基于离线预测控制的旋转尾翼稳定弹解耦控制器设计

陈伟, 孙传杰, 李永泽, 拜云山

(中国工程物理研究院 总体工程研究所, 四川 绵阳 621900)

0 引言

低速旋转尾翼稳定弹是指弹体在飞行过程中绕纵轴低速旋转的尾翼弹，通常为轴对称飞行器，主要包括制导兵器、战术导弹和再入飞行器等。旋转体可有效地降低气动不对称、结构不对称和推力偏心等扰动因素所带来的弹道散布，提高落点精度，同时可有效地简化控制系统结构；对于再入弹头，自旋可以避免气动加热的单面烧蚀，从而减小不对称因素对打击精度的影响。

与非旋转弹相比，低速旋转尾翼稳定弹俯仰和偏航通道之间的耦合效应使其具有特殊的动力学特性。造成这些强耦合的原因主要包括马格努斯效应诱导的气动交联、陀螺效应诱导的惯性交联及动力学延迟诱导的控制交联[1-2]。弹体绕其自身纵轴旋转，滚转、俯仰和偏航3通道之间是相互耦合的，当转速接近弹体俯仰、偏航摆动频率时，将引起共振不稳定，弹体角运动振幅有可能发散到一个不可接受的幅值，以致发射任务完全失败[3]。因此，在低速旋转尾翼稳定弹控制系统设计中，需要考虑以上各种耦合因素， 若不采取任何补偿或解耦措施而直接对其进行控制，则当对其中一个通道施加控制指令时，不仅会引起该通道上的输出响应，而且会引起另外一个通道上的输出响应，对控制指令的稳定跟踪造成不利影响[4-5]。

相关学者在低速旋转尾翼稳定弹控制系统设计领域开展了较为深入研究，并取得了一定的研究成果。文献[6]分析了双通道控制旋转尾翼稳定弹的各种耦合特性，并采用前馈补偿解耦方法实现了基于过载驾驶仪的静态解耦控制。文献[7]采取对角占优解耦控制方法，设计了弹体动力学环节以及执行机构动力学环节的解耦控制器。这些方法本质上都属于线性静态解耦的范畴，主要是针对一个或者若干个特征点设计解耦控制器，若系统状态发生较大变化时，则会导致解耦效果变差。因此，学者们将现代控制系统设计方法应用于旋转尾翼稳定弹控制系统设计。文献[8]采用动态逆方法进行姿态控制器设计，该方法可以有效地处理动力学中的非线性因素，但此方法依赖于被控对象精确的动力学模型，若存在不确定性的影响，则控制性能会大大降低。

由于模型预测控制对建模精度要求不高，且具有较好的解耦能力[9]，其被学者们应用于导弹控制领域[10-11]。模型预测控制采用滚动优化策略，选取滚动优化区间越大，其控制精度越高，计算量会大大增加， 很难满足实时控制的需求。为此，文献[12]提出一种离线预测控制方法，通过离线求解线性矩阵不等式优化问题得到控制参数阵， 在线通过查表方式得到相匹配的控制参数阵，将大量的计算工作转为离线进行，以满足实时控制的需求。但是，文献[12]中的离线预测控制方法存在一定局限性，即当指令信号实时变化时系统跟踪误差较大。本文在其研究基础上提出一种基于指令滤波器的离线预测控制方法，将系统输出跟踪误差积分引入模型中，充分利用被控对象和指令模型的动态特性，使得离线求解的控制参数阵能够很好地应对指令信号变化， 确保飞行指令的稳定跟踪。

1 旋转弹动力学模型

由于旋转尾翼稳定弹在飞行过程中以一定角速度绕其纵轴连续滚转，为了便于分析，引入准弹体坐标系，建立动力学模型[13]。为了简化控制系统设计，需要对弹体动力学方程组进行简化，为不失一般性，作如下假设：

1)在一小段飞行过程中，弹体速度不变，弹体转速不变；

3)控制舵产生的升力与弹体受到的总升力相比是小量。

当重点考虑弹体短周期运动时，可假定速度的方向不变，而只考虑弹轴的摆动运动，即假定弹道倾角θ和弹道偏角ψV在弹体运动短周期内基本保持不变，可近似为0°，并根据小角度假设条件，有如下近似关系式[14]成立：

(1)

(2)

