初中数学基本活动经验的教学目标层次划分

任华中 ，傅海伦 ，邵亚娜

（ 1.山东省东营市育才学校； 2.山东师范大学数学与统计学院）

在经历十余年新课程改革实践与反思的基础上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将数学基本活动经验列为“四基”之一，并进一步指出，数学基本活动经验是培养学生创新能力的基石.

基本活动经验的获得和积累是初中数学课程目标的重要内容，但是由于经验具有个体性、内隐性和不易检测等特点，加之《标准》中的表述也较为笼统和模糊，因此在实际教学中，这一目标出现了难于具体落实的问题.如何对数学活动经验水平层次进行区分，使之更易于定性区分的目标呈现水平，或者更方便教师在教学过程中定量地把握，以切实将“积累数学基本活动的经验”的目标落到实处，这是一线教师亟待解决的重要问题.

国内关于基本活动经验的系统研究并不多见，有关基本活动经验的表述具有一定的参考价值.例如，孔凡哲教授认为，所谓数学基本活动经验，是指围绕特定的数学课程教学目标，学生经历了与数学课程教学内容密切相关的活动之后，所留下的有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟.史宁中教授从数学经验获得的途径上来说，将数学基本活动经验分为思维的经验和实践的经验.笔者在硕士毕业论文《初中数学基本活动经验获得的课堂实践研究》中提出，数学基本活动经验是指学习者经历了具体的活动以后，在大脑中沉淀下来的感受、体验和思维模式.

由于个体对数学活动的感知水平是难于直接检测的，因此我们只能以间接的方式对活动经验水平进行检测.笔者认为，数学活动经验，是在经历数学活动过程中形成的，在个体解决问题的过程中具体体现的，离开解决问题的过程，则无从判断数学活动经验水平的高低.

因此，从数学基本活动经验的内涵出发，以问题解决过程中呈现出的经验特征为标尺，在教学实践中，我们可以尝试将初中数学基本活动经验的教学目标划分为以下四个层次：操作感知的数学活动经验；形式模仿的数学活动经验；反思应用的数学活动经验；准确直觉的数学活动经验.这四个经验层次是经验水平由低到高的过程，同时也是抽象程度逐渐提高的过程.对此，笔者进行如下阐述和说明.

一、操作感知的数学基本活动经验

这里的操作是指动作行为的操作，而不是指思维活动的操作.本层次的经验是指学生亲身经历数学操作活动之后个体感官形成的体验.从心理学的角度来说，这是通过外显的操作和观察形成的对活动的认识，体验的水平停留在“感觉”的阶段，未形成充分知觉.再从数学思维层面上来说，这个层次还没有对活动的过程进行深入思考，没有深刻认识到内在的逻辑关系，因而这种感觉是不全面的.这类操作和观察的价值取向不是问题的解决，而仅是获得最直接的感受和体验.

案例1：在“随机事件与概率”的学习过程中，教师出示活动问题：掷一枚质地均匀的骰子，你发现有几种可能的结果？大多数学生在抛掷骰子的过程中，感受到能产生6种不同的结果，但是由于实验误差和实验次数的限制，可能会得到“得到5点的可能性比较大”或者“得到2点的可能性比较小”这样不准确的结论.学生对于这种不确定现象背后所隐藏的规律性的内容，并不能进行深入的思考.这种不准确的感觉是数学活动经验停留在“感觉”和“感受”的体验水平的表现.

二、形式模仿的数学基本活动经验

与直观感知水平的活动经验相比较，形式模仿水平的数学活动经验已经由感性认识到达理性认识层面，但是仍停留在较浅的理性认识层面，仅具有本层次经验的学生能够把握数学活动过程的形式特征，还不能把握本质属性.在学习过程中的体现是仅能够进行简单地模仿，不能够进行迁移应用；或者仅能够背诵定义，套用相关的公式、运算律，知其然，不知其所以然.

案例2：学习三角形的字母表示的时候，学生认识到顶点字母为A，B，C的三角形可以表示为“△ABC”后，对于仅能模仿数学基本活动经验的学生来说，如果出示一个顶点字母为D，E，F的三角形，学生看到图形和顶点字母后，则会调动有关三角形表示的经验，可以表示出“△DEF”.但是，如果教师进一步追问：如果一个五边形的5个顶点分别为A，B，C，D，E，你能尝试着表示出该五边形吗？这时候，学生可能就会陷入迷茫、不知所措，因为他仅能模仿基本三角形的表示，还不能够把握“用多边形顶点字母可以表示出多边形”这一数学本质.

