“锐角三角函数”教学设计

（湖南省湘潭江声实验学校）

一、内容和内容解析

1.内容

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角函数”第一节第1课时.

2.内容解析

本节内容是在学生学习了直角三角形中角与角、边与边之间的关系，以及函数、相似图形等有关知识基础上展开的，是对直角三角形中边、角关系的进一步探究，也为后面学习解直角三角形、高中的三角函数等知识奠定基础.因此，确定本节课的教学重点为探索并认识锐角的正弦.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）会利用相似直角三角形探索并认识正弦的定义.

（2）会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.

2.目标解析

从锐角正弦概念的建立到运用，经历从特殊到一般的认识过程.培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

三、教学问题诊断分析

九年级学生接受能力较强，具备了一定的数学探究能力和应用数学的意识，但要得出在直角三角形中锐角与边的比值之间的对应关系还有一定困难.所以笔者将“探索并理解锐角的正弦”作为本节课的教学难点.

四、教学支持条件分析

为了让课堂引入有文化背景，借助视频帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣.同时，为了使学生理解“在直角三角形中，当锐角α一定时，∠α的对边与斜边之比为一个固定值”这一结论，借助几何画板软件来帮助学生直观地理解.遵循“以学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，本节课主要采用启发式教学和自主探究式的教学方法.通过学生的自主活动、主动探索、合作交流、动手操作等活动来构建正弦的概念，从而达到认识正弦的目的.

五、教学过程设计

1.创设情境，引入新知

课件展示意大利比萨斜塔的图片，并通过一个小视频来了解它的历史.1350年斜塔建成时，塔身AB长54.5 m，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角，即倾斜角为2.2°，塔顶中心点B到垂直中心线AC之间的距离为2.1 m.几百年后，倾斜角增至5.5°.经过多年的修缮，到2001年，倾斜角减至5°（如图1）.

图1

问题1：此时，你能求出塔顶中心点到垂直中心线的距离吗？

问题2：这个问题可以归结为：在直角三角形中，已知什么？求什么？你能运用已有的知识求出BC的长度吗？当∠A换成多少度时，你能求出BC的长？

【设计意图】从章导图开始入手引出课题，并通过实际生活中的具体事例，抽象出数学问题，体现数学建模思想，激发学生的求知欲.引导学生用从特殊到一般的方法去探索，从而培养学生提出问题和分析问题的能力.

2.合作交流，探究新知

说一说：

问题1：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求BC的长.

图2

问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A仍然为30°，Rt△ABC的大小发生变化时，∠A的对边与斜边的比值是多少？说明了什么？

【设计意图】通过运用已学基础知识建立新的数学模型（在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比为定值），并培养学生会说的能力.

做一做：分组完成以下学案中的活动部分，将计算结果填写在表1中，并进行小组展示.

如图3，点M在射线OA上，过点M作MN⊥OB，垂足为点N.

（1）若∠AOB=45°，在Rt△MON中，计算∠MON的对边与斜边的比；

（2）若∠AOB=60°，在Rt△MON中，计算∠MON的对边与斜边的比.

图3

表1

问题：大家所画的三角形大小一样吗？说明什么？

【设计意图】在作图的实际操作中，运用已学的基础知识进行计算，并总结活动经验，从而引导学生发现当∠O分别为45°和60°时，直角三角形中锐角O的对边与斜边的比为固定值.

猜一猜：根据以上活动的结果，你能做出怎样的猜想？

【设计意图】通过观察表格中的数据，培养学生发现问题的能力，引导学生从特殊到一般地进行猜想，得出“在直角三角形中，当∠O为任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比为一个固定值”的猜想.

证一证：

（1）运用几何画板软件进行验证.

（2）如图4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′.求证：

【设计意图】借助几何画板软件的演示，帮助学生直观地验证猜想，提升学生直观想象的素养.强调其实质就是对应边的比值为固定值.

3.概括属性，明晰定义

定义：如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

图5

判断：（1）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°.判断下列式子是否正确.

图6

图7

（2）如图7，在△ABC中，

试添加一个条件使第（2）题成立.

