数学概念教学存在的问题及教学建议

陈丽敏 ，景 敏 ，王 瑾

（ 1.辽宁省基础教育教研培训中心； 2.沈阳师范大学）

数学概念是数学的细胞，概念教学是数学教学的基础，数学的生命力在于数学概念的抽象性、概括性及应用的广泛性.数学概念学习需要经历概念的引入、概念的形成、概念的巩固和概念的应用四个阶段.然而在实际的教学中，一些教师对于概念教学的认识还存在着诸多的误区.下面笔者结合课堂观察的教学片断，分析问题产生的原因，并提出改进的教学建议.

一、概念的引入情境牵强

概念的引入是概念教学的开始，其重要性不言而喻.在初中数学教学中，教师通常选择学生所了解的、与这一概念相联系的生活实例引入概念，让学生通过这些实例直观地看出它们的共同特点，然后引导学生进行抽象概括，获得一般性的概念.例如，三角形概念的引入，应该指出概念引入所使用的实例，泛指用以引入概念的感性材料，既可以是某种具体实物，又可以是学生已学过的某些数学知识.又如，无理数概念的引入，无论是数学情境引入数学概念，还是现实生活情境引入数学概念，教师都需要明确概念引入的必要性.下面以三角形外角概念的教学和旋转的概念教学为例进行剖析.

案例1：三角形外角概念教学片断.

在三角形外角概念的教学中，教师通过给出如图1所示的图片，让学生观察飞机三个尾翼构成的三角形，以及其外部的∠1，引入外角的概念.

图1

问题分析：在上面的问题情境中，教师使用的是具体实物，即飞机尾翼的情境.首先，飞机尾翼的情境并不能说明外角概念引入的必要性，更糟糕的是，飞机尾翼的三个角从视觉上不在一个平面上.因此，用飞机尾翼的情境引入外角的概念是不恰当的.

三角形的外角概念引入的必要性是源于平面几何的研究内容，即平面几何是研究图形基本要素之间的位置和数量关系，以及图形运动和变化过程中的不变性和不变量.既然三角形的内角之间存在内角和定理，那么，三角形的外角之间又存在哪些规律呢？这是我们引入三角形外角概念的必要性.

教学建议：鉴于上述分析，将建议三角形外角概念的引入从图形入手，即先给出一个三角形，将三角形的三条边都反向延长，与其相邻的边构成的三个角是三角形的外角.在实际的教学中，教师要展示外角的形成过程.通过画出三个外角之后，让学生归纳概括出外角概念的内涵，并探索三角形外角的规律，在探索完外角和定理后，教师简要说明外角引入的必要性，如图2所示.

图2

案例2：旋转的概念教学片断.

在“图形的旋转”一课的教学中，教师出示如图3所示的图片，并提出问题：这些物体你见过吗？这些物体的运动有哪些共同的特点，你能尝试归纳出来吗？

图3

问题分析：首先，旋转概念的内涵是运动，通常需要动态的演示来突出概念的本质属性.该教师呈现静态的图片作为实例，让学生归纳旋转的特点.显然，学生如果知道这个实物在现实中是如何运动的，这样处理是可以的.但是，如果学生没见过这些物体，或者不清楚它们的运动情况，那么归纳旋转的本质属性将无从谈起.其次，即使学生知道这些物体在现实生活中是如何旋转的，学生需要在头脑中想象这些实物运动的场面，这样可能增加学生的工作记忆的负荷，导致学生不能集中注意力归纳旋转的特征.

教学建议：建议教师利用信息技术手段给学生呈现动态旋转的实物.

二、概念的形成没有和学生已有的经验建立有效的联结

建构主义强调，教师要把当前学生所要学习的内容尽量和学生已有的知识经验相联系，引导学生对联系加以认真的思考，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解.在这一过程中，学生原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变.但是，在实际的教学中，一些教师忽视学生已有的知识经验，导致学生在理解概念时发生困难.下面以加权平均数的教学为例进行剖析.

案例3：加权平均数的概念教学片断.

教师出示问题情境：一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，两名公司员工的各项成绩（百分制）如下表所示.