基于上述近似关系式和假设，对动力学模型进行整理化简后可得

(3)

令俯仰角ϑ、偏航角ψ为系统的测量输出，可得系统如下状态空间形式：

(4)

2 旋转条件下舵系统动力学模型

弹体控制指令σcy、σcz形成于非旋转的准弹体坐标系下，根据传感器测量得到此时弹体相对于准弹体坐标系的滚转角γd，将σcz、σcy进行分解，得到弹体坐标系下的控制指令σc1、σc2，σc1、σc2经舵机驱动舵面偏转，从而得到弹体坐标系下舵面偏转角σ1、σ2和控制力矩，最后再将σ1、σ2和控制力矩合成到准弹体坐标系下的舵机响应σz、σy和控制力矩。舵系统的指令执行框图如图1所示。

根据图1所示的指令执行框图和舵机响应传递函数，可得舵机系统的传递函数矩阵为

(5)

式中：ks为舵机系统增益；τ为从滚转角γ的测量到控制指令的生成并分解输入到实际舵机系统所需的时间；Gs(s)为前向通道传递函数，Gsco(s)为耦合通道传递函数，其表达式为

Ts为舵机系统时间常数；μs为舵机系统阻尼。

当忽略转速变化且仅考虑舵机系统在常值指令输入下的稳态输出时，则准弹体系中舵机系统的动力学模型可简化为

(6)

将(6)式代入(4)式可得考虑舵机系统动态特性的旋转尾翼稳定弹动力学模型为

(7)

式中：Bc表达式为

3 基于预测控制的解耦控制器设计

3.1 在线预测控制

将动力学模型(7)式进行离散化处理，得到如下离散模型：

(8)

式中：k为采样时刻；G(k)∈R4×4；H(k)∈R4×2，σc(k)∈R2×1.

由于系统(8)式为参数不确定系统，可采用多胞模型进行描述，即

[G(k),H(k)]∈Ω=
Co{[G1,H1],[G2,H2],…,[Gp,Hp]}，

(9)

式中：[Gi,Hi],i=1,2,…,p为多胞模型的p个模态值，即系统当前模型是各个模态的凸组合。

系统(8)式的预测控制可表示成如下优化求解问题：

(10)

(11)

(12)

式中：σz,max和σy,max分别为准弹体坐标系下俯仰舵偏指令和偏航舵偏指令的限幅值；ωz,max和ωy,max分别为俯仰角速度和偏航角速度限幅值。

在采样时刻k，文献[15]定义Lyapunov函数为V(x)=xTP(k)x，P(k)为正定矩阵。对于任意[G(k+i),H(k+i)]∈Ω,i≥0，假定V(x)满足如下稳定约束：

V(x(K+i+1|k))-V(x(k+i|k))≤
-[xT(k+i|k)x(k+i|k)+
σc(k+i|k)].

(13)

令i从0到∞取值，x(∞|k)=0，对(13)式进行累积相加可得

(14)

式中：r为正实数。

(14)式可以等价为如下线性矩阵不等式：

(15)

式中：Q=rP(k)-1为正定矩阵。

对于系统(8)式的各个模态值，(13)式可等价为如下线性矩阵不等式：

(16)

控制指令约束(11)式可等价为如下线性矩阵不等式：

(17)

式中：X11、X22为中间变量X的对角线元素。

同理，状态约束(12)式可等价为如下线性矩阵不等式：

(18)

式中：Z11、Z22为中间变量Z的对角线元素。

基于以上分析，可将(10)式转化成如下线性矩阵不等式优化求解问题[15]：

(19)

控制指令σc(k)可由F(k)x(k)计算得到，其中F(k)为控制参数阵，可由YQ-1计算得到。

3.2 离线预测控制

随着被控对象维数的提高，线性矩阵不等式优化求解问题(19)式的在线计算量会大大增加，无法满足实时控制需求。基于椭圆不变集的离线预测控制方法将大部分计算工作转为离线进行，可满足实时控制需求。

椭圆不变集定义如下：

对于离散系统x(k+1)=f(x(k))，如果x(k1)属于集合ζ={x|xTQ-1x≤1}，对于任何x(k),k≥k1也属于集合ζ，并且随着k→∞，x(k)→0，则ζ属于椭圆不变集。

对于系统(8)式，如果系统的控制指令σc(k)=F(k)x(k)，则其状态集合ζ={x|xTQ-1x≤1}属于椭圆不变集。

算法1：基于椭圆不变集的离线预测控制方法[12]为：

1)选取初始状态集{x10,x20,…，xN0}(N为状态向量个数)，令i=1，从初始状态点集中任意选取一状态作为xi，然后基于xi和[Gj,Hj]，j=1,2,…,p，在额外约束Qi-1>Qi(i>1)条件下，离线求解优化问题(19)式，存储Qi、Fi、Xi、Yi.