【设计意图】通过一组辨析题，分析定义中关键词的含义，加深学生对正弦概念的理解.

问题1：观察表2，当∠A为30°，45°，60°时，sinA都有唯一的值与之对应.那么当∠A是任意一个确定的锐角时，这个结论是否仍然成立呢？

表2

运用几何画板软件进行验证.

问题2：sinA是否随角度的变化而变化？

问题3：以上问题中自变量和因变量分别是什么？它们的取值范围又分别是什么？

【设计意图】通过使用列表法，并借助几何画板软件使学生联想到函数关系，从而提升数学建模的核心素养，确定自变量、因变量的取值范围，以及变化趋势，加深对正弦定义的深刻理解.

4.典例精析，变式训练

例如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.

图8

【设计意图】利用数形结合思想，让学生运用正弦的定义解决问题，并规范书写格式.

变式：如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，求BC的长度.

图9

【设计意图】让学生真正的掌握正弦定义，能从多角度思考问题，培养学生分析问题及对基础知识的运用能力，并对后面学生的编题训练做了较好的辅垫.

问题：从前面两道题的解题思路上你有什么发现？你能否改变条件或结论，运用直角边、斜边和正弦定义来编题吗？期待大家的精彩呈现.

编题环节：（1）学生先独立编题，并完成解题；（2）小组内部交流，选出本组内大家认为最有思维含量的题目；（3）小组展示，即每组派代表将题目板书在黑板上，充分激发学生的创新热情；（4）小组评价，即其余小组对其进行评价；（5）大家任选一道题进行训练.

【设计意图】通过编题环节，将条件和结论互换，让学生巩固正弦概念.此环节采取启发式教学，挖掘学生的潜能，培养了学生思维创新的能力.

5.基础训练，巩固新知

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边的长度都扩大两倍，那么∠A的正弦值（ ）.

（A）扩大两倍 （B）缩小到一半

（C）没有变化 （D）不能确定

（2）如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.

图10

图11

（3）如图11，在平面直角坐标系内有一点连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值为_________.

（4）意大利从1999年起对比萨斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心线偏离垂直中心线的角度减小为5°（如图12），此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离为______（sin5≈0.09）.

图12

【设计意图】第（1）（2）题巩固正弦定义；第（3）题构造直角三角形解决问题，理解当角度确定时，其正弦值为固定值；第（4）题与引入情境前后呼应，解决实际问题.

6.课堂小结，画龙点睛

本节课你学到了哪些知识点？思想方法上又有什么收获？

【设计意图】学生通过自我归纳，总结经验，理清知识脉络，形成知识体系.

7.拓展延伸，发散思维

如图13，在△ABC中，已知∠A=45°，AB=4，求sinA和sinB的值.

图13

【设计意图】引导学生构造直角三角形，以及综合运用所学知识求正弦值，让学生有突破的意识，经历困惑、思考、解决问题的过程，从而把这种迎难而上的精神应用到今后的学习和生活中去.

8.作业布置，课外链接

课外链接：观看微视频“正弦的由来”.

必做题：教材第64页第1，2题.

选做题：教材第85页第14题.

【设计意图】通过微视频“正弦的由来”介绍数学文化，使学生了解正弦在人类文明发展中的作用.分层布置作业，其中，必做题为基础内容，大部分学生能独立完成；选做题与高中知识相联系，引领学生进一步自主学习和探究.

六、教学反思

本节课是一节概念教学课，教学设计遵循“以学生为主体，以教师为主导”的指导思想，让学生经历“探究—交流—猜想—验证—证明—运用”的探索过程，从而引领学生去感受知识发生、发展过程的合理性，领悟学习数学的思维方式.本节课的设计符合学生的认知规律，收效较好.

本节课在设计过程中还存在以下不足：（1）导入部分的挖掘还没有到位，没有达到育人的高度.（2）在“拓展延伸，发散思维”环节，一是没有引导学生思考为什么要这样去构造辅助线；二是没有将题目的设计回归到圆上去，没有与高中的知识直接联系起来.笔者在今后的教育教学过程中会努力改正上述问题.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.