听说读写甲乙85 73 78 80 85 82 73 83

问题1：如果公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？

学生通过计算，得出甲的成绩的平均数为80.25，乙的成绩的平均数为79.5.得出甲的综合能力较强，应该录用甲.

问题2：如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？

有学生提出不合理，如果想招笔译能力较强的翻译，应该重视读和写的分数.从表中甲和乙的读、写成绩很难分辨哪个成绩好.

师：如果将听、说、读、写的成绩按照2∶1∶3∶4的比例确定，从他们的成绩来看，应该录取谁？

学生根据教师给定的比例，计算甲、乙的成绩时出现困难，有的学生计算甲、乙的成绩用了如下的公式.

甲的成绩为(85×2+78×1+85×3+73×4)÷4；

乙的成绩为(73×2+80×1+82×3+83×4)÷4.

问题分析：加权平均数是学生在学习了算术平均数之后学习的另外一个描述数据集中趋势的统计量.权有两种表现形式：一种是相对数，即我们通常所说的百分比（频率）；一种是绝对数，即数据中各数值出现的次数（频数）.与绝对数形式的权比较，相对数形式的权能更加直观地反映权在评价中的作用.同时，相对数形式的权也是学生比较熟知的.上面的问题情境中，算术平均数对一些学生产生了负面的影响，导致这些学生列式错误.学生的回答情况表明，虽然有些学生能够正确列式，计算出加权平均数，也只是生搬硬套公式，对权的理解存在一些困惑.

教学建议：在加权平均数的教学中，为了将加权平均数和学生的已有经验建立有效联结，并直观地反映权在评价中的作用，建议教师在学生体会到算术平均数不能解决问题2的时候，明确引入加权平均数的必要性.之后通过学生比较熟悉的百分数大小来区分听、说、读、写的重要程度.例如，教师给出听、说、读、写分别占总成绩的20%，10%，30%，40%，引导学生来计算加权平均数.在学生明白了百分数表示的权之后，教师再给学生出示绝对数形式（比例）的权，并引导学生将绝对数形式（比例）的权转化为百分数的形式来计算加权平均数.

三、概念巩固环节中不恰当地应用了概念辨析

数学概念的教学中，很多教师在给概念下完定义之后，通常会直接提供一些反例让学生辨析.这些反例的确可以使学生对概念理解更精确、准确.但是，是不是所有的数学概念的教学都需要反例这一辨析的环节呢？数学概念具有一些特征，如过程性特征，关系特征等.过程性特征指概念的定义反映了某种数学过程或规定的操作过程.例如，平均数的概念隐含着将几个数相加，再除以个数的运算操作过程；向量的加法的概念规定了“形”（三角形法则）的操作过程.同样，有序数对和平面直角坐标系的概念隐含着二维平面内点的位置确定的工具和方法的过程性特征.下面以这两个概念为例进行剖析.

案例4：有序数对概念教学片断.

教师讲完有序数对的概念之后，出示一道选择题.用7和8组成一个有序数对，可以写成（ ）.

（A）(7，8) （B）(8，7)

（C）7，8或者8，7 （D）(7，8)或(8，7)

问题分析：有序数对的概念是一种表示的方法和工具，是一种规定性的概念，具有一定的过程性特征，这个概念的内涵不是特别丰富，也不容易与临近概念发生混淆.教师教给学生正确的表示方法之后，大部分学生都能够正确表示.因此，面对这类具有过程性特征的概念，教师不宜在下定义之后，设计选择题让学生辨析，而应在学生具体操作过程中出现了错误再予以纠正，如果在具体的操作过程中不出现错误，就可以不列举反例来让学生辨析.

教学建议：上面的有序数对的选择题可以改为填空题：在电影票上，将7排8号记为(7，8)，那么8排7号记为____.

也可以改为选择题：在电影票上，将7排8号记为(7，8)，那么8排7号记为（ ）.

（A）(7，8) （B）(8，7)

（C）7，8或者8，7 （D）(7，8)或(8，7)

这样，我们在有序数对的具体应用过程中来考查学生是否掌握了有序数对的表示方法.

案例5：平面直角坐标系教学片断.

教师讲完平面直角坐标系的概念之后，出示一道选择题.以下四个选项中，平面直角坐标系是（ ）.