基于以上控制方法，控制指令能够驱动状态x(k)→0，但当系统的俯仰角指令或者偏航角指令不等于0时，由于系统(8)式中不包含指令状态，基于其模态值计算得到的控制指令无法确保系统很好地跟踪变化的指令信号。为解决此问题，下面提出一种基于指令滤波器的离线预测控制方法。

3.3 基于指令滤波器的离线预测控制

(20)

式中：ϑc0、ψc0为指令滤波器输入；ωϑ、ωψ为带宽；ξϑ、ξψ为阻尼比。

将指令滤波器(20)式写成状态空间的形式：

(21)

令系统指令跟踪误差积分为yI，可通过如下状态空间模型输出得到：

(22)

综合旋转尾翼稳定弹状态方程(7)式、指令滤波器状态方程(21)式和积分误差方程(22)式得到增广状态方程为

(23)

将(23)式写成对应的如下状态空间形式：

(24)

将增广状态方程(24)式进行离散化处理，得到如下离散模型：

(25)

式中：GR(k)∈R10×10；HR(k)∈R10×2；LR(k)∈R10×1；CR(k)∈R2×10.

算法2：基于指令滤波器的离线预测控制方法为：

1)选取初始状态集{xR,10,xR,20,…,xR,N0}，令i=1，从初始状态点集中任意选取一状态作为xR,i，然后基于xR,i和增广矩阵AR的各个模态值[GR,j,HR,i],j=1,2,…,p，在如下额外约束的条件下离线求解优化问题(19)式，存储Qi、Fi、Xi、Yi.

(26)

3) 在线根据xR(k)，在{Q1,Q2,…，QN}中查找

值得注意的是：基于初始状态点集{xR,10,xR,20,…，xR,N0}计算得到的控制参数阵{F1,F2,…，FN}是N个离散的值，而在实时控制时状态xR(k)是一个相对连续值。针对此问题，上述控制方法中通过求解αi使得控制参数阵αiFi+(1-αi)Fi+1随着xR(k)连续变化，从而更好地适应实时控制需求。

3.4 闭环系统稳定性分析

控制系统结构如图2所示，下面对其稳定性进行分析。

令

(27)

当i≠N时，基于矩阵不等式(16)式和矩阵不等式(26)式，可得如下矩阵不等式：

(28)

由于矩阵不等式(17)式和矩阵不等式(18)式对于初始状态xR,i和xR,i+1都满足，则存在对称矩阵X(αi)和Z(αi)使得如下矩阵不等式成立：

(29)

(30)

式中：X11(αi)、X22(αi)为X(αi)的对角线元素；Z11(αi)、Z22(αi)为Z(αi)的对角线元素。

4 仿真分析

4.1 仿真初始条件

弹体质量m=465 kg，弹体直径D=0.3 m，机翼参考面积S=0.070 9 m2，舵机系统增益ks=10，舵机系统时间常数Ts=0.016，舵机系统阻尼μs=0.5，飞行速度v=1 200 m/s. 为了验证控制系统的鲁棒性，在原有气动参数的基础上加上15%作为建模误差，并在准弹体坐标俯仰通道施加30sin(2πt)N·m的干扰信号。

4.2 仿真1

4.3 仿真2

5 结论

基于旋转尾翼稳定弹动力学离散模型进行离线预测控制器设计，能够在很大程度上减小在线计算量，通过查表得到的控制参数阵能够确保系统状态在初始扰动条件下逐渐稳定到0. 但当系统指令实时变化时，会存在较大的跟踪误差。为此，本文在预测模型中引入指令状态和指令跟踪误差积分，基于增广模型进行离线预测控制器设计，离线优化计算得到的控制参数阵可驱使指令跟踪误差逐渐趋向于0，从而确保在线查表控制时，系统输出能够较好地跟踪系统指令。

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