面内，若动点P到两个定点A，B距离之比为常数λ（λ≠1），则动点P的轨迹是一个圆.而且这是以定比λ内分和外分线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这种轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，因此这种圆也称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆；有关阿氏圆的定义应用一直层出无穷、经久不衰！

例8 已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积最大值是 .

解析：如图在等腰△ABC中，设点D为腰AC的中点，注意到AB=AC=2AD，且中线BD=2.不妨暂时固定D，B两点，且以点D为原点，直线BD为x轴，则由|AB|=2|AD|可求得动点A的轨迹方程为：（x+23）2+y2=169，即点A在以（-23，0）为圆心、半径为43的圆上运动，显然当点A到直线BD的最大距离为dmax=r=43时，

S△ABC|max=（2S△ABD）max=2×12×2×43=83.本题之所以建系设点，缘于由|AB|=2|AD|发现点A在某一定圆上运动，说明通过两线段的定比关系是我们构造圆的又一重要来源，也是形成直观想象素养的知识基础！

变式：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=2，b=2a，则△ABC面积的最大值是 .（答案：22）

解析：首先由b=2a注意到动点C在以定比2内分和外分线段AB的两个分点的连线为直径的圆上运动，以此求得AB边上高的最大值为22，S△ABC|max=22.无疑比用正、余弦定理入手解三角形更为直截了当、更为直观形象，问题本质更为鲜明清晰！

例9 在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=23，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO，AB分别于R，D.若∠DPR=∠CPR，则三棱锥PABC体积的最大值为 .

解析：凭借直觉感知，要求三棱锥PABC体积的最大值，关键求点P到平面ABC的最大距离d，这就要求平面PCD⊥平面PBC，且点P到直线CD的距离最大.在含30°的Rt△ABC中，易得CR=3，DR=1.在△PCD中，由PR平分∠DPC得到：PCPD=CRDR=3，根据阿氏圆的定义说明：点P在以定比3内分和外分线段CD的两个分点R，R′（RR′=3）的连线为直径的圆上运动，故dmax=32，于是有：VPABC|max=13·12·6·23·32=33.

点评：本例充分体现：只有在熟练运用圆的各种定义、具备一定直观想象核心素养的基础上，方能在动态变幻的空间几何体发现或感知圆的轨迹存在.

例10 已知点P在边长为2的等边三角形ABC的内切圆上运动，则AP+2PB的最小值是 .

解析：根据阿氏圆定义，等边三角形ABC的内切圆可看作是到某两个定点距离之比为定值的点的轨迹.为此我们猜想存在某一定点E，使得目标式AP+2PB中AP=2PE，从而转为求2（PE+PB）的最小值.注意到中线AD的端点D恰在该内切圆上，猜想定点E应位于中线AD的中点，并且内切圆与中线AD的另一交点F点恰也满足AF=2EF，印证了△ABC的内切圆可看作是到两个定点A，E距离之比为2的点的轨迹，2（PE+PB）|min=2BE.在△ABE中，

BE=22+（32）2-2·2·32cos30°=72，

故AP+2PB的最小值为7.

点评：本例逆用阿氏圆定义，将已知圆视作到某两定点距离之比为定值的点的轨迹，从而使将目标式AP+2PB巧妙转化、直观求解！

【结束语】 笔者以为：数学定义是数学学习的起点，是数学解题的基础和推理的依据，也是发挥直观想象、形成学科素养的知识载体.由上可知，圆的定义丰富多样，圆的轨迹形成方式多样善变！只有牢固紧扣圆的各种定义，方能寻找或捕捉隐藏在数学问题中有关圆的轨迹，并利用它来化解问题.譬如某些数学问题用常规方法难以奏效或求解难度大，但若能针对问题的本质特征，恰当地构造圆的模型直观辅助分析，巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径，往往可以化抽象为直观、化繁杂为简捷.因此，我们学习数学定义不但要认识定义的来源及意义，理解定义的性质及相互关系，而且要在运用定义解决问题过程中追求数学核心素养的提升.