问题分析：与有序数对概念类似，平面直角坐标系的概念也是一种表示方法和工具，是一种规定性的概念，也具有一定的过程性特征.

教学建议：对于上面的平面直角坐标系的表示方法问题，可以让学生自己画一个平面直角坐标系，或者让学生在解决实际问题中建立一个直角坐标系，从而考查学生是否掌握了平面直角坐标系的表示方法.

四、概念应用中缺失有效的反馈与评价

概念学习完之后，教师通常会设计一些拓展性的练习题，来诊断学生对概念的内涵是否理解.下面以等可能事件的概率的第2课时的教学为例进行剖析.

案例6：“等可能事件的概率（2）”教学片断.

在第一节课中，学生已经学习了等可能事件的概念和计算方法，这节课学生将进一步理解等可能事件的含义和等可能事件概率的计算方法，并应用其解决简单的问题.

教学片断1.

师：盒子里一共有7个球，4个红球，3个白球，那么摸到红球和白球的概率各为多少？

几乎所有的学生都异口同声地回答道，概率各为当教师问学生答案根据的时候，部分学生保持沉默.

生1：摸到红球的概率不就是等于红球的总数除以总的个数嘛.

这时，教师没有进一步澄清生1在概念理解中存在的模糊，仅仅是在ppt上指出要将红球分别标出1，2，3，4，白球分别标出1，2，3，之后再计算红球的概率和白球的概率，并强调给球标出数字是答题的需要.

问题分析：很显然，学生对于等可能事件的概率的认识还停留在小学阶段，即摸到某种颜色的球的概率通常是利用该颜色球的个数除以所有球的个数，而对于为什么能够应用等可能事件的概率的计算方法解决该问题，似乎没有深入理解.运用等可能事件的概率计算方法求解随机事件的概率，首先，需要判断该随机事件是否是等可能事件，其判断的重要条件之一就是每种结果出现的可能性相同.因为这些球除颜色外大小、质地等完全相同，所以每个球被摸到的可能性相同.在该问题解决中，给球编号是便于我们对这个试验，以及这种概率计算方法进行分析.

教学建议：对于上面的红球和白球的问题，教师在发现学生对等可能事件概念理解出现问题的时候，应带领学生分析这个摸球问题是否符合等可能事件的条件，如果符合，那么就可以用等可能事件概率来解决.为此，学生首先要弄清楚哪些结果出现的可能性相同，显然不是摸到红球的可能性与摸到白球的可能性相同，而是摸到其中任意一个球的可能性相同.由于红球有4个，白球有3个，且每次试验有且只有一个结果出现，那么，在实验中如何区分摸到相同颜色球的结果呢？我们可以给每一个球标号红1，红2，红3，红4，白1，白2，白3.显然，摸到红球的事件包含4种结果，所以红球的概率就是同理，摸到白球的概率是

教学片断2.

在练习的时候，教师出示问题：思考能否用7个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率和白球的概率各为

生2：我设计3个红球，3个白球，1个黄球，这样摸到红球和白球的概率各为

当教师问摸到黄球怎么办时候，生2回答摸到黄球的时候放回去，不算数.

教师的反馈是“生2没有设计出符合条件的摸球游戏”，至于生2的回答为什么不正确，教师没有说明.

问题分析：很显然，学生对于这个问题的误解还是源于学生对等可能事件的概念理解不深刻.

教学建议：在生2回答“摸到黄球的时候放回去，不算数”之后，教师应强调，等可能事件要求每次试验有且只有其中的一种结果出现，摸到黄球说明这个事件已经发生了，它的结果已经作为一个基本事件在样本空间中出现了，而我们如果摸到黄球就放回去不算，这和等可能事件的概念不符合.

综上所述，可以看出部分教师对于数学概念的教学在概念的引入、形成、巩固、应用中存在上文描述的一些问题，而这些问题的产生源于教师对于数学概念的本质，学生学习数学概念的心理过程缺乏深刻理解.因此，加强教师对于数学概念本质的理解，对于学生学习数学概念的心理过程的充分认识，是概念有效教学的前提.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨［J］.课程·教材·教法，2009（7）:47-51.

［3］潘玉恒，杨珂玲.论数学概念的定义方式［J］.数学教育学报，2012（4）:32-35.