三、反思应用的数学基本活动经验

反思应用层次的数学活动经验是指学生能够从经历的操作、猜想、逻辑推理的过程中，通过反思性观察，将获得的感受和体验进行抽象、去粗取精，并形成解决该类问题的一般思维模式.具体表现在能够把握活动的本质，面对类似问题时，能够利用已有经验进行迁移解决.其特征有以下几方面.

（1）能够进行类比联想，即根据问题的形式特征相似性，联想到已有的经验.

（2）能够进行归纳猜想，即根据个别事物的性质联想到这一类事物都应具有此类性质，得到一般的规律和结论.

（3）能够对归纳猜想的结论进行操作验证、特例验证或推理证明.

（4）能够利用经验的迁移，用研究一类问题的方式方法去研究个别问题.

案例3：在学习完正比例函数以后，学生通过反思总结，已经掌握了研究正比例函数的方法，具备了研究正比例函数的经验.这时，如果教师给出一个包含一次函数问题的数学情境，并得到新的函数表达式以后，提出问题：你准备怎样研究这类函数呢？请说出你的方法.具备推理应用层次经验的学生可以利用经验的迁移，轻易猜想出研究一次函数的一般步骤：（1）利用描点、连线法画出一次函数的图象；（2）通过图象考查自变量对函数值的变化影响；（3）应用函数知识解决相关问题.

四、准确直觉的数学基本活动经验

这是数学基本活动经验的最高层次，也是抽象程度最高的经验.处于这个层次的学生，在面对复杂的数学问题时，一是能够进行大跨度的想象（这里的想象主要是指创造性想象，而非再造性想象），迅速产生整体把握正确思路的预感、预测与预见；二是这种直接判断具有准确性（这里所说的判断是人脑对数学对象，及其关系结构的一种迅速的识别、直觉的理解、综合的判断，也可以说是数学的洞察力）.这种经验是人们对问题的总体性的感受，是数学经验上升到高层以后的具体体现.

这一层次的经验与上一个层次的经验相比较，最大的区别在于本层次的思维模式为直观思维，而非逻辑思维，其认知过程上是运用已有经验组块和形象感知对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径.主体思维过程中的一些环节被省略，造成心理过程的缩减，其思维模式是模糊的，甚至是跨越逻辑的.具备该层次经验水平的学生，往往可以很迅速地得到一个问题的结论，但是却难以再现其思维过程，这种经验的体现为迅速正确的直觉思维和超越常规的创造性思维.

案例4：已知a，b均为正数，且a+b=4，求m=的最小值.

对于初中学生来说，这道题目乍看上去似乎丝毫没有解决的头绪，代数部分并没有相关的求最小值问题的相关经验.但是，如果学生有运用勾股定理解决相关问题的经验，并能够充分理解勾股定理的本质，学生能够在数和形之间进行大范围的联想，进而一部分学生就会在自己的经验系统中闪现出这样的直觉：这道题目似乎与勾股定理相关，我们可以通过数形结合的方式来解决这个问题.

于是，具有准确直觉经验层次的学生就可以对此题进行几何翻译：已知，如图1，AC⊥AB，BD⊥AB，AB=3，AC=2，BD=1，P为AB上的一个动点，求CP+DP的最小值.

图1

图2

这实际上是一个最短路径的问题，可进一步转化为：已知，如图2，AC⊥AB，BD⊥AB，AB=3，AC=2，BD=1，求CD的长度.

在上述问题的解决过程中，学生具备用勾股定理和最短距离的相关知识来解决问题的经验，但是在面对一个以代数形式来描述的问题时，经验水平较低的学生很难想到用数形结合这一策略性知识来解决问题，而大跨度的联想和数学直观正是活动经验层次较高的表现.

需要指出的是，由于经验获得者对活动的感知水平和反思能力不同，即使经历同一个数学活动，个体所获得的经验水平也不可能完全一致.同时，经验的积累是一个长期的过程，教师在设计数学活动时，要以学生现有的活动经验为基础，循序渐进地培养学生向更高层次的经验水平迈进.因此，此目标既可以作为课时目标，又可以作为学段目标在教学中进行有效运用.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］孔凡哲，曾峥.数学学习心理学［M］.北京：北京大学出版社，2009.

［4］任华中.初中数学基本活动经验获得的课堂实践研究［D］.济南：山东师范大学，2015.

［5］房慧.经验学习论［M］.昆明：云南大学出版社，2011.

［6］曹才翰，章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.